tróifiéme Section, qui en est le feptième, où l'on enseigne à trouver, par le moyen de l'équation fimple de chacune des Sections coniques, l'équation la plus compofée de chacune des mêmes Sections, laquelle exprime le rapport commun à tous les points de la courbe par rapport à une ligne des coupées fur le même plan de la courbe qui eft differente du diametre, & ne lui eft pas parallele, & dont l'origine eft differente de l'origine du diametre. L'on tire de ces équations compofées de chacune des Sections coniques, les marques certaines pour diftinguer, dans la refolution des Problêmes qui s'y reduifent, la Section conique en particulier à qui convient l'équation que l'on peut trouver. L'on fait voir auffi la maniere de se servir des équations compofées de chacune des fections coniques, que donne ce feptième Problême, pour trouver, dans les équations compofées qui fe presentent dans la refolution des Problêmes, & qui se rapportent à une Section conique, le diametre & les autres lignes neceffaires pour la décrire. Cela fe fait par la methode des indéterminées, en regardant les connues de chaque équation du septiéme Problême comme des indéterminées, & en comparant chaque terme de cette équation avec chaque terme correfpondant de l'équation qui s'eft prefentée dans la refolution du Problême: car l'on détermine, par le moyen des équations que donnent ces comparaifons, les valeurs du diametre & des autres lignes qu'il faut avoir pour décrire la Section conique exprimée par l'équation qui refout le Problême.

En regardant de près les veftiges que M' Defcartes a laiffés dans le fecond & dans le troifieme Livre de fa Geometrie, on voit affez qu'il s'eft fervi de la methode dont on vient de parler, (qui eft expliquée dans le feptiéme Problême de cette troifiéme Section, & dans les Remarques qui le fuivent, pour diftinguer dans la refolution du Problême de Pappus, qu'il donne dans le fecond Livre, à quelles Sections coniques fe reduifoient les équations qui fe font prefentées à lui dans cette refolution, & pour trouver le diametre & les autres lignes neceffaires pour décrire ces Sections coniques. Il s'en est encore fervi, dans la refolution des équations qu'il donne dans le troifiéme Livre, pour décrire les Sections coniques qui jointes ensemble fe coupent en des points

Tome II.

dont les ordonnées ou bien les coupées font la resolution des équations. Cependant les Commentateurs de M Descartes n'ont point expliqué cette methode qui auroit éclairci fa Geometrie, & l'auroit rendue plus facile. M Craige en Angleterre, & M le Marquis de l'Hôpital en France, font les premiers qui l'ont donnée au Public.

On explique dans la même troifiéme Section la methode generale de décrire toutes les courbes Geometriques, en trouvant fucceffivement les points par où elles doivent paffer. On y a mis auffi quelques Exemples des courbes mechaniques. Enfin, pour n'oublier aucune des courbes qu'on a pu imaginer jufqu'à prefent, l'on y donne une idée des courbes qu'on nomme exponentielles & parcourantes.

La quatrième Section eft fur les ufages que l'Analyse fait des courbes, l'on en explique feulement deux: le premier eft pour trouver, par le moyen des courbes Geometriques, les lignes qui font les valeurs geometriques des équations déterminées, c'est-à-dire, qui n'ont qu'une inconnue; ceft ce qu'on appelle conftruire les équations; le fecond eft pour refoudre, par le moyen des courbes, plufieurs Problèmes Phyfico-mathematiques. La construction des équations est une des belles parties de la Geometrie compofée. Pour l'expliquer à fond d'une maniere courte, mais fans obscurité, on l'a déduite du principe d'où elle dépend naturellement, que voici.

Si l'on prend les équations de deux lignes geometriques où les mêmes lettres changeantes marquent les coordonnées, & que l'on ôte l'une des deux changeantes, par exem ple la changeante des coupées, dans l'une de ces deux équations par le moyen de l'autre équation, il en naîtra une troifiéme équation qui n'aura qu'une feule changeante ou inconnue. Or les deux lignes geometriques de ces équations étant jointes l'une à l'autre de façon que leurs coupées foient communes ou paralleles entr'elles, & qu'elles partent d'une même origine, & qu'il en foit de même de leurs ordonnées, elles fe couperont en autant de points qu'il y a de dimen fion dans la plus haute puiffance de l'inconnue demeurée feule dans la troifiéme équation: Et fi l'on tire de tous les points d'interfection de ces deux lignes geometriques, des ordonnées jufqu'à la ligne des coupées de celle qu'on a

décrite la premiere, elles feront les valeurs geometriques de l'inconnue de la troifiéme équation, fi cette inconnue eft celle des ordonnées; les coupées qui fe terminent à ces ordonnées feront les valeurs geometriques de l'inconnue de la troifiéme équation, fi c'eft l'inconnue des coupées qui y foit demeurée. Ce principe répand une lumiere fur la me thode que donne l'Analyse pour trouver les équations des lignes geometriques, qui prifes deux à deux font propres conftruire telle équation déterminée qu'on voudra; & pour joindre ensemble ces deux lignes geometriqués d'une maniere propre à les faire couper dans les points qui auront pour ordonnées ou pour coupées les lignes qui font les valeurs geometriques de l'inconnue de cette équation déterminée, il répand, dis-je, une lumiere fur cette methode qui la rend claire aux commençans, quoiqu'elle foit très-courte. On prend pour exemple la conftruction de toutes les équations du troifiéme & du quatrième degré, & l'on fait voir la maniere de l'executer par l'union d'une parabole donnée & du cercle; & encore par l'union d'une hyperbole donnée entre les afymptotes dont l'Angle eft aigu ou obtus, & du cercle. On a mis cette derniere maniere de conftruire toutes les équations du troifiéme & du quatrième degré, parcequ'elle renferme quelques difficultés qui auroient pû embarraffer les commençans.

