gle PNF, auffi donné fuivant le nomb. 2. de ce même art. 1.p, le finus de l'angle PFE, pareillement donné dans le même nomb. 2. de cet art. 1. & g, le finus de fon complement FPE. Voici ces noms en lifte pour les rendre plus prefens.

Sinus total ou de l'angle droit,
Sinus de l'angle MGS,

Sinus de fon complement GMS,

Sinus de l'angle DMS ou DMT,

Sinus de l'angle PNF,

Sinus de l'angle PFE,

Sinus de fon complement FPE,

a.

b.

.C.

m.

III. Suivant ces noms de l'art. 2. le Corol. 2. du Lem.

8. donnera a. b :: GM. SM=2×GM. Et a. m : : TM.

1

::

TD=xTM. Etg.p:: EF. PE=2xEF. De plus p. à : : PE. PF. Et n. a:: PF. PN. Ce qui (en multipliant par ordre -) donne »p, aa : : PE. PN ( à cause de PE=xEF ) ::

2×EE. PN=EF.Deplus encore b. a :: SM. GM. Eta. c :: GM. GS. Ce qui (en raison ordonnée) donne auffi b. c:: SM. GS=SM.

Par confequent on aura ici PEEF, SM×TD×PN

×EF=>GM×TM×EF, & GS×

ng

*CXSMXEF.

Donc en fubftituant ces valeurs de PE, SMXTDxPN, GSXPN, en leur place dans l'analogie generale du precedent Th. 3 4. elle deviendra encore en general R.P:: ×

AC EFXSMXGMxTMTO×EFXSM×GMxTM.

bm

my

xOx

SM×GMxTM×EFACSMEF×GM×TM:: 2p bng

ACTO OAC :: 2bnpxAC+bng×O. bbmxQ

bng.

>

+

#2aacץC. c'est-à-dire, R. P :: abnpx AC Fong×0. bbm×OF2aac×AC. toute exprimée en finus, qui multiplient le pas (2xAC) de la Vis, & la circonference (O) d'un cercle décrit du rayon DM: les fignes particuliers des generaux (+) fe prendront encore ici comme dans l'analogie generale du Théoreme transformée en celle-ci, dont les finus en rendent le calcul le plus facile qu'il puiffe. être, sans rien diminuer de fa generalité.

IV. Quant aux analogies particulieres des Corollaires · précedens de ce Th. 34. réfultantes de fa generale, les voici de même en finus, résultantes de la derniere du précedent art. 3.

PE

ม

1o. Si, comme dans le Corol. r. la direction PN de las charge abfolue P de la Vis ou de fon Ecroue, étoit en PË parallele (démonftr. art. 2.) à l'axe 6 de cette Vis, cette hypothese, qui confond PN, PF, avec cette parallèle PE, & leurs points N, F, avec le fien E rendant ainfi droits les angles PNF, PFE, à l'inftant de cette confufion, & leurs complemens infiniment petits ou ou nuls en P par rapport à eux rendroit alors (fuivant les noms de l'art. 2.) leurs finusn=a, p=a, &q=0: ce qui réduiroit pour ici la derniere analogie generale du précedent art. 3. à R.P:: 244b × AC. bbm x0+2aac×AC.

2o. Si de plus on fuppofe que la direction GMR de la puiffance Rfoit dans le plan QM de l'Ecroue ou du Levier DM, comme dans le Corol. 2. Cette autre hypothefe, qui confond auffi cette direction GMR avec SMH dans ce plan, & fon point G avec celui S de celle-ci, rendant ainfi l'angle MGS droit à l'inftant cette confufion, & fon complement GMS infiniment petit ou nul par rapport à lui, rendroit alors (fuivant les noms de l'art. 2.) le finusba, & le finus ; ce qui réduiroit pour ici l'analogie précedente du nomb. 1. à R. P: : 243×AC.

aam

:: 2axAC.mxO.

3o. Enfin fi aux deux hypothefes du précedent nomb.2.

F10. 243. 244

Le..245.

dont la feconde confond la droite GMR avec SMH dans le plan QM de l'Ecroue ou du Levier DM, l'on ajoùte celle de MR ou de MH en MK perpendiculaire à DM dans ce plan, ainfi que dans le Corol. 3. ce qui est le cas du Th. 33. Cette troifiéme hypothese rendant l'angle DMS droit, & confequemment son sinus ma, réduiroit alors l'analogie du précedent nomb. 2. à cette autre, R. P:: 2×ÂC. O. qui est la même qu'on a déja trouvée pour ce cas-ci dans le Th. 33. & dans le précedent Corol. 3.

DEFINITION XXIX.

La Vis employée comme ci-dessus (Th. 33. & Corol. 3. du Th. 34.) avec fon Ecroue feulement, s'appelle Vis fimple, ou implement Vis ; & lorsqu'elle est appliquée à d'autres Machines, elle s'appelle Vis composée, laquelle prend le nom de vis fans fin, quand, fans Ecroue, fon cordon s'engraine dans une roue dentée, comme dans la Fig. 245. parce qu'alors en tournant fur fon axe fixe, elle fait tourner fans fin cette roue par l'engrenement continuel des fpires ou helices de fon cordon entre les nouvelles dents que le tournoyement de la roue lui prefente, & fait entrer ces dents fans ceffe les unes après les autres entre ces mêmes fpires à mefure que d'autres dents de cette roue en fortent auffi les unes après les autres.

