nelle; ainfi eft réciproque à 3, cart. 1 :: 1. 3; & en generaleft réciproque à +n, car 1. 1 :: 1.1+12. I COROLLAIRE I. 638. IL fuit de là & des Corollaires qui précedent, que fi l'on prend quatre termes de la progreffion géometrique qui foient en proportion, les quatre fommes des quadrilateres hyperboliques prifes depuis le point G de l'unité, qui auront ces quatre termes moins KG pour bases, feront une proportion arithmetique. Par exemple fi l'on prend KF.KI:: KL.Kn,les quatre fommes des quadrilateres hyperboliques prises depuis AG, fçavoir AGFƒ, AGIi, AGLI, AĞnm, feront une proportion arithmetique; & de même si KR. KQ :: KQ. KP, les quadrilateres hyperboliques fur GR, GQ, GP feront une proportion arithmetique; car quatre termes de la progreffion géometrique, comme KF, KI, KL, Kn, ne sçauroient faire une proportion géometrique qu'il n'y ait un égal nombre de petits raports égaux à celui qui régne dans la progreffion entre le premier KF & le fecond KI, & entre le troifiéme KL & le quatrième Kn; ainfi il y a le même nombre de ces petits raports égaux entre F & I, qu'entre L &n; Y donc le même nombre de petits quadrilateres hyperboliques égaux fur FI & fur Zn; par conféquent l'excès de AGIi fur AGFf est égal à l'excès de AGnm fur AGLI; ce qui fait une proportion arithmetique. Il eft évident que la même démonstration convient à quatre termes tels qu'on voudra de la progreffion géometrique, qui feront une proportion géometrique. COROLLAIRE II. 639. QUAND deux termes de la progreffion géometrique font réciproques, comme KR (égal par exemple à ), & KI ( égal à 3), les deux quadrilateres hyperboliques fur GR, GI, qui font fur les differences G R & GI de l'unité à ces deux ter. font égaux: car KR. KG :: KG. KI par la fuppofition; donc par le Corollaire précedent le quadrilatere fur GR est égal au quadrilatere fur G I. mes, TROISIE ME SUPPOSITION OU DE'FINITION. 640. SI l'on conçoit écrits de fuite fur une même ligne, ou fi lon veut dans une même colonne, tous les nombres depuis zero de la progreffion géometrique dans laquelle régne le raport qui ne différe du raport d'égalité que d'une grandeur infiniment petite, & qui vont en augmentant, de maniere que l'unité fe trouve placée entre tous les nombres moindres que l'unité & les nombres plus grands, c'est-à-dire que l'unité foit précedée de tous les premiers mis de fuite, & fuivie des autres auffi mis de fuire, & que fur une ligne au-dessus, ou dans une colonne à côté, l'on conçoive zero écrit vis-à-vis de l'unité, la valeur d'un des petits quadrilateres hyperboliques écrite à côté du nombre immédiatement plus grand que l'unité avec le figne+, & encore vis-à-vis du nombre immédiatement moindre que l'unité avec le figne la fomme de deux de ces petits quadrilateres écrite vis-à-vis du fecond nombre plus grand que l'unité avec le figne +, & encore vis-à-vis du fecond nombre moindre qui la précede avec le figne; la fomme de trois quadrilateres écrite visà-vis du troisième nombre qui fuit l'unité avec +, & encore vis-à-vis du troifiéme qui la précede avec-; & ainfi de fuite; la feconde ligne ou la feconde colonne contiendra une progreffion arithmetique, dont chaque terme s'appelle le logarithme hyperbolique du terme de la progreffion géometrique qui eft vis-à-vis, qu'on appellera fon terme correspondant; zero fera le logarithme de l'unité, & fe trouvera entre les logarithmes négatifs qui le précedent, & qui font les logarithmes des nombres moindres que l'unité, & entre les pofitifs qui font les logarithmes des nombres plus grands que l'unité. Corollaire où l'on explique l'ufage des logarithmes. 641. L'USAGE des logarithmes eft pour diminuer la peine du calcul dans les Mathématiques practiques, comme dans la Géometrie practique, l'Aftronomie, &c. on change par leur moyen les multiplications & les formations des puiffances en de fimples additions, & les divifions & les extractions des racines en de fimples fouftractions; car le quatriéme terme ba d'une proportion arithmetique dont zero eft le premier terme o, a ; b, b+a étant la fomme des deux moyens a, b; & le troifiéme terme a d'une proportion arithmetique dont zero eft le dernier terme b✈a, b; a, o étant la différence du premier terme b+a & du second b, c'est-à-dire ba as quand on a une multiplication à faire, c'est-à-dire 642. qu'il faut trouver le quatriéme terme d'une proportion géo- Les formations des puiffances n'étant que des multiplica XLVII. Les formules pour trouver les logarithmes hyperboliques. 