FIG. 253. 5.4.

tuelle de la force F, en forte que ExCp fait ce que j'appélle Energie. Remarquez que Cp eft ou affirmatif ou negatif par rapport aux autres: il eft affirmatif, fi le point P eft pouffé par la force F, & que l'angle FPP foit obtus.; leit négatif, fi l'angle FPpelt aigu: mais au contraire si le point Peit tiré, Cp fera négatif, lorfque l'angle FPp eft obtus ; & affirmatif, lorfqu'il eft aigu. Tout cela étant bien entendu, je forme (dit M. Bernoulli) cette

PROPOSITION GENERALE.

THEOREM E XL.

En tout équi ibre de forces quelconques, en quelque maniere qu'elles foient appliquées, & fuivant quelques directions "qu'elles agiffent les unes fur les autres, ou médiatement, ou immédiatement, la fomme des Energies affirmatives fera égale à la fomme des Energies négatives prifes affirmative

»ment.

DEMONSTRATION.

Telle eft la propofition de M. Bernoulli, rapportée au Commencement de cette Section ; & voici comment la Théorie précedente en fournit la démonstration.

PARTIE I.

Pour l'équilibre d'un poids foûtenu avec des cordes feulement, par tant de puiffances qu'on voudra, de directions quel conques; & pour l'équilibre d'un corps choqué par plusieurs tres à la fois.

I. Toutes chofes demeurant ici les mêmes dans la que Fig. 71. du Th. 6. Corol. 20. c'est-à-dire, le poids K étant foutenu en équilibre par tant de puiflances P, Q, R, S, T, &c. qu'on voudra, appliquées (comme lui) à autant de branches de corde, fur lefquelles branches ou cordons foient AB, AC, AE, AF, AM, &c. proportionnelles à ces puiffances P, Q, R, S, T, &c. des extrêmitez defquelles proportionnelles tombent autant de perpendicu

laires

laires Bb, Cc, Ee, Ff, Mm, &c. fur la direction AK du poids K prolongée de part & d'autre : cela, dis-je, étant ainfi dans les Fig. 253.254. comme dans la Fig. 71. Th. 6. Corol. 20. foit prife de A vers K fur la direction AK du poids K, une partie quelconque Aa dans la Fig. 253, où les puiffances P, Q, R, S, T, &c. tirent droit, fans s'appuyer fur rien, & infiniment petite dans la Fig. 254. où les cordons de ces puiffances font appuyez fur des poulies f,^, •, •, μ, &c. Du point a, fur les directions AB, AC, AE, AF, AM, &c. de ces puiffances P, Q, R, S, T, &c. foient autant de perpendiculaires ap, aq, ar, af, at, &c. qui rencontrent ces directions en p, q, r, s, t, &c.

Cela fait, il eft vifible que les triangles ( constr.) rectangles Apa, AbB; Aqa, AcС; Ara, AcE; Afa, AfF; Ata, AmM, &c. ayant deux à deux (diftinguez comme on les voit ici par la marque;) leurs angles égaux A, font femblables entr'eux pris ainfi deux à deux. Par confequent, en appellant b, c,e,f,m, &c. les forces fuivant la direction AK ou Ae du poids K, pour ou contre ce poids, réfultantes (Lem. 3. Corol, 6.) des forces abfolues des puiffances P, Q, R, S, T, &c. fuivant leurs directions AB, AC, AE, AF, AM, &c. l'on aura fuivant la part. 1. du Lem. 3. employée comme dans la démonftr. 2. du Th. 6.

Aa. Ap:: AB. Ab : : P. b — PXAP

Aa

FIG. 153.

Fie. 254.

=c+e+f→b—m &c. ( Th. 6. démonstr. 2 : ) —K ; ce ⠀ qui en ce cas d'équilibre donne QxAq+RxAr+S×AS -PxAp-TxAt+&c=KxAa, ou KxAa-+PxAp+T xAt+&c=QxAq➡+R×Ar++SxAs+&c.

1o. Soit prefentement tout le fyftême de la Fig. 253. mû de maniere que fon point A parcourant la partie quelconque Aa de la direction AK du poids K, tous les cordons ou directions AB, AC, AE, AF, AM, &c. des puiffances P, Q, R, S, T, &c. demeurent toûjours paralleles chacune à foi-même ; & que lorfque le point A fera en a, & le poids K defcendu de la valeur de Aa fuivant fa premiere direction AK, ces autres directions ou cordons AB, AC, AE, AF, AM, &c. foient encore perpendiculaires en a aux mêmes lignes fixes ap, aq, ar, af, at, &c. aufquelles elles l'étoient en p, q, r, s, t, &c. avant ce mouvement du point A, ou de tout le fyftême de la prefente Figure 253. Un tel mouvement faisant ainsi re-culer ou avancer les puiffances P, Q, R, S, T, &c. fuivant ces directions, chacune fuivant la fienne, des valeurs Ap, Aq, Ar, Af, At, &c. pendant que le poids K defcend de la valeur de Aa fuivant la fienne: la Déf. fait voir qu'en prenant ici Aa pour la vîteffe virtuelle de ce poids Ê, l'on y aura Ap, Aq, Ar, Af, At, &c. pour les vîteffes virtuelles de ces puiffances P, Q, R, S, T, &c. & que KxAa, PxAp, QxAq, RxAr, SxAS, TxAt, &c. feront les Energies de ce même poids & de ces mêmes puiffances.