THEOREME XXXV.,

Soit la Vis DAGP mobile autour de fon axe fixe DG par le moyen d'une Manivelle DFR, & dont les fpires ou helices AP, BP, du cordon s'engrainent entre les dents P de la Roue PS d'un Tour mobile auffi autour de fon centre fixe C avec fon rouleau HE, fur lequel s'entortille la corde QHE, à laquelle pende un poids quelconque Q, que la puissance R, appliquée en R au manche FR de la Manivelle DFR, foûtienne en équiLibre ou en repos par le moyen de toute la Machine.

Fe dis que fi l'on imagine le rayon CP de la Roue dentée

y

"PS, lequel rencontre fon rouleau HE en E, & une perpendiculaire RK à l'axe GD prolongé en K, l'équilibre ici fuppofé entre la puissance R& le poids 2 fur une telle Machine, donnera toujours cette puissance R à ce poids Q, comme le produit d'un des pas AB de la Vis par le rayon EC du rouleau, Jera au produit du rayon CP de la Roue par la circonference entiere du cercle décrit du rayon RK ; c'est-à-dire, qu'en appellant O cette circonference circulaire, l'on aura toûjours iti R. 2: ABXEC. CPXO.

DEMONSTRATION.

Soit appellée P la réfistance que le poids Q fait faire à la Roue dentée au tournoyement de la Vis, par le moyen duquel la puiffance R tend à enlever ce poids Q; l'on aura (Th. 33. & Corol. 2. du Th. 34.& Corol. 3. du Th. 34.) cette puiffance R à cette résistance P, comme le pas AB de la Vis à la circonference Z du cercle, que la même puissance R tend ainfi à décrire du rayon RO autour du centre K ; c'est-à-dire, R. P :: AB. O. De plus on aura ( Th. 19. Corol. 1.) P. Q: : CE. CP. Donc (en multipliant par ordre ) l'on aura R. Q:: AB×CE. CP×O. Ce qu'il falMoit démontrer.

SCHOLI E.

le

I. On a vû dans les art. 2. des Schol. des Th. 17. 18. comment un homme peut s'enlever foi-même à la hauteur d'une voûte par le moyen des Poulies à Mouffles ; on a vû auffi dans l'art. 3. du Schol. du Th. 20. comment cet homme le peut auffi feul par moyen d'un Criq: faire encore par voici prefentement comment il le peut le moyen de la Vis fans fin. Il n'a qu'à attacher la cage de cette Machine fermement au bord ou au dedans du panier dans lequel il fe veut mettre, en forte qu'il ait la liberté de tourner la Manivelle, & par fon moyen la Vis & la Roue avec fon rouleau; attacher enfuite fur ce RouJeau la corde déja attachée au haut de la vote; fe mettre

Tome II.

T

après cela dans le panier, & tourner la Manivelle de la Machine, qui peut être très-légere avec beaucoup d'effet; la corde s'entortillant ainfi autour du Rouleau, enlevera cet homme vers la voûte. Car le prefent Th. 35. fait voir que pour cela il faudra beaucoup moins de force à cet homme que lui, le panier, la machine & la corde n'auront ensemble de pefanteur. Cela feroit encore plus commode, fi la corde attachée par un bout au panier, & par l'autre à la machine, paffoit par deffus une poulie attapar fa chape à la voûte, d'où elle revint fe rouler l'autre bout fur le rouleau de la machine.

chée

par

II. Tout cela feroit encore plus facile, fi la machine étoit compofée de plufieurs Vis fans fin, engrenées dans autant de roues à dents, qui euffent toutes des pignons, excepté la derniere, fur le rouleau de laquelle la corde doit fe rouler ; & dans lefquels pignons toutes ces Vis s'engrenaffent auffi chacune dans chacun, excepté la premiere à manivelle, qui ne doit s'engrener que dans la premiere des roues à dents: le tout de la maniere qu'on le voit dans la Fig. 243. & qu'on le va voir dans le fuivant Th. 36. qui fera voir auffi combien il feroit plus facile à cet homme de s'enlever foi-même par le moyen de cette machine reprefentée dans la Fig. 246. que par le moyen de l'autre re-prefentée dans la Fig. 245. Soit donc

moyen

THEOREME XX XV I.

La puiffance R foutenant un poids quelconque 2 par le de plufieurs Fis engrenées dans des roues dentées,& dans leurs pignons, comme l'on voit dans la Fig. 246.& comme on le va expliquer l'on aura toûjours R. 2:: ABXEC×HK× LNXSTXVX. Z×CPXE G×LK×MNxTX. La démonftra tion va déterminer les lignes dont ces produits font faits.

DEMONSTRATION.

I. Soient plufieurs Vis DAGP, BEK, AMμT, de groffeurs à volonté, & de pas de telles grandeurs qu'on voudra, mobiles autour de leurs axes fixes GD, By, λμ, &