643. POUR trouver le logarithme hyperbolique d'un nombre FIGUR Z quelconque plus grand que l'unité, qu'on marquera par i+n, il faut imaginer que ce nombre eft une coupée, par exemple KF fur l'afymptote KZ, & l'ordonnée correfpondante eft Ff, que fa premiere partie 1 eft KG, & fa feconde partie n = GF; & la queftion se réduira à trouver le quadrilatere AG Ff, qu'on nommeral, c'est-à-dire logarithme. L'équation à l'hyperbole équilatere eft =fF=== KGX GA KF La differentielle de KF 1+ n est dn; ainfi l'élement du dn quadrilatere left dl, qui fe réduit à d+dl dn Or on trouvera comme dans l'article 227, où eft ce même exemple, excepté que (1) y eft nommée x; dl, dx; n, y ; & dn, dy; le logarithme l—in — nn + ÷ n3 — \n* + } n' — &c. C'est la formule pour trouver le logarithme d'un nombre qui furpaffe l'unité. = Quand le nombre propofé fera moindre que l'unité, on le nommera in; & l'on aura l'equation and. I & l'on trouvera par la même méthode le logarithme /—in + 1⁄2 n2 + { n2 + n2 + } n2 + &c. C'est la formule pour trouver le logarithme d'un nombre moindre que l'unité; il faudra feulement, quand on l'aura trouvé, mettre le figne audevant de la fomme qui contiendra tel nombre que l'on voudra des termes de la fuite que fera trouver la formulę, USAGE DES FORMULES, 644. IL n'y a qu'à fubftituer le nombre dont on cherchera le logarithme à la place de 1+n ou de in dans les formules, ou fimplement la difference de ce nombre d'avec l'unité à la place den; & la fomme qu'on trouvera fera le logarithme. Mais comme il faut que les termes de la formule aillent en diminuant, & que les logarithmes d'un nombre moindre que l'unité, & celui de fon reciproque plus grand que l'unité, font égaux, il vaudra mieux fe fervir de la feconde formule, & mettre le nombre représenté par à la place de In dans la feconde formule, c'eft-à-dire qu'il y faut met. à la place—n; car 1—1— tre ΙΟ 142 n La maniere de réduire les logarithmes hyperboliques 645. DANS les logarithmes des tables, le logarithme du nom. bre 10 eft l'unité précédée d'un grand nombre de zeros, les logarithmes de 100, de 1000, de 10000, &c. font 2,3,4, &c, précedés du même nombre de zeros. Or en concevant les logarithmes ordinaires des tables écrits dans une 3o colonne à côté des logarithmes hyperboliques correspondans, il est clair que le logarithme hyperbolique de 10, (qu'on trouvera 2, 30258509299404568401799145468, fi l'on veut le calculer 646. 647. calculer jufqu'à trente rangs), eft au logarithme hyperboli- Quand on a le logarithme 1 d'un nombre, trouver ce nombre. IL faut fe fervir de la méthode du retour des fuites 234 & 235, où l'on a mis ce même Problême pour exemple; c'està-dire, il faut par le retour des fuites, ayant /n — — n n + ¦ n3 — 1 n*, &c. ou l =n+m+n+ &c. trouver la valeur de 'n exprimée par 1 & par les puiffances de l, & y ajouter l'unité pour avoir la valeur du nombre +n, ou retrancher la fuite qu'on trouvera de l'unité pour avoir le nombre in; & l'on trouvera 1+n=1+}{+}/1 + x; } }3 13 +2×3×4 1*+ &c. & 1 — n=1 — {}{} + { // — { } } /3 + 2x 3×4 1+ -&c. On trouveroit les mêmes formules par les équations d l = dn, & dl, en réduifant la re à 1+n=d=0, & la 2° à 1 — n = d no, & y appliquant enfuite la méthode du fecond Probl. 175. I с I Avertissement. I I I X3 2X3X4 On ne s'arrêtera pas ici à donner plufieurs moyens de faci liter & d'abreger le calcul de ces logarithmes, étant obligé d'être court; pour dire cependant beaucoup de chofes en peu de mots, on s'attache dans ces ufages de l'Analyse à faire concevoir clairement aux Lecteurs les méthodes generales qui leur feront réfoudre une infinité de Problêmes. REMARQUE. LEs lignes droites peuvent avoir leurs logarithmes hyper- FIGURE Tome II. Ff |