troifiéme dégré, où les trois valeurs de y font réelles & inégales; (carp furpaffe 1qq*), & deux de ces valeurs font *80 & 82. pofitives, & la troifiéme valeur eft négative, & égale à la a = ڈرو 4 a a = 0, lomme des deux autres*. De même fi l'on fubftitue la va- *79&80. leur de Ab (x) = a au point a, a au point a, dans l'équation de la courbe, elle deviendra pour le point a, y3 — aay + {a} o, qui étant divifée par y = o, donne pour quotient l'équation du fecond degré yy → Zay — — a dont la racine pofitive eft y=- La +Vaa; & la négative eft y == - La Vaa. Tout cela fait voir que la courbe a trois branches par raport à chaque coupée pofitive AB ( + x); les deux valeurs pofitives de y déterminent les ordonnées BC, Bc des points dont la fuite forme les deux branches de la courbe ACa, Aca qui font au-deffus de AB; la valeur négative dey, qui eft toujours égale à la fomme des deux pofitives, exprime l'ordonnée Bc qui fe termine à la troifiéme branche de la courbe Acc, qui eft au-deffous de AB, & l'on voit auffi* que AB eft l'axe de la * 357. courbe entiére. Mais, 20. on peut concevoir les branches, que forment les y pofitives, auffi formées par les x pofitives; & le point a eft commun aux deux branches formées, l'une par les y pofitives, l'autre par les x pofitives; car au point a ay; cela fait voir que ces deux branches for ment une courbe qui rentre en elle-même, & qui renferme une espace; & cependant l'ordonnée ab (y) du point a, rencontrant encore la courbe au point C, puifque a b (y) a deux valeurs pofitives, il eft évident qu'il y a encore des ordonnées pofitives y qui rencontrent la courbe au-delà de l'ordonnée ba. 30. Pour trouver la plus éloignée des y pofitives, & en même tems la plus grande AB (x) des coupées pofitives, on remarquera que cette derniére doit toucher la courbe; car il eft clair que les ordonnées qu'on peut imaginer au-delà de celle qui touche la courbe, ne la rencontrent plus, étant paralleles à l'ordonnée qui la touche. Or au point où l'ordonnée y eft tangente, dy* eft * infinie par raport à dx ; ainfi prenant les différences de l'équation x3 + y3 on trouve d <=0 axy fuppofant, l'on aura — 3yyax = 0; ce qui donne yy = {ax, & y = √ }; ax; fubftituant ces valeurs dans l'équation, elle deviendra ( comme on le trouvera facilement par 1 3xx-av y & *85. I axy =0 que le calcul) x = a3, d'où l'on tirera x= =a√4, pour la valeur de la plus grande x, qui eft la coupée de l'ordonnée pofitive y tangente de la courbe la plus éloignée des y pofitives. 40. Pour trouver la valeur de cette y qui eft tangente de la courbe, il ne faut que fubftituer au lieu de x fa valeur a√√4 4 dans x + y3 & l'on aura l'équation y3 · aay√4 + —a3 = o, dans laquelle y a deux valeurs pofi * 81. tives égales ( car 17p=99* ;) & de plus il est visible les deux points C, c, (où les deux y pofitives qui conviennent à une même coupée x, rencontrent la courbe,) fe réunissent au point où y touche la courbe ; & une valeur négative égale à la fomme des deux pofitives, laquelle valeur négative eft celle de ―y, qui est l'ordonnée de la branche de deffous Acc qui convient à la même coupée x= a4. On trouvera aifément que les deux valeurs pofitives de y font chacune y = a√2, & que la valeur négative eft y =— Zay 2. 5o. Si l'on fubftitue à la place de x dans l'équation de la courbe x3 y3 —axyo, une grandeur pofitive qui furpaffe la plus grande x = a4, par exemple + a, l'équation y aaya3o aura deux valeurs de y imaginaires (carp eft moindre que 99*,) & une feule valeur réelle de y, c'est-à-dire, qu'il n'y a plus de branches de la courbe au-deffus de AB; mais que la branche Acc qui eft audeffous, & dont les ordonnées y font négatives, continue toujours. 60. Si l'on veut voir quelles font les branches de la courbe qui ont raport aux coupées négatives AF (— x) qui vont du côté oppofé de l'origine A des x; alors l'équation de la courbe sera y3+axy — x3= o, laquelle fait voir qu'en substituant à la place de x une quantité conftante, l'équation déterminée qui en viendra n'aura qu'une feule valeur réelle de y, & les deux autres feront imaginaires* à cause de+axy. Ainfi la courbe aura une 4o branche Ace, par raport aux x négatives, dont les ordonnées feront les valeurs réelles des y de l'équation précédente. Mais comme en prenant les coupées fur AD (y), & les ordonnées DE, De, De(x) parallèles à AB, l'on trouveroit les trois branches AEa, ACa, Ace formées par les ordonnées x : Les deux premiéres font les mêmes que l'on a trouvées pour les valeurs pofitives des ordonnées y, en prenant les x pour les coupées; & la troiHéme eft femblable à la troifiéme Acc des ordonnées néga 83. 80. tives 806. 