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fance étoit hors du plan de l'Ecroue, ou (plus generalement ) hors d'un plan perpendiculaire à l'axe de la Vis,

THEOREME XXXIV..

En general pour toutes les directions imaginables de la charge quelconque de la Vis, ou de fon Ecroue, & de la puifs fance qui lui eft appliquée, & en équilibre avec cette charge ou résistance: fi l'on appelle cette puiffance quelconque, R & cette charge ou résistance auffi quelconque, P, l'on aura toû+ jours R. P:: 2×AC× PE×SM×GM×TMTO×E FXSMX GMXTM.0×S M×S M×TD×PN+2×AC×GS×GM×TM ×P N. dont on va déterminer les lignes & les fignes dans la démonftration fuivante.

DEMONSTRATION.

I. Soit la Vis VXYZ avec fon Ecroue QM & AB un demi-tour de fon cordon fpiral, qui, lorfque cette Vis est fixe, foûtient cette Ecroue our fa charge; laquelle charge étant par tout la même, c'eft-à-dire, de même effort & de même direction quelconques, tant fur ce cordon AB, que fur fon point P, peut être confiderée comme toute entiere en P: c'est pour cela, & pour abreger nos expreffions, que cette charge ou réfiitance entiere s'appellera toûjours P dans la fuite. Si c'est l'Ecroue QM qui foit fixe, P exprimera de même la charge de la Vis, foûtenue fur le point P du canal fpiral PO de cette Ecroue QM, dans lequel loge ou coule le cordon AB de la Vis. Soit auffi la puiffance R appliquée comme l'on voudra à cette Ecroue en M extrêmité d'une droite, qui prolongée fuivant le plan QM de la même Ecroure, rencontre en D l'axe Ba de la Vis: fi c'eft cette Vis qui foit fixe, ou qui foit appliquée en M à un tel Levier droit DPM, fi c'eft P'Ecroue qui le foit ; & cela de part & d'autre, foit que la direction RMG de cette puiffance R foit ou ne foit pas dans le plan QM de cette Ecroue ; ou (plus generalement) dans un plan perpendiculaire à l'axe & de la Vis, lequa

paffe par le Levier droit DPM, avec lequel il foit imaginé ne faire qu'un tout qui fe meuve avec lui; lequel plan (que j'appellerai Plan du Levier DM) fera celui de l'E croue, lui-même, quand la Vis fera fixe; & quand elle fera mobile, l'Ecroue étant fixe, ce plan fera imaginé comme d'une pièce avec cette Vis & fon Levier › pour concevoir fur ce plan imaginaire par rapport à la Vis ainfi mobile avec lui, lorfque l'Ecroue eft fixe, ce qu'on va remarquer d'action ou de force de la puiffance R & de la charge P fur l'Ecroue QM par rapport à elle, lorf que c'eft la Vis qui eft fixe: foit auffi que la direction RMG de la puiffance R foit perpendiculaire, ou non, à la droite DPM; foit enfin que la direction PN de la charge P de l'Ecroue ou de la Vis, foit ou ne foit pas parallele à l'axe & de cette Vis.

II. Quelles que foient (dis-je) toutes ces directions tant de la charge P de la Vis ou de fon Ecroue, que de la puiffance R appliquée à une des deux ; d'un point quel conque de la direction PN de cette charge P, pris du côté de, vers lequel cette charge tend, imaginons NF perpendiculaire en F à un plan perpendiculaire en P à la droite DM, lequel plan fera ainfi perpendiculaire au plan MD, & touchant de la Vis en quelque droite PE parallele à l'axe ß de cette Vis, lequel axe B étant (Hyp.) perpendiculaire à DM, rend cette parallele PE perpendi culaire audi à cette même DM, & fection commune de ces deux plans: de forte que fi du point F du plan touchant FPÊ on mene une perpendiculaire à fon orthogonal MD, cette perpendiculaire fera FE, qui rencontrera perpendiculairement en quelque point E cette fection commune PE, foit par le point Pla droite PL parallele a FE, & confequemment perpendiculaire ( comme elle) au” plan MD, & confequemment auffi perpendiculaire en Pà la droite DM dans le plan QM de l'Ecroue, ou plus generalement dans le plan de ce Levier DM, défini dans Part. I.

III. Cela fait ou imaginé, le Corol. 7. du Lem. 3. fera

voir qu'en appellant F ce qu'il réfulte d'effort ou d'impreffion fuivant PF de ce que la charge P de la Vis ou de fon Ecroue en fait fuivant la direction quelconque PN; E, ce qu'il en résulte fuivant PE de cet effort F fuivant PF; & enfin L, ce qu'il en résulte auffi fuivant EF du même effort F fuivant PF; l'on aura P.F:: PN. PF. Et F.E:: PF. PE. Et F. L:: PF. EF. Defquelles analogies (en raison ordonnée) la premiere avec la feconde donnera P. E:: PN. PE. Et la premiere avec la troifiéme donnera P. L:: PN. EF. De forte que par le moyen de la

premiere de ces deux-ci l'on aura E=

PXPE

PN

pour ce que

la charge P de la Vis ou de fon Ecroue fait d'impreffion ou de refistance de P vers E fuivant PE parallele (art.2.) à l'axe B de cette Vis ; & par le moyen de la feconde l'on

PXEF

aura L pour ce que la même charge abfolue P

PN

fait d'impreffion de E vers F fuivant EF perpendiculaire (art. 2.) au plan MD, ou de P vers L fuivant fa parallele PL perpendiculaire auffi (art. 2.) à ce plan & à sa droite DM en P dans le plan QM de ce Levier DM.

