conque dont l'expofant eft un nombre entier pofitif. On leur fait remarquer qu'une integrale qui a un terme conftant, c'est-à-dire fans changeante, donne la même differentielle que fi elle n'en avoit pas, & qu'à caufe de cela une même differentielle peut avoir pour integrale la grandeur changeante dont elle eft déduite, augmentée ou diminuée de telle grandeur conftante qu'on voudra. Ainfi l'on a befoin de la regle, qu'on explique dans cette premiere Section, pour s'aflurer dans la refolution des Problêmes particuliers, fi l'integrale qu'on trouve eft complette: ou s'il lui manque une grandeur conftante; & pour trouver, dans ce dernier la grandeur conftante qu'il faut lui ajouter ou en ôter, pour la rendre complette.

cas,

Après avoir apris la maniere de trouver les integrales dans les cas particuliers les plus faciles, en les reduifant à la premiere propofition, l'on donne des methodes generales qui conviennent aux differentielles les plus compofées ; Et comme les principales difficultés font fur les differentielles qui font compofées de grandeurs complexes, c'est-àdire qui ont plufieurs termes, élevées à des puiffances dont les expofans font des nombres rompus, ou des nombres négatifs, on rapporte toutes ces fortes de differentielles à des formules generales, qu'on nomme binomes, quand la grandeur complexe n'a que deux termes; trinomes, quand elle en a trois, & ainfi de suite. On enseigne à réduire les differentielles particulieres aux gefierales, & l'on donne trois methodes qui font découvrir des formules generales des integrales de ces differentielles. La premiere n'est qu'un ufage de la table de la page 410, pour mettre les differentielles les plus compofées en état d'y appliquer la premiere propofition fondamentale: Cette premiere methode eft facile à concevoir; cependant les Commençans peuvent la paffer dans les premieres lectures de cet Ouvrage, à caufe de la longueur du calcul, & s'attacher à la feconde methode. Elle donne non feulement tous les termes des formules ge! nerales qui fervent à trouver les integrales exactes des dif ferentielles qui leur font foumifes, mais encore les termes qui fervent à trouver les integrales finies des differentielles qui n'en peuvent avoir d'exactes par les feuls termes des formules qui les donnent exactes; & cela par la fuppofition

des rectifications ou des quadratures des Sections coniques, ou du moins de celles des courbes plus fimples que ne font les courbes à qui appartiennent les differentielles dont on cherche les integrales finies. On applique d'abord cette feconde methode aux differentielles binomes. On l'étend enfuite aux trinomes, & les Lecteurs pourront l'étendre de fuite aux differentielles plus compofées. La troisième methode fait découvrir une formule generale pour trouver les integrales des differentielles complexes, qui ayent un tel nombre de termes qu'on voudra; elle en fait même découvrir pour les differentielles complexes multipliées les unes par les autres. On donne deux manieres de trouver ces formules generales, qui font toutes deux utiles. Les formules que cette troifiéme methode fait découvrir conviennent aux differentielles binomes, trinomes, &c. en fuppofant égaux à zero les termes de ces formules qui font inutiles à ces differentielles. On fait voir la maniere d'appliquer ces formules aux differentielles particulieres.

On a mis vers la fin de la premiere Section les deux autres propofitions fondamentales du calcul integral, l'une n'est que pour les differentielles qui font un membre d'une équation dont zero eft le fecond membre; l'autre eft pour trouver les integrales des differentielles qui ont plufieurs changeantes multipliées les unes par les autres; on donne des moyens pour reduire à cette propofition les differentielles qui peuvent s'y rapporter; mais comme il y en a un grand nombre qu'on n'y peut pas reduire, du moins facilement, on donne des moyens particuliers (car on n'a pas encore découvert de methode generale) pour feparer les changeantes dans les differentielles qui en ont plufieurs multipliées les unes par les autres, afin de les rapporter aux methodes des differentielles qui n'ont qu'une feule changeante.

Enfin on étend, à la fin de la premiere Section, aux fecon des differences, aux troifiémes, &c. les methodes qu'on a données pour trouver les integrales des premieres differen

ces.

Il ya un grand nombre de differentielles dont on ne peut pas trouver les integrales exactes par les methodes de la premiere Section. On peut bien trouver des fuites infinies

qui en foient les integrales; mais on aime mieux les avoir en termes finis. C'eft ce qui a fait chercher des methodes pour avoir les integrales finies de ces differentielles en fuppofant les rectifications ou la quadrature des courbes plus fimples que ne font celles auxquelles fe rapportent ces differentielles, & il y en a un grand nombre dont on peut avoir les integrales en termes finis, en fuppofant les rectifications ou les quadratures des feules Sections coniques. On a mis dans la feconde Section les Problêmes qui font découvrir ces integrales en termes finis. Le premier ne donne rien de plus que les formules de la feconde methode de la premiere Section; on n'a pas laiffé de le mettre pour faire voir comment on arrive au même but par differentes voyes. Le troifiéme Problême, qui enfeigne à transformer les differentielles & les courbes en d'autres differentielles & en d'autres courbes dont les integrales & les aires foient égales, eft de grand usage pour changer les differentielles complexes où les puiffances des changeantes font fort élevées en d'autres plus fimples, & pour changer de même des courbes d'un genre fort élevé en d'autres plus fimples, & même pour les reduire aux Sections coniques, de maniere que les aires de ces courbes plus fimples foient égales aux aires des courbes plus compofées dont elles font les tranfformées: ce qui rend plus facile la découverte des integrales des differentielles fort compofées. On a mis auffi dans la feconde Section une methode particuliere pour avoir en termes finis, en fuppofant la quadrature du cercle ou de l'hyperbole équilatere, les integrales des differentielles que l'on y peut reduire. Enfin on donne dans le quatriéme Problême la methode de trouver les integrales des differentielles des courbes méchaniques, dont les ordonnées ou bien les coupées font égales à des arcs de courbe, comme du cercle, de la parabole, &c. ou bien aux puiffances quelconques de ces arcs, en fuppofant la rectification de ces

arcs.

