DEMONSTRATION. I. Soit auf le cylindre ou prifme quelconque EAFDCVBT coupé par deux plans NRPQ, HLпß, paralleles à ceux des fections prifmatiques propofées HLGK, NSOZ, chacun à chacun ; & qui, en faifant avec ce corps les fections curvilignes NR PQ=HLGK, HLng= NSOZ, paralleles & femblables chacune à fon égale ; & avec le parallelogramme ABCD: Les fections rectilignes NP GH, HП NO, paralleles auffi chacune à fon égale, rendent égaux entr'eux les cylindres ou prifmes partiaux KGLHNRPQN, LпßHNSOZN. II. Soit de plus NM perpendiculaire au côté AB du parallelogramme ABCD; & du point H de fon côté oppofé DC, les droites HX, HY, perpendiculaires en X,Y, fur les plans NSOZ, NRPQ, prolongez de ce côté là ; & confequemment auffi perpendiculaires aux droites prolongées ON, PN. Ce qui rendant les triangles rectangles NMO, HXN, femblables entr'eux, & auffi NMP, HYN, donne HX. HN:: NM. NO. Et HN. HY :: NP. NM. Donc (en raifon troublée) HX. HY::NP. NO. III. Or l'art. 1. vient de donner les cylindres ou prifmes partiaux KGLHNRPQN LпẞНNSOZN ; & confequemment leurs valeurs NRPQxHY=NSOZ×HX d'où refultent les aires NRPQ. NSOZ:: HX. HY. Donc (art. 2.) NRPQ. NSOZ:: NP. NO. Mais l'art. 1. vient de donner auffi NRPQ HLGK, & NP HG. Donc enfin les aires HLGK.NSOZ:: HG. NO. Ce qu'il falloit dé montrer. COROLLAIRE Puifque l'article 1. donne les aires NRPQ=HLGK, HLпß=NSOZ, & les lignes droites NP GH,Hп=NO, on voit que l'on aura auffi les aires HLGK. HLп:: HG. HP. Et NRPQ, NSOZ :: NP. NO. Et auffi NRPQ. HLпg:: NP. Hn. de forte qu'en general, de quelque maniere qu'un prifme quelconque foit coupé tranfverfa- FLG. 192. ₤10.293. lement par tant de plans qu'on voudra, tous perpendiculaires à un qui le coupe fuivant fa longueur en un parallelogramme quelconque ; les aires des fections tranfverfales prifmatiques caufez au prifme, coupé par ces plans tranfverfaux, feront toutes entr'elles comme les fections communes de ces plans avec celui de ce parallelogramme. THEOREME XLI. Pur Soient deux tuyaux ou vafes prifmatiques AB, AD, l'un vertical AB, & l'autre AD arbitrairement incliné à l'horifon, defquels les ouvertures en A, & les fonds ou bafes BSCR, KODM, foient horisontales & de figures quelconques, & les hauteurs AC, AE, terminées à ces fonds prolonge. Soient ces deux vafes cylindriques ou prifmatiques remplis jufqu'en A de Liqueurs de pefanteurs Specifiques quelconques, f,, dirigées parallelement à la verticale AE, & en quantitez dont les maffes prifmatiques AB, AD, foient m, u; des poids defquelles résultent fur les fonds BSCR, KODM, des vafes AB, AD, des preffions p, λ, longitudinales, c'est-à-dire, fuivant les longueurs AC, AK, de vafes ou tuyaux ; & de por◄ pendiculaires p,æ, à ces mêmes fonds BSCR, KODM. Cela pofé, l'on aura toûjours & par tout ici, I. puoxAE amfxAK (A) pour les preffions longitudinales de ces fonds. II. pro×AE=☛mf×AK (B) pour les pressions perpendiculaires de ces mêmes fonds. DEMONSTRATION. Avant toutes chofes, pour ne point fe broüiller aux noms qui fe trouvent dans ces deux formules A, B, ni à ce qui s'en trouvera d'autres dans ce que ces formules en produiront d'autres ; voici la liste dejtous ces noms. m, m,, maffes des Liqueurs contenues dans les tuyaux f.. AB, AD. les pefanteurs specifiques de ces Liqueurs. e, e, leurs densitez. b, B, les fonds horifontaux BSCR, KODM, de ces vafes prifmatiques. b,,, leurs fections BSCR, KOQN, perpendiculaires à P, A, preffions longitudinales des Liqueurs fur les fonds ›, leurs preffions perpendiculaires. PART. I. Cela pofé, puifque (Hyp.) m, u, font les maffes des Liqueurs dont les tuyaux AB, AD, fon: fuppofez remplis jufqu'en A ; & que f,, font les pefanteurs Ipecifiques de ces Liqueurs : l'on aura mf, ue, pour les poids abfolus de ces prifmes de Liqueurs. Soit prefentement la pefanteur relative refultante fuivant AK de la pefanteur specifique abfolue de la Liqueur contenue dans toute cette longueur AK du tuyau AD: l'on aura de même ud pour le