& en déterminant la valeur de x telle qu'on voudra, pourvû qu'elle foit moindre que le diametre AB, on trouvera la valeur de y qui lui répond; & de même en déterminant telle valeur de y qu'on voudra, pourvû qu'elle n'excede pasd, on trouvera la valeur de x qui lui répond, par la 76. résolution des équations du second degré. * Čela est cause qu'on nomme l'équation yy = dx dx+yy xx, ou xx o, l'équation au cercle, ou le lieu du cercle. Les abciffes x font fur le diametre BA, & B eft leur origine; & les DE (y) font les ordonnées. VI. 2 Supposant toujours AB=d, ED=y, fi l'on suppose chaque CD=x, l'on aura DE (yy) =AD x DB = = d + x x 12 d -x=dd- -xx; ainfi yy1dd-xx, ou xx +yy - 2 dd eft auffi l'équation du cercle, ou le lieu au cercle. L'origine est au centre Ć; les abciffes CD (x) font fur le demi diametre CB ou CA, & les ED (y) font les ordonnées. 4 = VII. 290. On peut par le moyen du troifiéme Corollaire, changer l'expreffion d'un rectangle ab en un quarré cc, fans en changer la valeur, il n'y a qu'à mener une ligne droite AB égale à la fomme des lignes AD (a)+DB (b), tracer une demicirconference dont AB foit le diametre, & élever au point D, où elles fe joignent, la perpendiculaire DE, qu'on nommera c jusqu'à la circonference; & l'on aura DE (cc)=AD × DB (ab). D'où l'on voit que fi l'on avoit xx = ab, on trouveroit de la même maniere la valeur de x, car faisant AD =a,&DB=b, DE fera égale à x, étant moyenne proportionelle entre AD (a) & DB (b). 291. 2 Si l'on avoit xx = aa --- bb, on trouveroit de même la valeur de x, en faisant AD=a+b,&DB=a—b, car DE feroit égale à x, puifque DE' (xx) = AD × DB=aa bb, & x=√aabb. 2 On peut encore trouver de cette autre maniere la valeur de x dans l'équation xx = aa— - bb. Il faut faire AB―a, tracer un demi cercle fur le diametre A B (a); & après avoir ouvert le compas de la grandeur de la ligne AE, qu'on fuppofe égale à 6, & mis une des pointes fur l'extrêmité Ail faut marquer le point E où l'autre pointe coupe la demi 292. 293. la demi circonference, & tirer EB, ce fera la valeur de x; 12 -2 -2 car EB (xx)=AB (aa) — AE (bb) ; & x = √ aa — bb. 2 Refolution geometrique des équations du fecond degré. PREMIERE MANIER E. TOUTES les équations du second degré peuvent le réfou- SECONDE MANIERE. I 294. POUR rendre cette résolution plus distincte, on réduira toutes les équations du fecond degré à ces quatre formules. 1o, xx — dx—bb—o. x= ÷d+V÷dd+bb. x= id-V1ddbb. 2o, xx + dx —bb=0. x=d+vidd+bb. x=— 1 d — √ 1⁄2 dd+bb. 3o, xx — dx+bb=0, x= 1d+V÷dd—bb. x 4°, xx + dx+bb =0. x—— 1d+V÷dd—bb. x Tome II. 4 d — √ i dd — bb. I d — √ i dd — bb. C Pour trouver les valeurs geometriques des deux racines de la premiere & de la feconde formule, dont l'une eft FIG.II. pofitive, & l'autre négative, 1°. on tirera la ligne CD égale à la moitié de la ligne représentée par d dans les Problêmes exprimez par ces deux équations; c'est-à-dire, on fera CD d. 2°. On élevera la perpendiculaire DE-b. 3o. Du centre C avec l'hypothenufe CE, on tracera la demi-circonference AEB, & on prolongera CD de côté & d'autre jufqu'à la circonference; & AD sera la racine positive de la premiere formule, & DB fa racine négative. Et au contraire DB fera la racine pofitive de la feconde formule, & AD fa racine négative. = Car+AD CD (+ ✓‡dd+bb); ainfi AD CE, ou CB ou x = 1/2 d + √ 14 dd +bb ; & DB CD + DE2 (= dd +bb) + CD ( + d); ainfi DB = x + d —√dd+bb; & pour la feconde