807. tives y, & la même que la quatrième qu'on vient de marquer être formée par les valeurs réelles des y dans l'équation ́y3 +axy — x3 = o, où les x font négatives. AF V. 5°. La même équation de la courbe fert à en trouver les tangentes & toutes les autres propriétés. On ne fera voir ici que la maniére de trouver les tangentes de la branche Aee, qui a raport aux x négatives AF, parcequ'elle fervira à trouver l'afymptote de cette branche Aee, & de la branche Acc qui lui eft entiérement femblable, & qui a raport aux y négatives Af prises pour coupées. Ainfi fuppofant les coupées =-x, & les ordonnées Fey, l'équation de la courbe Are eft y x3= axy; en prenant les différences on aura 3yydy axdy =3xxdx aydx, ce qui donnera 3x, d'où l'on déduira dx 333 + ax ) = F S = S, c'est la foutangente. On déduira de FS (S) 3+4x), AS —— AF FS= -x+S= − 3 ×3+axY+3y3 + axY (en mettant à la place.de 3y3 3axy prife de l'équation de la courbe) 3xxays qu'on nommeras — AS. Zyy+ax 3x3 fa valeur -axy = 3xx-a) V I. 3xx-ay -35xr ax- as 60. Pour trouver l'afymptote de cette branche Aee, on remarquera que l'afymptote eft une tangente de la courbe à l'infini, c'est-à-dire, à un point de la courbe infiniment éloigné de fon origine As ainfi y&x font chacune infinie au point touchant de l'afymptote. Prenant donc la valeur de y dans l'équation s = 3xx-a77 , on trouvera y = =*=( à cause que x étant infinie par raport à s, as doit être regardée comme zero par raport à ax ) =*. Et mettant cette valeur de y dans l'équation de la courbe y3 — x3 —— elle devien axy, -2753x3 — a3×3 = + 3 a'sxx, ou bien-275'xa3x - za3s= = 0 ; & 3ais étant nulle par raport aux deux autres termes, à caufe que x eft infinie, l'équation fera — 2753 = a3 ; d'où l'on déduira s -- a=AS; c'est-à-dire la droite AS doit être égale à a au point de la tangente infinie de la branche Aee. D'où l'on voit que fi l'on prend, du côté des quantités négatives, A K =a, le point K fera l'un des points de l'afymptote. dra *805. Nomb. 3c. 3xx-a7 -ary Z32+ax -axy ay+at Pour trouver un fecond point de l'afymptote, il faut pro longer la tangente e S jufqu'à ce qu'elle rencontre DAŤ au point 7, ce qui donnera les triangles femblables eFS,SAT; d'où l'on aura cette proportion FS (+43). Fe (y) :: AS (7429). AT =*=** qu'on nommera t. Il faut prendre la valeur de x par le moyen de l'équation t, & l'on trouvera x=-3. Mais dans le cas où x & y font chacune infinie, c'est-à-dire, lorfque la tangente eft infinie, le terme at eft nul par raport au terme ay; ainfi par raport à l'afymptote l'on aura x. Il faut met. tre cette valeur de x dans l'équation de la courbe, & elle deviendra 2783y + a3y = 3at. Et le terme za3t étant nul à caufe que y eft infinie par raport à t, cette équation sera → 27ty + a3yo, d'où l'on tirera t—— = AT ; c'està-dire, la ligne AT (t)doit être égale à a au point de la tangente infinie, ou de l'afymptote de la branche Aee. D'où l'on voit que fi l'on prend du côté des grandeurs négatives Aka, le point k fera un second point de l'afymptote; ainfi la ligne Kk fera l'afymptote de la branche Ace, & par conféquent de la branché femblable Acc. de x = 4 VII. = il 808. 7°. On fera remarquer ici qu'en fuppofant, l'on trouve dx dx dy A, qui eft ici celui de l'origine, la fuppofition de les valeurs des coordonnées au point A d'une courbe qui a plufieurs Branches qui fe coupent à ce même point A, dans le feul cas où les parties infiniment petites des branches de la courbe au point d'intersection A, font paralleles aux coordonnées; car dans ce cas les tangentes au point d'interfection A font paralleles aux coordonnées, fçavoir, la petite partie de la branche AE, & la petite partie de la branche Acc au point A, font partie de la tangente DAT paralleles aux ordonnées BC, Bc, Bc (y). Ainfi dy eft infinie par raport à dx au point A, eu égard à ces deux branches qui n'en font qu'une, & y s'y trouve avoir trois valeurs égales à zero; & de même les petites parties des branches AC, Ae qui n'en font qu'une, font au point A dans la tangente BAK de ces deux branches; ainfi dx eft infinie à ce point A, par raport à dy, eu égard à ces deux branches qui font enfemble la même branche continuée. Ainfi quand on a dit, art. 554, nomb. 4 à la fin, & art. 5 5 9 à la fin, que dx & dy ne pouvoient pas être chacune égale à zero à un même point d'une courbe où la tangente eft parallele à l'une des coordonnées, cela ne doit s'entendre à la rigueur que d'une même branche de courbe, & non pas de deux branches d'une même courbe, qui fe couperoient de façon que les deux petits côtés de l'angle que font à ce point d'interfection les deux parties infiniment petites de chacune des branches, feroient paralleles aux coordonnées. Cependant cette fuppofition alternative de dy = o, de dx ➡o au même point d'une courbe, ne marqué qu'il y a des tangentes paralleles des coordonnées au point d'interfection des branches d'une courbe, que dans le cas feul qu'on vient d'expliquer; & pour ce feul cas, il y en a une infinité où les branches d'une même courbe fe coupent de façon que les petites parties de chaque branche, au point d'interfection, ne font pas paralleles aux coordonnées, & ainfi il n'y a a ce point d'interfection aucune tangente de la courbe parallele aux ordonnées; ni par conféquent aucune plus grande ou moindre x, ni aucune plus grande ou moindre y. Mais comme on ne laiffe pas de trouver à ce point d'interfection des valeurs de x & de y, en fuppofant alternativement dy o, à ce point d'interfection; parcequ'il eft évident qu'il doit y avoir au point d'intersection des branches d'une dx |