fçai d'ailleurs qu'elle doit avoir deux chif fres. Je m'imagine donc, que cette ligne AB est divisee en C, que AC represente le premier chiffre, & BC, le fecond. Je cherche la racine du premier chiffre du nombre 144. qui est 100. & je trouve que c'est 10. & faifant fon quarré 100. representé par le quarré GF, je le soustrais de 144. & il reste 44. pour les rectangles GC, FL & le quarré CL. Mais parce que cette figure d'un Gnomon n'est pas propre, je tranfporte le rectangle FL, en KG, & j'ai un rectangle total KL, c'est-à-dire 44. Je connois aussi presque tout le côté KB: car AC eft de 10. Donc KC fera de 20. Il faut donc divifer 44. par 20. c'est-à-dire, pour avoir ce diviseur, je double la racine trouvée, & je dis combien de fois 20. dans 44. Je le trouve deux fois, pour le côté BL: mais parce que 20. n'étoit pas le côté KB tout entier ; mais feulement KC; ce 2. qui vient au quotient, s'ajoute au diviseur, qui fera 22. Ainsi le trouvam deux fois précisément dans 44. la racine quarrée fera 12. Vous voyez que le quarré 144. est égal au quarré de 10. au quarré de 2. qui eft 4. & à deux fois 20. qui font deux rectangles compris sous 2. & fous PROPOSITION V, THEOREME. Si une ligne est coupée également, & inégalement, le rectangle compris sous les parties inégales, avec le quarré de la partie du milieu, est égal au quarré de la moitié de la ligne. S Pl. 1. I la ligne AB est divisée également gle AH, compris sous les segmens AD, Démonstration. Le rectangle AL, est égal au rectangle DF; l'un & l'autre étant compris sous la moitié de la ligne AB, & fous DB, ou DH qui lui est égal. Ajoûtez à tous deux le rectangle CH; le rectangle AH sera égal au Gromon CBFGHL. Ajoutez encore à tous deux le quarré LG, le rectangle AH, avec le quarré LG sera égal au quarré CF. Par les nombres. Que AB foit 10. AC sera 5. & CB auffi. Que CD foit 2. & DB, 3. le rectangle compris fous AD, 7. & BD, 3. c'est-à-dire 21. avec le quarré de CD 2. qui sera 4. sera égal au quarré de CB, 5. qui sera 25. USAGE. Pl. 1. On peut se fervir très-utilement de ce Fig. 8. Theoreme, pour résoudre le Problême fuivant, qui sans cela paroîtroit plus difficile. Trouver en nombres les deux côtez d'un rectangle, dont on connoit le contour & Paire. Que le contour du rectangle ABCD, foit de 28. pieds, & l'aire de 48. Prolongez le côté AB vers E, en faisant BEégale à BC; & alors toute la ligne AE Jera 14. puisque la somme des quatre côtez, où le contour est 28. Divisez la ligne AE en deux également au point F, & alors chacune des deux mouiés AF, EFfera 7. Cette préparation étant faite, l'on confiderera que puisque le rectangle des deux lignes AB, BE, ou AB, BC, c'est-à-dire 48. avec le quarré de BF, est égal au quarré 49. de AF, il s'enfuit, que si de 49. on ôte 48. il restera un. pour le quarré de BF, laquelle par confequent vaudra 1. c'est ourquoi en ajoutant BF à AF, ou 1. à 7. naura 8. pour le côté AB: & otant la méme BF de EF, ou 1. de 7. on aura 6. bour BE, ou pour l'autre côté BC; ce qu'il faloit faire. PROPOSITION VI. THEOREME. Si on ajoûte une ligne à une autre divisée en deux également, le rectangle compris fous la ligne composée des deux, & fous l'ajoûtée, avec le quarré de la moitié de ligne divisee, est égal au quarré d'une ligne composée de la moitié de la divisée, & de toute l'ajoutée, Ρί. το S I on ajoute la ligne BD, à la ligne Fig... AB, divisée également en C; le rectangle AN, compris sous AD & fous DN, ou BD, avec le quarré de CB, est égal au quarré de CD. Faites le quarré de CD, & ayant tiré la diagonale FD, tirez BG parallele à FC, qui coupe FD, au point H, par lequel passe la ligne HN parallele à AD: KG fera le quarré de BC; & BN, celui de BD, } Pl. 1. Fig. 10. Démonstration. Les rectangles AK, CH, fur les bases égales AC, CB, sont égaux (par la 36. du 1.) Les complemens CH, HE font égaux (par la 43. du 1.) Donc les rectangles AK, HE font égaux. Ajoûtez à tous deux le rectangle CN, & le quarré KG: les rectangles AK, & CN, c'est-à-dire le rectangle AN avec le quarré KG, sera égal aux rectangles CN, HE & au quarré KG, c'est-à-dire au quarré CE. Par les nombres.. Que AB foit de 8. parties; AC, de 4. CB, de 4. BD, de 3. ainsi AD sera de 11. Il est évident que le rectangle AN, qui est trois fois 11. c'est-à-dire 33. avec le quarré de KG 16. qui font 49. est égal au quarré de CD, 7. qui eft 49. car 7. fois 7. font 49. USAGE. Maurolycus mesure toute la terre fur une feule obfervation, en se servant de cette Propofition. Il veut qu'on observe du fommet A, d'une montagne connuë felon fa hauteur l'angle BAC, que fait la ligne AB qui touche la furface de la terre en B, avec la ligne AC qui passe par le centre : & que dans le Triangle ADF, la ligne DF étant une touchante; fçachant l'angle A, & l'an gle droit ADF, on trouve par la Trigonometrie |