On pourra encore remarquer en cet endroit l'exacte convenance de l'Analyse & de la Geometrie. Il y a autant d'interfection des deux lignes geometriques employées à conftruire l'équation, qu'il y a de valeurs analytiques de l'inconnue de cette équation. Quand toutes les valeurs que fournit l'Analyse font pofitives & differentes, les lignes qui en font les valeurs geometriques font toutes differentes, & du côté des lignes pofitives. Lorfque l'Analyfe donne des valeurs négatives, les valeurs geometriques font du côté des lignes négatives. Quand le fecond terme de l'équation est évanoui, la fomme des valeurs négatives que donne l'Analyfe eft égale à celle des pofitives; l'on trouve auffi dans la conftruction geometrique, que la fomme des lignes du côté des grandeurs négatives eft égale à celle des lignes qui font du côté des pofitives. S'il y a des valeurs analytiques égales, l'on trouve autant d'interfections des lignes

geometriques qui fe réuniffent ensemble. Enfin dans les cas où l'Analyse trouve des valeurs impoffibles, les lignes geometriques employées à la conftruction ne fe coupent ni ne fe touchent point du côté que devroient être les valeurs geometriques correfpondantes.

On explique à la fin de la même quatrième Section quel ques ufages des courbes pour la refolution des Problêmes. Phyfico-mathematiques. On fait voir que les traces des bombes jettées à toutes les inclinaisons poffibles du mortier, font des paraboles. On tire d'ordinaire des proprietés de la parabole la refolution des Problêmes de l'art de jetter les. bombes: mais comme l'on à refolu ces Problêmes dans la: feconde Section fans fe fervir de la parabole, on donne la resolution de deux autres Problêmes fur toutes les parabo les que peut décrire une bombe jettée par une même force de poudre à toutes les differentes inclinaifons qu'on peut donner au mortier. On fait voir auffi dans la même Section que l'ellipfe & l'hyperbole font les figures qu'il faut donner aux verres, afin que les rayons qui y entrent paralleles à l'axe foient difpofés, par les refractions qu'ils fouffrent en paffant de l'air dans les verres, ou des verres dans l'air, à se réunir dans un point donné. Enfin on fait découvrir par l'Analyse, que la cycloïde eft la courbe que le centre de pefanteur d'un pendule fimple, ou le centre d'ofcillation d'un pendule compofé doit décrire, afin que fes vibrations grandes ou petites foient toutes d'une égale durée: ce qui fait concevoir qu'un tel pendule eft ce qu'il y a de plus propre à moderer le mouvement des horloges, & à les rendre la mefure exacte du temps.

Sur le calcul differentiel, & fur l'ufage de l'Analyfe en fe fervant de ce calcul.

ON

N fait remarquer dans la premiere Section, que ce n'est point une chofe nouvelle dans la Geometrie que de confiderer des parties de grandeur d'une fi extrême petiteffe,, qu'on ne peut les faire entrer en comparaison avec les gran

deurs ordinaires que l'on peut déterminer. Les plus anciens Geometres, comme on le voit dans le douziéme Livre d'Euclide, & dans les Ouvrages d'Archimede, ont pris ces parties infiniment petites pour principe de quelques-unes de leurs démonftrations. Car pour démontrer, par exemple, que deux cercles font entr'eux comme les quarrés de leurs diametres, & deux circonferences comme leurs diametres; ils ont fuppofé qu'on pouvoit concevoir dans l'un & l'autre de ces cercles deux polygones femblables infcrits, ou deux polygones femblables qui leur fuffent circonfcrits, dont les côtés fuffent d'une telle petiteffe, que la difference des polygones infcrits ou circonfcrits d'avec leurs cercles fût moindre qu'aucune grandeur finie &. déterminée, quelque petite que pût être cette grandeur. Or ces polygones étant entr'eux comme les quarrés des diametres des cercles, & leurs cir cuits comme ces mêmes diametres; la fuppofition qu'ils avoient faite leur faifoit conclure que les cercles & les circonferences avoient le même raport que les aires & que les circuits de ces polygones.

Ce n'a donc point été de nos jours une nouvelle décou verte que d'employer dans la Geometrie ces parties des grandeurs entieres, fi petites qu'elles n'ont aucun raport fini avec elles. Ce que les illuftres Auteurs du calcul differentiel & integral ont ajouté à cette fuppofition que les Anciens ont prife de la nature, n'a été que de donner des expreffions convenables à ces petites parties qui font les premiers élemens des grandeurs; & de trouver un calcul qui leur fût tellement propre, qu'on pût leur appliquer les methodes de l'Analyfe, & qu'on pût remonter de ces parties infiniment petites aux grandeurs entieres ou integrales dont elles font les premiers élemens. Le fondement du calcul differentiel eft commun aux anciens & aux nouveaux Geometres. La certitude des démonstrations pofées fur ce fondement eft la même. La maniere même d'employer, dans les démonstrations & dans les refolutions des Problêmes, ces parties des grandeurs plus petites que toute grandeur qu'on peut déterminer, eft commune aux uns & aux autres. Car comme les Anciens ne fuppofoient cette difference infiniment petite entre le cercle & le polygone d'une infinité de côtés qui lui étoit infcrit ou circonfcrit, que pour faire leur démonstra

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