IV. Si prefentement de quelque point G de la direction prolongée RM de la puiffance R, on imagine GS perpendiculaire en S à ce plan QM du Levier DM, duquel point S foit fur ce plan là droite SMH rencontrée en quelque point T par DT perpendiculaire à DM fur ce même plan, fur lequel foit auffi MK perpendiculaire en M à la même DM; le Corol. 7. du Lem. 3. fera voir pareillement ici que l'effort abfolu de la puiffance R fuivant sa direction GMR, eft à ce qu'il en refulte fuivant SM prolongée vers H, comme GM à SM ; & que ce qu'elle en fait ainfi fuivant SM, eft à ce qu'il en résulte fuivant TD ou fuivant fa parallele MK, comme TM est à TD. Done (en appellant H, K, ces efforts dérivez fuivant SH, MK,) L'on auraici R.H:: GM. SM. Et H. K:: TM. TD. Ce qui

(en multipliant par ordre) donne ici R. K :: GMxTM.

SMXTD. D'où réfulte K

RXSMXTD
GMXTM

pour ce que la

per

puiffance R fait d'effort de M vers K fuivant MK pendiculaire (Hyp.) comme DT, à la droite DM dans le plan de l'Ecroue QM employé jufqu'ici pour le plan du Levier DM, conformément à l'art. r. Ce qui eft tout ce qui reste de force agiffante de cette puiffance R pour mouvoir l'Ecroue autour de la Vis fixe, ou la Vis dansP'Ecroue fixe; puifque l'effort que cette puissance fait de plus de G vers S fuivant GS perpendiculaire (Hyp.) au plan QM de l'Ecroue ou du Levier DM, eft employé (Ax. 3.) tout entier contre ce plan. Ce qui en augmente ou diminue de la valeur de cet effort fuivant GS, la charge de l'Ecroue lorfque la Vis eft fixe, ou de la Vis lorf que c'eft l'Ecroue qui eft fixe : voici comment.

V. Cet effort de G vers S, résultant de la puiffance R fuivant une direction GS perpendiculaire (art. 4.) aɩr plan QM de l'Ecroue ou du Levier DM, & confequemment parallele à l'axe a de la Vis, étant (dis-je) employé tout entier contre ce plan, le charge ou le foulage de toute fa valeur, felon que le point G, ou la partie GM de la direction de la puiffance R eft du côté de ß au deffus de ce plan QM du Levier DM, ou au deffous de ce même plan du côté de , vers lequel tend (Hyp.) la charge abfolue P de l'Ecroue ou de la Vis ; & confequem

PXPE

ment l'effort E- qu'on vient de trouver (art. 3.):

PN

réfulter de cette charge P à cette Ecroue, ou à cette Vis, de P vers E fuivant PE parallele auffi ( art. z.) à l'axe Ba de cette même Vis, doit être augmenté ou diminué de la valeur de cet effort réfultant de la puillance R, de G vers S fuivant GS, felon que le point G, ou la partie GM de la direction de cette puiffance, fera au deffus ou aus deffous du plan QM du Levier DM. D'où l'on voit qu'en

appellant S cet effort fuivant GS, la charge précise de T'Ecroue ou de la Vis, fuivant PE parallele (art. 2. )à l'axe

de cette Vis fera içi E-S lorfque le point Gyfera du côté de B au deffus du plan QM du Levier DM, & E-S lorfque ce point G fera au deffous de ce plan du côté de .

Or (Lem. 3. Corol. 7.) GM. GS:: R. S

RXGS

GM

Donc

ayant déja ( art. 3 . ). E=PPE, la charge de l'Ecroue QM

PN

ou de la Vis fuivant PE, parallele (art. 2. ) à l'axe Bo de

cette Vis, fera ici E-S

PXPE RXGS

PN

+ ,lorfque le point

GM

Gy sera du côté de ß, au deffus du plan QM de l'Ecroue

ou du Levier DM, & E-S-PXPE

PN

RXGS

,lorfque ce

GM

point G fera du côté de au deffous de ce plan;c'est-à-dire, en general, que la charge précife de l'Ecroue ou de la Vis, de P vers E fuivant PE parallele (art. 2.) à l'axe ßø

rieur du double figne (+) fera pour le cas du point G au deffus du plan QM de l'Ecroue ou du Levier DM, & l'inferieur pour le cas où ce point G fera au deffous de ce plan.

VI. Telle eft (art. 5.) la charge précise de l'Ecroue QM, ou de la Vis VXYZ, de P vers É fuivant PE parallele (art. 2. ) à l'axe de cette Vis; & c'est tout ce qui lui en résulte, tant de la part de l'abfolue P fuivant PN, que de la puiffance R fuivant GR, le furplus de cette charge abfolue P, étant tout employé (art. 3.) parallelement au plan QM du Levier DM, contre le plan touchant FPE, & contre fon orthogonal MD; & la puiffance R ne faisant d'impreffion qui charge ou foulage ce plan QM du Levier DM, que fuivant ce qu'on lui ep

compte