Pl. 1.

pofition réfoudre facilement le Problême Fig. 11. fuivant. Trouver en nombres les deux cô

tez d'un rectangle, dont on connoît la difference des deux côtez & l'aire. Que la difference des deux côtez AB, BC, du rectangle ABCD foit de 4. pieds, & l'aire de

192.

2. Prenez fur le plus grand côté AB la ligne BE, égale à l'autre côté BC, & alors la ligne AE fera la difference de ces deux côtez, & elle vaudra par confequent 4. & fi on la divife en deux également au point F, chacune des deux moitiés AF, EF, vaudra 2.

Cette préparation étant faite, l'on confiderera que puifque le rectangle des deux lignes AB, BE, ou AB, BC, ou 192. avec le quarré 4. de la ligne EF, c'eft-à-dire en tout 196. est égal au quarré de la ligne BF, en prenant la racine quarrée de 196. on 'aura 14. pour cette ligne BF, à laquelle ajoûtant AF, ou 2. on aura 16. pour le plus grand côté AB: & de laquelle ôtant EF, ou 2. il restera 12. pour la ligne BE, ou pour l'autre côté BC.

On trouvera dans le fixiéme Livre le moyen d'avoir deux moyennes proportionnelles entre deux lignes données, j'ai tiré ce Problême des Elemens de Geometrie de Clavius, lequel le démontre très-aifément par le moyen de cette Propofition.

PROPOSITION VII.

THEOREME.

Si on divife une ligne, le quarré de toute la ligne, & celui d'une de fes parties feront égaux à deux rectangles compris fous toute la ligne, & fous cette premiere partie, & au quarré de l'autre partie.

U'ON divife la ligne AB à difcretion, au point C; le quarré AD, de la ligne AB, avec le quarré AL, fera égal à deux rectangles compris fous AB, AC, avec le quarré de CB. Faites le quarré de AB; puis ayant tiré la diagona le EB, & les lignes CF, HGI, prolongez EA,de forte que AK foit égale à AC: ainfi AL, fera le quarré de AC, & HK fera égale à AB. Car HA est égale à GC, & GC eft égale à CB, puifque CI eft le quarré de CB, (par le Corol. de la 4.) Démonftration.

Il est évident que les quarrez AD, AL, font égaux aux rectangles HL, HD, & au quarré CI. Or le rectangle HL eft compris fous HK,égale à AB,& fous LK, égale à AC. Pareillement le rectangle

Pl. 1.

Fig. 12.

Pl. I.

HD eft compris fous HI, égale à AB, & fous HE, égale à AC. donc les quarrez de AB, AC, font égaux à deux rectangles compris fous AB, AC, & au quarré de CB...

Par les nombres.

Qu'on fuppofe la ligne AB de 9. par ties; AC, dé 4; CB, des : le quarré de AB, 9. eft 81: celui de 4. eft 16. Or 81 & 16. font 97. Un rectangle fous AB, AC, ou 4. fois 9. font 36: étant pris deux fois, ce font 72 : le quarré de CB, 5, eft 25. Or 25. & 72. font auffi 97.

USAGE.

Par le moyen de cette Propofition; l'on Fig. 13. peut réfoudre facilement le Probléme fuivant. Trouver en nombres les deux côtez d'un rectangle, dont on connoît l'aire & la diagonale. Que l'aire du rectangle ABCD foit 240. pieds, la diagonale AC de 26. Prenez fur le plus grand côté AB, la ligne BE égale à l'autre côté BC. & alors la ligne AEfera la difference de ces deux côtez que l'on pourra trouver en cette forte.

Puifque les quarrez des lignes AB, be, ou AB, BC, c'est-à-dire, par la 47.) le quarré 676. de la diagonale AB,qui a été fuppofee de 26. pieds, eft egal au quarré de la ligne AE, & au double du rectangle fous AB, BE, ou fous AB, BC, c'est-à-dire à

480; fi l'on ôte ce double 480. du quarré précedent 676,il restera 196. pour le quarré de la ligne AE, ou de la difference des côtez AB,BC,laquelle par confequent fera de 14. pieds. Cette difference étant ainfi connue, avec l'aire du rectangle ABCD, les deux còtez AB, BC, fe pourront_connoître, comme il a été enfeigné dans la Propofition précedente.

PROPOSITION. VIII.

THEOREME.

Si on divife une ligne, & qu'on lui ajoûte une de fes parties, le quarré de la ligne compofee, fera égal à quatre rectangles, compris fous la premiere ligne, & fous cette partie ajoutée, avec le quarré de Pautre partie.

Q

Pl.

U'ON divife la ligne AB à difcretion, au point C; & qu'on lui ajoû- Fig. 144 te BD, égale à CB : le quarré de AD sera égal à 4. rectangles compris fous AB, BC ou BD, & au quarré de AC. Qu'on fasse le quarré de AD; & ayant tiré la diagonale AE, qu'on tire les perpendiculaires BP, CN, qui coupent la diagonale en I,

& en O: qu'on tire auffi les lignes MOH, GIR, paralleles à AB: les rectangles GC, LK, PH, MB, NR feront des quarrez (par le Corol. de la 4. )

Démonftration.

Le quarré ADEF, est égal à toutes ses parties; les rectangles LB, OD, PM sont compris fous des lignes égales à AB & BD. Si vous ajoûtez le rectangle Mlau rectangle PH, vous aurez un rectangle compris fous une ligne égale à AB, & fous une autre égale à CB, ou BD. Il ne refte que le quarré GC, qui eft celui de AC. Donc le quarré de AD est égal à quatre rectangles compris fous AB,BD,& au quarré de AC. Par les nombres.

Que la ligne AB, foit de 7. parties : AC, de 3; BC, de 4, auffi-bien que BD, le quarré de AD. I I. fera de 121. Un rectangle fous AB, 7 ; & BD, 4,eft de 28: lequel étant pris quatre fois, font 112, le quarré de 3. eft 9. Or 112 & 9. font 121. USAGE.

Cette Propofition fert principalement pour démontrer que le Foyer d'une Parabole eft éloigné de fon fommet d'une quantité égale a la quatrième partie du Parametre de Paxe, comme l'on peut voir dans le Traité des Sections Coniques de M. Ozanam.

Elle fert auffi pour refoudre autrement le