On explique dans la troifiéme Section le calcul differen tiel & le calcul integral qui conviennent aux courbes dont les équations contiennent des expreffions logarithmiques, ou bien des expreffions exponentielles. Ces calculs donnent les moyens d'appliquer à ces fortes de courbes les formules de

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la feconde & troifiéme Section de la feconde Partie, pour
trouver leurs tangentes, leurs perpendiculaires, les points
où les tangentes font paralleles à leurs coordonnées, leurs
points d'inflexion ou de rebroussement, leurs developées,
leurs rectifications, leurs quadratures, la mesure des folides
formés par leur revolution autour d'une ligne droite, la
mefure des furfaces courbes de ces folides, & les centres de
pefanteur de ces courbes, de leurs furfaces, & des corps
formés par leur revolution: l'on en donne des exemples,
& l'on explique' auffi la maniere de conftruire ces fortes de
courbe par le moyen
de la courbe logarithmique. Les deux
dernieres Sections font fur l'ufage du calcul integral qui a
été expliqué dans les trois premieres.

Les principaux ufages du calcul integral font de faire
découvrir les rectifications des courbes, leurs quadratures
la mesure des folides formés par la revolution des courbes
autour d'une ligne droite, la mesure des furfaces courbes
de ces folides, & les centres de pefanteur de ces courbes,
de leurs aires, des folides qui en peuvent être formés, &
des furfaces courbes de ces folides. On explique dans la
quatrième Section la methode generale pour refoudre ces
Problêmes, qui ne confiftent qu'en ceci : Il faut fubftituer dans
les formules de ces Problèmes qu'on a données dans la troi-
fiéme Section de la feconde Partie, les valeurs des lettres
de ces formules prifes des équations particulieres des cour-
bes auxquelles on veut les appliquer. Ĉes fubftitutions redui
ront les formules à être les élemens de la rectification de
ces courbes ou de leur quadrature, &c. Il faut enfuite trou-
ver, par les methodes qu'on a données dans les trois pre-
mieres Sections de cette troifiéme Partie, les integrales de
ces élemens, ces integrales exprimeront les rectifications
qu'il falloit trouver, ou les quadratures, &c.

qua

On applique cette methode à des exemples dans la triéme Section, & pour être court, en faifant voir cepen dant aux Commençans l'ufage des principales methodes qu'on a données pour trouver les integrales, on a mis unpremier exemple qui en contient une infinité. L'on découvrir la rectification d'une infinité de courbes comfait y prifes fous l'équation des paraboles de tous les degrés à l'infini, Avant la découverte des nouveaux calculs on avoit

regardé avec admiration l'invention de la rectification de la feconde parabole cubique qui eft à la fin du premier Volume de la geometrie latine de M' Defcartes; on verra dans ce premier exemple que les nouveaux calculs font trouver la rectification d'un nombre infini de courbes. Les Commençans pourront s'exercer à trouver eux-mêmes la rectification des courbes qu'il leur plaira de choisir dans l'ordre de celles qu'on démontre, dans ce premier Exemple, avoir des rectifications exactes; car ils n'auront qu'à prendre dans les équations des courbes qu'ils auront choifies, les valeurs des lettres de la formule qui contient en general toutes ces rectifications, & les fubftituer dans cette formule. On démontre dans le même Exemple qu'il y a un autre nombre infini de courbes comprises fous la même équation de toutes les paraboles, dont on peut trouver la rectification exprimée par un nombre fini de termes, en fuppofant celle de la parabole fimple; on donne la methode generale de trouver ces rectifications finies, & on l'applique à des exemples, afin qu'il ne refte plus que la feule peine du calcul à ceux qui voudront en faire eux-mêmes tant d'autres exemples qu'il leur plaira. Ils y verront l'ufage des formules de la feconde methode de la premiere Section, & du premier Problème de la feconde Section, & que ces deux methodes donnent les mêmes refolutions.

Pour faire voir la maniere de trouver les quadratures des courbes, on a choifi un exemple, où il faut feparer les changeantes qui font multipliées l'une par l'autre dans l'équation de la courbe de cet Exemple; & il eft en même temps trèspropre à faire remarquer le jufte raport de l'Analyfe à la Geometrie compofée. Car l'équation de la courbe est du troifiéme degré, elle n'a point de fecond terme: Et en prenant l'une après l'autre toutes les valeurs déterminées pofitives & négatives que peut avoir la ligne des coupées, il ne reste plus d'inconnue dans l'équation que celle des ordonnées. Or en prenant fucceffivement les valeurs pofitives que peut avoir la ligne des coupées, on voit que l'inconnue a trois valeurs, deux pofitives, & la troifiéme négative qui eft égale à la fomme des pofitives; ce qui fait connoître qu'il y a trois ordonnées; les deux pofitives forment fuccef£vement chacune une branche de la courbe du côté des