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effectivement augmenter à l'infini dans le mouvement que la direction AR peut avoir depuis la fituation oùr elle feroit un angle droit avec AO perpendiculaire à cet-te furface, jufqu'au concours de ces deux mêmes lignes en une, & demeurer cependant toûjours en équilibre. avec le même poids EON fur le même point O d'une furface inclinée quelconque SV.

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On vient de fuppofer dans ce Corol. 15. & on lè supposera toûjours dans la fuite, conformément au Corol. 4. qu'en cas d'équilibre entre la puissance quelconque R & le poids EON: fur la surface auffi quelconque SV, la direction AB de cette puissance R ne peut jamais être au dehors de l'angle DAN :parce que fi cette direction AB paffoit dans quelqu'un des angles NAC, CAO, l'impreffion refultante du concours d'action de la puissance quelconque R& de la pefanteur du poids EON fur ce poids, devant (Lem. 3. Corol. 2.) le porter fuivant une ligne qui du point A paferoit auffi à travers de cet angle, fans pouvoir jamais être perpendiculaire à la furface SV fur laquelle AO L'est déja (Hyp.) & l'unique qui s'y puisse mener du point A par la bafe du poids EON ; ce poids ne pourroit jamais alors (Lem. 3. Corol. 8. & Th. 26. Corol. 1.) faire équilibre fur cette furface avec la puissance R, quelle qu'elle fûts ce qui feroit contre la prefente hypothefe, dans laquelle on les y fuppofe en équilibre. C'eft, dis-je, pour cela qu'on vient de fuppofer dans le précedent Corol. 15.& qu'on Juppofera toujours dans la fuite, qu'en cas d'équilibre entre une puissance R & un poids quelconque EON fur une furface auffi quelconque SV, la direction AB ou AR de cette puissance R ne peut jamais fortir de l'angle. DAN compris entre la direction AC du poids EON prolongée vers N, & la perpendiculaire AQ ou AD menée du point A fur la furface SV (par la bafe du poids EON) à laquelle, dans le prefent Th. 26. & dans tous les Corollaires on fuppofe qu'on n'en peut mener qu'u ne feule du point A, pour la raison qu'on en dira dans le Scholie fuivant, de peur de digreffion dans ce Théoreme-ci.

COROLLAIRE XV I.

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Tout le contenu du précedent Corol. 15. peut encore FIG. 210% être démontré fans le fecours des finus. Imaginons d'abord la direction AR de la puiffance R, perpendiculaire à la droite AX qu'on fuppofe l'être en O à la furface SV ou HG par la bafe du poids EON en équilibre fur cepoint O avec la puiffance R; & confequemment que le côté CD du parallelogramme BACD foit perpendiculaire à la diagonale AD de ce parallelogramme. Il eft manifefte que cette perpendiculaire CD eft la plus courte de toutes les droites CD, Cd, C, &c. qu'on peut mener du même point C fur cette diagonale prolongée, & que les plus éloignées de CD font les plus grandes. Par confequent la puiffance R-qui foûtiendroit le poids EON en Ofur la furface quelconque SV, fuivant AR, devant être à ce poids (Corol. 6.) comme AB ou CD eft à AD, feroit ici la plus petite qui l'ý pût foûtenir, & moindre que toute autre qui l'y foutien droit fuivant toute autre direction Arou Ap, &c. parallele à Cd ou C, &c. cette, nouvelle puiffance en rou en p, &c. devant alors (Cor. 6.)¬ être à ce même poids EON en raifon de Cd ou Cd, &c. côté du parallelogramme bACd ou BACS, &c. à fon autre côté AC, le même pour tous ces parallelogrammes comme le poids EON eft ici (Hyp.) toujours le même à foutenir par chacune de ces puiflances placées en R, r,pɔ &c. fur le même point O de la furface SV. Donc,

1o. Le côté Cd du parallelogramme bACd augmentant à mesure que l'angle ACd ou fon égal NAr le trouve plus aigu, & cela jufqu'à ce que ce côté Cd confondu avec CA, lui foit égal; la puiffance en r pour foûtenir le poids EON fur le même point O de la furface SV fuivant une direction Ar parallele à Cd, doit toujours augmenter jufqu'à ce que cette direction Ar foit confondue avec AN, ou fa parallele Cd avec CA; & à cet instant de confufion être égale au poids EON, fans pouvoir devenir plus grande de ce côté, Cd ne pouvant devenir plus

FIG. 208. :209. 210.*

grande que CA par l'approche de fa parallele Ar vers AN, au-delà de laquelle elle ne peut (Corol. 4. ) paffer en fortant de l'angle DAN fans rompre l'équilibre fuppofé. Donc depuis la fituation de fa direction AR perpendiculaire à AO, cette puiffance R enr, doit toujours augmenter par l'approche de fa nouvelle direction Ar vers AN, jufqu'à ce que cette direction Ar fe trouve confondue avec AN; & à cet inftant de confufion fe trouver égale au poids EON, fans pouvoir être plus grande de ce côté-là, ainsi qu'on l'a déja vu dans le nomb. 1. du précedent Corol. 15.

