Imágenes de páginas
PDF
EPUB

Problême, qui a déja été réfolu dans la Pro- Pl. r. pofition 5. comme vous allez voir. Trou- Fig. 3. ver en nombres les deux côtez d'un rectangle, dont on connoît le contour & l'aire. Que le contour du rectangle ABCD foit de 28. pieds, & l'aire de 48. Prenez fur le plus grand côté AB prolongé,les deux lignes BE, BF, égales chacune à l'autre côte BC, & alors la ligne AE fera la fomme des deux côtez AB, BC, & par confequent de 14. pieds, parce qu'elle eft la moitié du contour, qui a été fuppofe de 28. pieds, & la ligne AF fera la difference des mêmes côtez que l'on pourra connoître en cette forte. Puifque le quarré de la ligne AE ou 196. est égal à quatre rectangles fous les lignes AB, BE, ou AB, BC, ou à 192, & au quarré de la ligne AF,fi de 196, on ote 192. le refte 4. fera le quarré de la ligne AF, laquelle par confequent vaudra 2. Si de la ligne AE, on ôte AF, & fi l'on ôte 2. de 14. il reftera 12, pour la ligne EF, dont la moitié donnera 6. pour chacune des deux lignes égales BE, BF, c'està-dire, pour le plus petit côté BC. Erfi à la ligne AF on ajoûte BF,ou 2 à 6, on aura 8 pour le plus grand côté AB. Ainfi les deux côtez AB, BC, feront connus.

a

Les deux Propofitions 9. 10. ne font pas fort confiderables, d'autant qu'on peut

Pl. 1.

s'en paffer dans ces Elemens. Je ne les ai neanmoins pas obmifes; mais vous pouvez les paffer fi vous voulez, pour vous attacher principalement à la 11. qui eft très-confiderable, & qu'il eft bon d'entendre parfaitement.

PROPOSITION IX.

THEOREM E.

Si une ligne eft divifee egalement, & inégalement; les quarrez des parties inégales feront doubles du quarré de la moitié de la ligne, & de celui de la partie d'entre-deux..

Q

U'ON divife la ligne AB en deux également, au point C, & inégaleFig. 15. ment, au point D. Les quarrez des parties inégales AD, DB, feront doubles des quarrez de AC, qui eft la moitié de AB, & du quarré de l'entre-deux CD. Tirez à AB, la perpendiculaire CE, égale à AC: tirez auffi les lignes AE, BE, & la perpendiculaire DF; comme auffi FG, parallele à CD: tirez enfuite la ligne AF.

Démonftration.

Les lignes AC, CE, font égales ; & l'angle Ceft droit: donc ( par la 5. du 1.)

les

les angles CAE, CEA, font égaux & demi-droits. Pareillement les angles CEB, CBE, GFE, DFB font demi-droits, les lignes GF, GE, DF, DB font égales, & l'angle total AEB eft droit. Le quarré de AE (par la 47. du 1.) eft égal aux quarrez de AC, CE, qui font égaux: Donc il est double du quarré de AC. De même le quarré de EF eft double du quarré de GF, ou CD: or le quarré de AF, est égal aux quarrez de AE, EF, puifque l'angle AEF eft droit; donc le quarré AF, eft le double des quarrez de AC, CD. Ce même quarré AF est égal aux quarrez de AD, DF ou DB, puifque l'angle D est droit donc les quarrez de AD, DB, font doubles des quarrez de AC, CD.

Par les nombres.

Que AB foit 10; AC, 5; CD, 3; DB 2: les quarrez de AD, 8, & DB, 2; c'est-à-dire 64, & 4, qui font 68, font doubles du quarré AC qui eft 25,& du quarré de CD, 3, qui eft 9 ; car 25 &9, font 34, qui eft la moitié de 68.

USAGE.

Cette Propofition fert à réfoudre facile-Pl. 1: ment le Probleme fuivant, qui fans cela paroît plus difficile. Trouver les deux côtez d'un rectangle, dont on connoît la diagonale, & la fomme des deux côtez inégaux.

Que la diagonale AC du rectangle AB CD foit de 26 pieds, & la fomme des deux côtez AB, BC, foit de 34 pieds. Prolongez le plus grand côté AB vers E, en faifant BE égale à BC, pour avoir la -Somme AE des deux côtez AB, BC, qui fera de 34 pieds: & divifez cette fomme AE en deux également au point F, & chacune des deux moitiez AF, EF, fera de 17 pieds. Après cela faites le raifonnement fuivant.

Puifque les quarrez des deux lignes AB, BE, c'eft-a-dire, (par la 47. du 1.) le quarré de la feule ligne AC, ou 676, eft double des quarrez des lignes AF, BF, ja moitié 338. fera la fomme des quarrez des lignes AF, BF: & comme le quarré de AF eft 289, il s'enfuit que fi l'on ote ce quarré 289 de la moitié precedente 338, il restera 49 pour le quarré de la ligne BF, laquelle par confequent vaudra 7. Si à la ligne AFon ajoûte BF, ou 17 à 7, l'on aura 24 pour le plus grand côté AB: & fi de la ligne EF, on ote la ligne BF, ou que de 17 l'on ôte 7, il restera 10 pour la ligne BE, ou pour fon égale BC. Ainfi les deux côtez AB, BC, feront connus.

PROPOSITION X,

THEOREM E.

Si on ajoûte une ligne à une autre divifée également ; le quarré de la ligne compofee des deux, avec le quarré de ajoûtée, font doubles du quarré de la moitié de la ligne, du quarré de celle qui eft compofee de cette moitié & de l'ajoutée.

Sa

Fig. 18,

I on fuppofe la ligne AB, divifée P1. r. par le milieu au point C; & fi on y ajoûte la ligne BD: les quarrez de AD, & de BD, feront doubles des quarrez AC & CD. Tirez les perpendiculaires CE, DF, égales à AC tirez enfuite les lignes AE, EF, AG, EBG.

Démonftration.

Les lignes AC, CE, CB, étant égales, & les angles au point C étant droits, les angles AEC, CEB, CBE, DBG, DGB, feront demi-droits; & les lignes BD, DG,、 EF, FG, CD, feront égales. Le quarré de AE, eft double du quarré de AC: le quarré de EG, est auffi double du quarré de EF, ou CD, ( par la 47. du 1.) Orle quarré AG, eft égal aux quarrez de AE,

« AnteriorContinuar »