31.

2o. Soit auffi mû tout le fyftême de la Fig. 254. mais de maniere que fon point A parcourant la partie infiniment petite Aa de la direction AK du poids K, les cordons AB, AC, AE, AF, AM, &c. des puiffances P, Q, R, S, T, &c. qui y font appuyez fur les poulies fixes B, λ, t, u, &c. paffent de ABP, AxQ, AIR, AS, AμT, &c. en aßP, aλQ, aiR, aqS, aμT, &c. lefquelles fecon

des fituations de ces cordons font avec les premieres, chacune avec fa correfpondante, des angles Aßa, Aλa, Asa, Apa, &c. infiniment petits, à caufe de leur bafe commune Aa fuppofée infiniment petite par rapport à ses distances finies des fommets B,,,,, &c. de ces angles. Ce qui confondant les perpendiculaires infiniment petites ap, aq, ar, af, at, &c. fuppofées du point a fur les côtez Aß, Aλ, As, A, A, &c. de ces angles avec les arcs infiniment petits, qui décrits de leurs fommets B, a, 8,

,, &c. comme centres, par ce point a, feroient compris entre leurs côtez, chacun entre les deux de chacun de ces angles, donne les differences infiniment petites Ap, Aq, Ar, Af, At, &c. pour les quantitez dont les puiffances P, Q, R, S, T, &c. reculeroient ou avanceroient ici fuivant leurs directions, chacune fuivant la fienne, pendant que le poids K y defcendroit fuivant la fienne AK de la valeur de la partie infiniment petite Aa de cette direction. D'où l'on voit, fuivant la Déf. 31. qu'en prenant ici cette ligne infiniment petite Aa pour la viteffe virtuelle de ce poids K, l'on y aura les infiniment petites Ap, Aq, Ar, Af, At, &c. pour les vîteffes virtuelles de ces puiffances P, Q, R, S, T, &c. & que KxAa, P×Ap, OxAq, RxAr, SxAS, TxAt, &c. y feront les Energies de ce même poids & de ces mêmes puiflances.

L'on aura donc ici en general (nomb. 1. 2.) dans l'un FIG. 2536 & dans l'autre fyftême des Fig. 253. 254. les produits 254 KxAa, PxAp, Q×Aq, RxAr, S×AS, TxAt, &c. pour les Energies du poids K & des puiffances P, Q, R, S, T, &c. fuppofées en équilibre avec lui avant la rupture qu'on y a fuppofée faite par une force étrangere ; defquels produits les lignes Aa, Ap‚Aq, Ar, Aƒ, At, &c. qui expriment les viteffes virtuelles de ce poids & de ces puillances, font (nomb. 1.) quelconques ( finies ou infiniment petites à volonté) dans la Fig. 253. & infiniment petites (omb.2.) dans la Fig. 254. Et defquelles Energies la Déf. 3 1. fait voir que les affirmatives font KxAa, P×Ap, T×At, &c. & les pégatives font QxAg, RxAr, SxA, &c. dans le

mouvement fuppofé de l'un & de l'autre fyftême des Figa. 2.5 3.254. Or avant les nomb. 1. 2. l'on a trouvé pour l'un & pour l'autre de ces fyftêmes KxAa+PxAp+T xAt +&c=QxAg+RxAr+SxAf+&c. Donc en general dans l'un & dans l'autre fyftême du poids quelconque K, foûtenu en équilibre par tant de puiffances quelconques P, Q, R, S, T, &c. qu'on voudra, avec, des cordes feulement,ou appuyées fur des poulies fixes; la fomme des Energies pofitives de ce poids & de ces puiffances, est toûjours égale à la fomme de leurs Energies négatives prifes affirmativement. Ce qu'il falloit 1°. dé

montrer..

Ce qu'on voit des Energies réfultantes de l'équilibre rompu dans le précedent art. I. par un mouvement de A vers a fuivant la direction ́AK du poids K, & en confequence de tout le fyfteme de chacune des Fig. 253. 254. Je trouvera de même des Energies réfultantes de cet équilibre rompu par le mou vement de ce point A, fuivant toute autre direction, & de tout Le système mû en confequence comme dans cet art. 1. Voici com

ment.

II. Le poids K étant encore ici föûtenu en équilibre par tel nombre qu'on voudra de puiffances P, Q, R, S, T, &c. avec des cordes feulement dirigées à volonté: le tout comme dans le précedent art. 1. foit prefentement cet équilibre rompu dans chacune des Figures 255.256. par le mouvement de A vers a fuivant une direction quel conque em, & de tout le fyftême mû en confequence comme dans l'art. 1. fçavoir, de maniere que pendant que ce point A parcourra une partie Aa quelconque dans la Fig. 255. & infiniment petite dans la Fig. 2 5 6. de cette direction em, les directions ou cordons AN, AB, AC, AE, AF, AM, &c. du poids K, & des puiffances P, Qi R, S, T, &c. emportées avec le fyftême, demeurent toujours paralleles chacun à foi-même, c'est-à-dire, à sa premiere fituation dans la Fig. 2 5 6. comme dans la Fig. 2 5 3.. nomb. 1. de l'art. 1. où paffent toûjours par-deffus les mêmes poulies fixes J, B, λ,, Q, μ, &c. dans la Fig. 25.6.

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