Or la part. 1. du Lem. 3. & la démonftr. de la part. z. du Th. 14.

e. M:: Ae. AE.

Donnent enfemble M. N:: AE. AF.

N. f:: AF. Af.

Donc (en multipliant par ordre ) l'on aura ici e. f:: Act Af. Et (en compofant) eff: Aem Af. Af.

Par confequent (en multipliant encore par ordre) l'on yaura ef. b:: Ac+Af. Ab. Or (Lem.10.) Ab Ac+Aƒ. Donc auffi bef. Mais on vient de trouver b. eƒ ::PxAp. MxAm+NxAn. Donc enfin PxAp M×Am +NxAn.

Concevons prefentement (comme dans le précedent art. 2.) que l'équilibre ici fuppofé entre les puiffances M, N, & le poids P, foit rompu par une force qui faffe parcourir au point A de concours de leurs directions, la droite Aa de longueur & de direction quelconques, de maniere que ces trois autres directions là foient toûjours paralleles chacune à foi-même, & que lorsque le point A de leur concours fera en a, ces trois directions AM, AN, AP, des puiffances M, N, & du poids P, foient fur leurs paralleles au, a, a, chacune confondue avec la fien ne. Un tel mouvement de tout le fyftême ainfi conçû rompre l'équilibre ici fuppofé entre les puiffances M, N, & poids P, fera voir, fuivant la Déf. 32. qu'alors les lignes Am, An, Ap, exprimeroient leurs vitelles virtuelles; & que les produits MxAm, NxAn, PxAp, en exprimeront les Energies. Donc venant de trouver PxAp M×Am

NxAn, l'on aura encore ici ( comme dans le précedent art. 3.) l'Energie affirmative du poids P, égale à la fomme des Energies negatives (prifes affirmativement ) des puiffances M, N, fuppofées en équilibre avec ce poids. Ce qu'il falloit encore 2o. démontrer.

V. 1°. Si l'on veut prefentement que la direction As du mouvement donné(art. 4.) au point A de concours des directions des puiffances M, N, & du poids P, foit celle AP de ce poids P, comme dans l'art. 3. Cette hypothefe, qui fait tomber a enp, rendant ApAa, changera l'équation PxAp=M×Am+NxAn du précedent art. 4. en PxAa MxAm-+NxAn, qui eft celle de l'art. 3. dans lequel le mouvement du point A fe fait comme ici, fuivant la direction AP du poids P, parallelement à laquelle on fuppofe ici comme là, que tous les autres points du système fe meuvent pendant le passage de A en a fui

Nant Aa.

2o. Si l'on veut que cette direction Aa du point A, foit celle d'une des puiflances M, N, par exemple, celle MA de la puiffance M; cette hypothefe rendant Am Aa, changera pour ici l'équation du précedent art. 4. en Px Ap MxAa NxAn. Et fi Aa étoit fuivant NA, l'on auroit de même PxAp M×Am―+NxAa.

3°. Si l'on veut prefentement que cette direction Aa du point A, foit perpendiculaire à la direction d'une des puiffances M, N, ou du poids P, par exemple, à la direction AM de la puiffance M, comme dans la Fig. 263. Cette hypothefe, qui dans les Fig. 261. 262. fait tomber am fur Aa, rendant ainfi Amo, réduiroit pour ici l'équation du précedent art. 4. à PxAp=NxAn. Ce foroit la même chofe, fi le cordon MH de la puiffance M, étoit attaché à quelque clou ou crochet fixe en M, lequel par fa résistance fuppléât la puiffance M., comme dans la Fig.26 3.Mais alors la ligne Aa devenant un arc de cercle, qui auroit M pour centre, devroit être infiniment petite; & confequemment aufli An, Ap, pour conferver la ref femblance des triangles, qui dans le précedent art. 4.

FIG. 163.

ont donné l'équation dont celle-ci refulte, par laquelle on voit que l'Energie MxAm de la puiffance M, feroit ici

nuliel

.-V I. Ce nomb. 3. du precedent art. 5. peut encore fe démontrer immediatement, en fuppofant un arc infiniment petit Aa, décrit du centre M de l'extrêmité a duquel tombent deux perpendiculaires an, ap, fur les directions, prolongées NA, AP, de la puiffance N, & du poids Pen équilibre avec elle à l'aide du clou ou crochet fixe Ma auquel la corde NKHM, qui foutient la Poulie KH chargée du poids P en fon centre mobile C, eft attachée par fon extrêmité M. Car fi de quelque point du cordon MH, par exemple, de fon point M on mene MB, MD, perpendiculaires en B, D, fur les directions prolongées PA, AN, du poids P, & de la puiffance N, les angles (conftr.) droits ·MÃa, Apa, Ana, qui rendent les autres Aap MAB, Aan MAD, rendant ainfi les triangles rectangles Apa;` MBA; Ana, MDA, femblables entr'eux deux à deux, diftinguez comme on les voit ici ; l'on y aura Aa. Ap :: AM. MBAMA. Et Aa. An:: AM. MD:

А4

Et par confequent MB. MD ::

AMX AT.

