fer AH, n'a aucune lettre commune avec l'expreffion du divifeur AB, que AH eft, par exemple, exprimée par c, & AB par a, la divifion fe marque ainfi ; & fuppofant: que AK eft l'unité, l'on a toujours la même proportion. AB(a). AH (c) :: AK(1), AM=

AH

D'où il est visible que 4H (2), qui eft l'expreffion du ra

AB

port de AH à AB, est la même chofe que(); les raports égaux exprimant des grandeurs égales, & l'on voit auffi qu'on peut toujours fous-entendre l'unité écrite fous une grandeur entiere ou rompue, comme étant le dénomi nateur de la fraction dont cette grandeur eft le numerateur, fans que cela en change la valeur.

REMAR QUE.

276. ON doit remarquer que dans les comparaifons des lignes, l'unité eft ordinairement arbitraire; c'eft-à-dire, qu'on peut prendre une des lignes données pour l'unité, en raportant toutes les autres à cette ligne comme à leur unité : Mais quand on a ainfi déterminé l'unité, on ne doit plus dans toute la queftion que l'on veut réfoudre, prendre d'autre FIG. 1. ligne pour l'unité; ainfi fuppofant dans les deux triangles semblables AMK, AHB, que AK=a, AB=b, AH =d, AM = c; fi l'on prend la ligne AK (a) pour l'unité l'expreffion = AH (d) marquera le produit des lignes AB(b), AM (c), qui est AH=.

a

an

pro

Quand on a ainfi déterminé une des lignes d'une question comme a pour être l'unité, on y trouve ces deux commoditez. 1°. On peut l'effacer des produits où elle fe trouve, ce qui abrege l'expreffion de ces produits, fans en diminuer la valeur, l'unité ne changeant rien dans la valeur des duits où elle fe trouve; ainfi aabc= bc, bet bcd. 20. On peut dans une équation rendre tous les termes d'un même nombre de dimenfions, en multipliant chaque terme par l'unité repetée autant de fois qu'il lui manque de dimenfions pour égaler les dimenfions des autres termes, ce qui les rendra homogenes. Ainfi on rendra tous les termes de x3 →px-bcdo, homogenes, en écrivant x3 + apx bcd

o; ou bien en divifant les termes qui ont le plus de dimenfions par l'unité repetée autant de fois qu'il manque

277.

de dimenfions aux autres pour les égaler. Par exemple, on
peut rendre homogenes tous les termes de xx
xx- - bbcx — ccdd
o, en écrivant xx-

bbcx-ccdd
=0.
aa

Les extractions des racines dans les calculs de l'Analyse, que l'on marque par les fignes radicaux V, V, V, &c. comme V,,V, Jab, Jabc, &c. & par les grandeurs mêmes qui font les racines, quand cela fe peut, comme a eft la racine quarrée de aa, b la racine cubique de b', &c. font les expreffions des Problêmes ou des figures que l'on fait dans la Geometrie, pour trouver les lignes qui font moyennes proportionelles entre d'autres lignes, ou entre l'unité & d'autres lignes, Par exemple, vab marque la ligne qui eft moyenne propor, tionelle entre la ligne a & la ligne b; abc exprime la premiere des deux lignes moyennes proportionelles entre la ligne qui eft prife pour l'unité, & la ligne qui eft exprimée par le produit abc des trois lignes a, b, c ; & ainfi des autres.

COROLLAIRE I.

278. IL est évident, après ce que l'on vient d'expliquer, que tous les calculs de l'Analyfe peuvent être repréfentez par les lignes & les figures de la Geometrie, par le moyen des triangles femblables & des proportions des lignes; & que tous les raports de ces lignes qui forment les figures de la Geometrie, peuvent être marquez par les expreffions & les cal culs de l'Analyfe.

279.

IL eft de même évident que l'on peut changer, pour la commodité du calcul, des expreffions compofées en d'autres plus fimples, & des expreffions embaraffantes en d'autres plus faciles, fans en changer la valeur.

Par exemple, en nommant a la ligne prife pour l'unité, on peut réduire les produits les plus compofez à une feule lettre. Si l'on a bede, 1°. faifant a. b::re, qu'on fuppofera

=

ན

m', l'on aura ambe; & fubftituant am au lieu de be, on aura amde bcde. 2°. Faifant enfuite a.md. n, l'on aura anmd ; & fubftituant cette valeur de md dans amde. on aura aane = bcde. 30. Faifant enfin a.ne. p, on aura apne; & fubftituant cette valeur de ne dans aane, on aura ap=bcde; où fapprimant l'unité, on aura p= bcde

Si l'on avoit de, on trouveroit ap = bcde, & aaq=fgh;

bcde Fsh Lede fsh

& l'on auroit == ; enfuite faifant q. p::a

q. p':: a(1). r,

Si l'on avoit une fraction dont le numerateur & le dénominateur fussent complexes; c'est-à-dire, continffent plufieurs produits joints par + &—, on pourroit abreger de même l'expreffion de cette fraction complexe.

efg

On peut auffi abreger l'expreffion des fractions dont le numerateur & le dénominateur contiennent le produit de plufieurs lettres comme abcd en faisant en forte que la même lettre se trouve au numerateur & au dénominateur, ce qui la fait évanouir; car faisant a. b:: cm, on aura am = bc, & abcd=aamd; puis faifant comme a. m :: d. n, on aura abcd=aaan; faisant de même pour le dénominateur a.e :: f. p, on aura ap=ef, & efg=apg; failant ensuite a. p::g. q, on aura aq=pg; ainfi efg=aaq, & abcde ana; enfin faifant q. a;:n. r, on aura r=

=

=

an

Si l'on avoit be de, en trouvant m moyenne propor. tionelle entre 6 &c, & n moyenne proportionelle entre d & e, l'on changeroit l'expreffion be― de en mm—nn qui bc lui feroit égale.