2o. Au contraire, lorfque la direction Ap de la puiffance R en p, s'éloigne de la fituation AR perpendiculaire à AO, en s'approchant de AO; cette puiffance en ce cas d'équilibre avec le poids EON fur le point O de la furface SV, devant être (Corol. 6. à ce poids comme Aẞ ou Cɗ à AC, il eft vifible que plus la direction AC de cette puiffance en p, fera près de AO, fa parallele C♪ en devenant d'autant plus grande, quoiqu'en raifon differente; cette puiffance en p en devra être d'autant plus granpour foûtenir le même poids EON fuivant cette direation Ap fur le même point O de la furface SV ; & être enfin infinie lorfque cette direction Ap fe trouvera confondue avec AX, fa parallele CS fe trouvant alors infinie. C'eft auffi ce qu'on a déja vû dans le nomb. z. dự précedent Corol. 15.

de

COROLLAIRE XVII.

Les nomb. 1. 2. du précedent Corol. 16. font voir non feulement que pour foutenir un même poids EON fur le même point Od'une furface quelconque SV toujours également inclinée, fuivant differentes directions AR, Ar, Ap, &c. des puiffances capables de l'y foûtenir chacune fuivant la fienne, il leur faut d'autant plus de force que les angles rAO, AO, &c. de leurs directions avec AO, different davantage de l'angle droit RAO, ainsi qu'on l'a déja vu dans le Corok. 1 5. mais encore

que lorfque les differences rAR, PAR, &c. en feront égales, ces forces (Corol. 6.) le feront auffi entr'elles, les cotez Cd, Cs, des parallelogrammes bACd,BAC, alors également éloignez de CD perpendiculaire (Hyp.) fur AX, fe trouvant alors égaux entr'eux.

COROLLAIRE XVIII.

Il fuit encore des Corol. 15. 16. que de toutes les directions AR, Ar, Ap, &c. fuivant lefquelles differentes puiffances peuvent chacune fuivant la fienne foûtenir un même poids EON fur un même point O d'une furface quelconque SV toûjours également inclinée ; la direction. AR perpendiculaire à AO; ou parallele au plan GH, qui foit auffi le plan touchant en O de la furface SV propofée, fi cette furface eft courbe, eft celle qui exige la moindre de toutes ces puiffances pour l'y foutenir ; & que la perpendiculaire AO à ce plan, eft de toutes ces directions celle qui exige la plus grande de toutes ces puissances: la premiere fuivant AR, doit être à ce poids EON (Corol. 1o.) comme la longueur GH de ce plan est à fa hauteur HK ; & la feconde fuivant AO, devroit (nomb. 2. des Corol. 15. 16.) être infinie.

COROLLAIRE XIX.

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208.

Pour les furfaces planes HG paralleles à la direction F1 207/ AC du poids EON, & pour les points des furfaces courbes SV, d'où l'on peut mener des plans touchans qui foient auffi perpendiculaires à l'horifon : la ligne de diretion AR de la puiffance R qui foûtient ce poids EON fur ou contre ces plans, ou ces points de furfaces courbes, ne pouvant (Corol. 4.) s'éloigner de la fituation où elle feroit perpendiculaire à AO, qu'en s'approchant de cette même AO perpendiculaire (Hyp.) en Oà la furface HG ou SV, puifque l'angle NAO en ce cas eft droit ; › cette puiffance R ne peut auffi augmenter (Cor. 15. 16.) que dans ce mouvement de fa direction, depuis ÁN, ou elle feroit égale au poids EON, jufqu'en AÓ, où elle de-

vroit être infinie pour fontenir ce poids fini quelconque EON contre le point O de la furface HG ou SV verticale en ce point, fuivant AO perpendiculaire (Hyp.) à cette furface en ce même point O.

Il est à remarquer que fuivant l'avis qui précede le Corol. 13. lorfqu'on dit ici qu'un poids eft foutenu fur ou contre le même point d'une furface, l'on ne prétend pas dire qu'il ne la rencontre jamais qu'en un feul point: l'on entend feulement que la droite AD, qui du concours A des directions de ce poids EON & de la puissance R en équilibre avec lui fur cette furface quelconque SV, tombe perpendiculairement fur cette mê•me furface, la rencontre toujours dans le même point 0 tant que ce poids eft foûtenu deffus, quoique ce foit fuivant differ rentes directions de puiffances. La raison de cette précaution eft évidente du côté des furfaces courbes, dont tous les points ont chacun un plan touchant d'une direction particuliere. Pour du côté des furfaces planes, on la reconnoîtra dans les Corol. 35.36. 37. où l'on verra que dans l'hypothese du concours des lignes de direction des poids en quelque point de la Terre que ce foit, ils ne pefent pas toujours également fur ces plans, quoique la direction de la puissance appliquée à chacun d'eux, demeure toûjours la même,& quand même ces poids feroient de pefanteur conftante, c'est-à-dire, chacun de pefanteur abfolue toujours la même, malgré le Carol. 37. du Th. Au contraire ils pelent toûjours également chacun fur le même point de quelque furface que ce foit, & la charge de cette furface y est toujours la méme, à moins qu'on ne change la direction de la puiffance, ou la fituation de cette furface. C'eft pour cela que dans les fept précedens Corol. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. où l'on examine feparément le changement que peuvent caufer dans l'action du poids fur une furface, & dans la charge de cette furface, les differentes inclinaifons de la même ou de differentes furfaces für lesquelles ce poids feroit foutenu,& les differentes directions des puiffances qui l'y foùtiendroient, on a regardé ce poids comme appliqué non feulement à une même furface de même inclinaison, mais auffi toujours au même point de cette furface,

2 I.

COROL

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