Or en prenant Am pour le finus total, l'on aura ( Déf. 9. Corol. 1.) MB, MD, pour les finus des angles MAB, MAD, dont le fecond elt ici double du premier; & confequemment dont les finus MB, MD, font entr'eux ( Th. 14. part. 2.) comme la puiffance N, & le poids P fuppofé en équilibre avec elle. Donc on aura ici N. P:: Ap. Am. Et confequemment PxApNxAn. Or fi l'on imagine. cet équilibre rompu par une force qui faffe parcourir Aa au point A, en faisant paffer MA fur Ma, infiniment proche d'elle, & AP, AN, furaw, a,, foit qu'elles leur foient paralleles chacune à chacune, ou qu'elles faffent des anangles infiniment petits chacune avec fa correfpondantes fuivant la Déf. 3 que Ap, An, exprimeront les vîreffes

32.

virtuelles du poids P, & de la puillance N; & que TxAp, NxAn en exprimeront les Energies, defquelles la premiere fera ici affirmative, & la feconde negative. Donc l'Energie a irmative du poids P fera ici égale à l'Energie' negative de la puillance N fuppofée en équilibre avec lui, à l'aide du clou ou crochet fixe M ; & la réfiftance de ce clou ou crochet fans aucune Energie: le tout comme dans le nomb. 3. du précedent art. 5. Ce qu'il falloit encore démontrer.

Si fans aucune Poulie HK, le poids P étoit foûtenu feulement avec des cordes AP, AM, AN, attachées enfemble par un noeud commun A, defquelles cordes la feconde AM fut attachée par fon extrêmité M au crochet fixe de ce nom, & la troifiéme AN retenue par une puiffance N, qui-foutient ainsi ce poids P appliqué à la premiere AP: :ce poids P étant encore ici (Th. 1. Corol. 3.) à cette puiffance N, comme le finus MD de l'angle total MAN, au finus MB de l'angle partial MAB, quelque rapport qu'il y eût prefentement entre ces deux angles; un raifonnement femblable au précedent, fera voir que l'Energie affirmative PxAp du poids P, eft encore ici égale à Energie negative NxAn de la puiffance N en équilibre avec lui, de la maniere qu'on le fuppofe ici.

Ceci peut entrer dans la précedente part. 1. comme peut entrer dans celle-ci ce qu'on a fait voir dans les art. 1. z.. de celle-la touchant l'équilibre d'un poids foutenu par plu fieurs puiffances avec des cordes appuyées fur des Poulies de centres fixes dans les Fig. 254. 256.

PARTIE III.

Pour l'équilibre dun Poids foûtenu par une puissance fur le Tour.

F. Soit la puiffance R en équilibre avec le poids P fur F13.2640 le Tour DBN. Du centre A de cette Machine vue de profil, foient deux rayons AM, AN, qui interceptant des arcs quelconques.femblables BN, bn, des circonferences de la

FIG. 265.

266.267.

$2.68.

roue DBN, & de fon rouleau Men. Il eft vifible que autour du centre fixe A de cette

quelque mouvement qui falle Machine, on lui caufe

b

paffer Ben N, & confequemment en le cordon NR que la puiffance R tient ferme fans le laiffer couler, s'alongera de la valeur de EN fans changer de direction, la puiflance R reculant de cette valeur fuivant cette même direction NR, pendant que le cordon MP du poids P s'accourcira de la valeur de bn, fans changer non plus de direction, en faisant monter ce poids P de cette valeur fuivant cette même direction MP: de forte que ( Def. 32.) BN, bn, exprimeront ici les vîteffes virtuelles de cette puiffance R, & de ce poids P, dont les Energies feront ainfi exprimées (Déf. 3 2.1) par les produits RxBN, Pxbn; defquelles Energies (Def 32.la premiere fera affirmative, & l'autre negative. Or l'équilibre ici fuppofé entre ce poids P & cette puiffance R, y donne ( 7h. 19. Cor. 1.ĴR. P:: Ab. AB : : bn. BN. D'où réfulte RxBN=Pxbn. Donc en ce cas d'équilibre l'Energic affirmative de la puiffance R fera égale à l'Energie negative (prife affirmativement du poids P. Ce qu'il falloit 1°. démontrer.

11. Cette égalité d'Energies peut encore fe démontrer en rompant l'équilibre ici fuppofé entre le poids P & la puiffance R, par un mouvement de tout le fyftême, qui faffe décrire a tous fes points des lignes droites égales, & toutes perpendiculaires à la droite AE menées du centre A de la Machine par le point E de concours des directions prolongées MP, NR, du poids P & de la puiffance R; de forte que pendant que ce centre A de la Machine parcourra Aa, le point de concours E de ces directions parcourre Ee parallele & égale à Aa, & perpendiculaire (comme elle) fur AE; & que lorfque les points A, E, feront en a, e, les directions ME, NE, AE, du poids P, & de la puiffance R, & (Th. 30. part. 2.) de la charge du centre A de la Machine, ainfi mues parallelement chacune à foi-même, foient fur leurs paralleles me, ne, ae.

Cela conçu, fi du point on mene eper, perpendicu