Il y a beaucoup d'autres manieres de changer ainfi les ex, preffions en d'autres, fans en changer la valeur que l'on tire des triangles femblables, & des autres figures de la Geometrie ordinaire.

Seconde fuppofition ou demande. 280. DANS les propofitions de Geometrie où il s'agit de la furface des figures, les produits des calculs de l'Analyse FIG. 1. expriment les aires des figures, par exemple nommant a la bafe GF du quarré GH, & a la hauteur GI, aa est l'expreffion de l'aire du quarré GH. De même nommant a la bafe AB du triangle rectangle ABH, & la hauteur BH,b; ab fera l'expreffion de l'aire du triangle ABH. Suppofant auffi dans le rectangle GFBC, fa bafe GF-a, fa hauteur GCb; le produit ab fera l'expreffion de l'aire de ce rectangle. Il en eft ainfi des autres..

Dans les propofitions qui regardent les corps folides, les produits des operations analytiques expriment la folidité

des

des corps; par exemple, nommant aa le quarré GH; fi
l'on conçoit le cube dont ce quarré est la base, a3 fera l'ex-
preffion de la folidité de ce cube; de même abc fera l'ex-
preffion d'un prifme dont la base est représentée par le pro-
duit des lignes a & b, & la hauteur par c; abc fera l'expref-
fion d'une piramide qui aura la même base & la même hau-
teur que le prifme précedent. Il en eft ainfi des autres.

L'addition & la fouftraction des produits qui repréfentent
des furfaces, expriment que ces furfaces font ajoutées les unes
aux autres, ou retranchées les unes des autres : c'est la même
chose des produits qui expriment des folides.

Troifiéme fuppofition ou demande fur l'usage des fignes + &—--
par raport à la Geometrie.

281. SUPPOSANT que les deux lignes DAE, CAB fe coupent F1G. L à angles droits au point A, & que les lignes paralleles à l'une & à l'autre qui font dans les quatre angles droits, com me RM, KM, OL, AO, KL,ON,PN, RQ, QP, &c. foient comprises dans un Problême, quand on a befoin de diftinguer entre les paralleles à AB, celles qui vont vers la droite de celles qui vont vers la gauche, & entre les paralleles à DA E, celles qui defcendent de celles qui vont en montant, on nomme parmi les premieres qui vont vers la droite ou vers la gauche, les unes pofitives & l'on met au devant le figne +, & les autres négatives & l'on met au devant le figne -; on fait la même chofe pour diftinguer entre les paralleles à DAE, celles qui defcendent de celles qui montent. Il est libre au commencement de l'operation de prendre pour pofitives lefquelles on voudra entre celles qui vont de gauche à droite, ou de droite à gauche, & de même entre celles qui defcendent & celles qui montent: Mais fi l'on fe détermine à mettre le figne devant celles qui vont de gauche à droite, comme AB, DH, EF; celles qui vont de droite à gauche, comme AC, DI, EG, &c. doivent avoir le figne- De même fi l'on se détermine à mettre le figne + devant celles qui defcendent, comme AE, BF, CG, &c. on doit écrire le figne -devant celles qui vont en montant, comme AD, BH,CI, &c. Le terme où commencent les pofitives & les négatives de gauche à droite, ou de droite à gauche, eft la ligne DAE; le terme où com

Tome II.

B

mencent les pofitives qui defcendent & les négatives qui montent, est la droite ĊA B.

Appellant l'angle EAB le premier, DAB le fecond, CAE le troifiéme, & DAC le quatrième, les lignes du premier feront toutes pofitives; entre les lignes du fecond, celles qui font vers la droite font pofitives, & celles qui montent font négatives; dans le troifiéme, celles qui vont à gauche font négatives, & celles qui defcendent, pofitives; & dans le quatrième, les unes & les autres font négatives.

Suppofant 40+a+1, OL—+b, AE=+c, l'on aura dans les triangles femblables OAL, EAF, AO ( + a ou + 1 ). O L (+b) :: A E ( + c ) . E F = + ', d'où l'on voit comment + multiplié par +, donne un produit qui a +.

a

Faifant 40+a=+1, AE=+c, ON=—d, l'on aura dans les triangles femblables OAN, EAG, AO (+ a ou + 1). AE(+c) :: ON (—d). EG—— cd

-cd Comme auffi en nommant AK (+e), on aura à cause des triangles femblables OAN, KAM, AO (+ a ou+1). ON(d): AK(+e). KM =— de; d'où l'on voit comment + multiplié par-, ou — - par+, donne un produit qui a-.

Suppofant encore AR-f, l'on aura à caufe des triangles femblables OAL, QAR, AO (+ a ou + 1 ). OL(+b):: AR (—f). RQ=

core comment + par-, ou — qui a -.

bf, d'où l'on voit enpar +, donne un produit

Enfin à cause des triangles semblables OAN, RAM, l'on aura 40 (+ a ou + 1). ON (d) :: AR(—ƒ). RM; d'où l'on voit comment - par-, -, donne un produit qui a✈.

De même dans les furfaces le rectangle AF fait du produit de+A E par +A B, fera pofitif.

Le rectangle AH fait de- AD par + AB, fera négatif. Le rectangle AG fait de + AE par- AC, fera négatif. Mais le rectangle AI fait de AD par- AC, fera pofitif, & du côté oppofé au rectangle négatif AH fair de-DA par AB. L'on fuppofe dans tous les produits l'unité pofitive.