poids relatif fuivant AK de cette colonne prifmatique AD de Liqueur. Or il eft vifible que les preffions longitudinales p,, que les poids mf, ud, dirigez par leurs pefanteurs f,, fuivant AC, AK, font fuivant ces directions fur les fonds horifontaux BSCR, KODM, font en raifon de ces poids. Donc p.:: mf.us. D'où refulte pusamf. Mais la pefanteur fuivant AK, étant ici dérivée de l'abfolue fuivant la verticale AE rencontrée en E par l'horisontale KE; on aura ici AK. AE ΑΚ AE · Donc fox=λmf, d'où refulte la for ΑΚ mule pup×A E=mfxAK (A) qu'il falloit 1°. démontrer. Autrement. Soit du tuyau AD continué une partie AH de base encore horisontale GH, & remplie dans tou esɩ longueur AG d'une portion de la même Li ueur de ce tuyau AD fuppofée de pefanteur fy ecifique ; de laq el Tome II. Hh FIG. 29 la portion ou colonne AH de Liqueur, la maffe foit x; & confequemment dont le poids abfolu foit x4, lequel foit capable de faire équilibre fur le plan incliné AG avec le poids abfolu mf de la colonne AB de l'autre Liqueur dirigée fuivant la verticale AC parallele aux directions de ces deux poids abfolus xo, mf. Cela pofé, il est démontré dans la Section 6. que pour cet équilibre (foient les horisontales GF, KE, qui rencontrent en F, E, la verticale AC prolongée) il faudroit ici xo. mf:: AG. AF:: AK. AE. Et confequemment xx AE=mfxAK. Or ce cas d'équilibre entre les poids abfolus xp, mf, des prifmes AH, AB, de Liqueurs fur les plans AG, AC, étant un cas où ces poids auroient des forces égales fuivant ces plans, & ou confequemment ils prefferoient également les bafes horifontales GH, ESCR, fuivant ces longueurs AG, AC; la preffion longitudinale de la premiere GH de ces deux bafes feroit ici égale à la longitudinale p de la feconde BSCR. Donc pour rendre ici égale à p la preffion longitudinale de la bafe GH fuivant AG ou AK, il y faudroit xxAE=mfxAK. Or il eft vifible que les pre lions longitudinales p, à, des bases horifontales GH, KODM, caufées fuivant la même direction AR par les colonnes prifmatiques AH, AD, de même Liqueur, font entr'elles en raifon des longueurs AG, AK, de ces prismes : c'est-à-dire, p. λ : : AG. AK= XAG. Donc xxAEXAG. Mais les maffes x, M, Amf des mêmes colonnes AH, AD, de même Liqueur, font entr'elles comme leurs longueurs AG, AK; c'est-à-dire, AG x. μ:: AG. AK. D'où refulte xx Donc μpx AK AG;d'où refulte puq×AE=λmf×AK (A). Ce qu'il falloit encore démontrer. PART. II. Si de l'extrêmité L de KL prife à volonté fur AK prolongée de ce coté-là, on mene LP perpendiculaireen P fur la verticale KP; fi de plus on prend pour la preifion ou force dont la colonne de Liqueur AD presse le fond horisontal KODM fuivant cette verticale KP, c'est-à-dire, perpendiculairement à ce fonds, en confequence de la preffion ou force & dont ce fond KODM est preffé par la même AD fuivant la longueur AK: cette preffion verticale & fuivant KP refultant ainfi de celle fuivant AK ou KL, on aura ici a. ≈ : : KL. KP : : AK. AE. Et confequemment AK x. Donc en substituant cette AE valeur de en fa place dans l'équation pμq×AE=λmfx AK AK (A) de la part. 1. l'on aura ici puxAE=wmfx^ 2 AE où pμø× A £=@mfxAK (B). Ce qu'il falloit 2°. démontrer. COROLLAIRE I. 2 Pour faire entrer prefentement dans cette formule B, & dans celle A de la part. 1. Les fonds horifontaux BSCR, KODM, des vafes prifmatiques AB, AD, lesquels fonds font les bafes horifontales des colonnes de Liqueurs que ces vases contiennent jufqu'en A : foient ces bafes BSCR, KODM, appellées b, B; les hauteurs de ces colonnes prifmatiques étant AC, AE, l'on aura bxAC, ßxAE, pour leurs volumes ; & fi l'on prende, e, pour les denfitez de ces Liqueurs, les prifmes AB, AD, qu'on en fuppofe dans les vales ou tuyaux de ces noms, auront leurs maffes mbex AC, MexAE. Donc en fubftituant ces valeurs dem,, en leurs places dans les précedentes équations A, B, des part. 1. 2. elles les changeront en d'aufli generales. 1°• p&co× AL=nbef×ACxAK (C) pour les preffions lon |