formule, il faut prendre la racine négative du côté de DA, & l'on aura x-DA—— DC (— — d) — CA ou - CE ( — √ — dd +bb); & la positive x=+DB= +CB ou +CE ( + √ — dd +bb ) — CD (— 1d). = Pour trouver les valeurs des deux racines de la troifiéme & de la quatrième formule, 1°. Il faut faire le diametre AB de la demi-circonference AEB-d; ainfi CA ou CE ou CB =d. 2°. Il faut élever BF perpendiculaire fur AB à l'extrêmité B; & faisant BF b, mener par F la ligne FE parallele à BA. 3°. Abaiffer par le point E où elle rencontre la demi-circonference, la perpendiculaire ED au diametre qui le rencontrera en un point D; AD fera la premiere racine pofitive de la troifiéme formule; DB fa feconde racine pofitive. De même AD fera la premiere racine négative de la quatrième formule, & DB fa 2e racine négative Car x AD = AC (+ d) + CD ou + V CE -2 ED ( + √ 1 dd — bb) ; & x = + D B = +CB (+1⁄2d) — CD - ED2 ( — √ 4 dd — bb). Pour la quatriéme formule, la premiere racine négative eft x——AD——CA ou 2 CE СЕ ·AD: (d) — CD ou — - VCE2 - ED2 (= dd — bb ) ; & la feconde racine négative x=- DB - CB (— 1d) +CD(+√ — dd — bb). 295. 296. REMARQUE QUAND dans la refolution des deux dernieres formules Dans le cas où BF (b) = CD (d), la parallele FE ne I do EXEMPLE I I. ABDE eft un quadrilatere infcrit dans un cercle, pour Fie. III. y trouver des triangles femblables qui faffent découvrir les proprietez qui lui conviennent, il faut tirer les diagonales AD, BE, & la ligne DF qui fasse au point D l'angle EDF égal à l'angle ADB; & l'on aura 1°. le triangle ADB semblable au triangle EDF; car l'angle ADB eft égal par la fuppofition à l'angle EDF, & les angles DAB, DEF font égaux, ayant chacun pour mefure la moitié de l'arc BD. 2o. Les triangles ADE, BDF font auffi femblables, parceque les angles ADE, BDF font égaux, contenant chacun les angles BDA, EDF égaux par la fuppofition, & de plus l'angle commun FDA, & les angles DAE, DBF font auffi égaux, ayant chacun pour mesure la moitié de l'arc DE. Suppofant à present AE=a, AB=b, BD=c, DE ='d, AD=e, BE=f, FE=x; par confequent BF BE (ƒ) — F E ( x ). L'on aura à cause des triangles femblables ADB, EDF, AD (e). DE(d) :: AB(b). EF (x); d'où l'on déduira cette premiere égalité ex-bd. L'on aura auffi à caufe des triangles femblables ADE, DBF, BF (fx). AE (a) :: BD (c). AD (e); d'où l'on déduira ་ cette feconde égalité ef—ex—ac. Ajoutant ces deux égalitez, on trouve AD x BE (ef) =ЯE × BD (ac) + AB × DE (bd); c'est-à-dire qu'en tout quadrilatere infcrit au cercle le rectangle des diagonales AD × BE (ef), est égal à la fomme des rectangles des côtez oppofez AE × BD + AB × DE (ac+bd), qui eft une proprieté de ce quadrilatere qui fert dans la trigonometrie. EXEMPLE III. FIG. IV. PARTAGER une ligne donnée AB (a) en deux parties 297. AC, CB, en forte que la partie AC foit moyenne proportionelle entre la ligne entiere AB & la partie CB. Soit la partie inconnue que l'on cherche AC=x, ainfi CB=a-x; & par les conditions du Problême l'on aura AB (a). AC(x) :: AC(x). CB (a — x); d'où l'on déduira l'équation aa—ax=xx, ou xx+ax — aa— 0. On trouvera la valeur pofitive de x=—{a+√ — aa+aa, ou — — a + √ 1⁄2 aa, en faisant (fig 2.) CD=1, la perpendiculaire DE—a; traçant du centre C avec l'hypothenuse CE prise pour rayon l'arc BE, & prolongeant CD jusqu'à l'arc en B, car DB fera⇒x=+CB ou+CE (+√1⁄2aa+aa} — CD ( — — a) — AC (fig. 4.) que l'on cherchoit. = AVERTISSEMENT. CES courbes. |