Cela pofé, foit à volonté la direction d'une quelconque de ces trois puiffances, par exemple, de la puiffance Q, fur une partie quelconque AD de cette direction QA, prolongée vers D, foit fait le triangle ABD, dont les côtez AB, BD, foient au troifiéme AD, comme les puiffances données P, R, font à la puiffance Q pareillement donnée, foient enfuite la puiffance P dirigée fuivant AB, & la puiffance R dirigée fuivant AR parallele à BD. Je dis que ces deux puiffances P, R, & la puiffance Q, ainfi dirigées fuivant AP, AR, AQ, feront équilibre entr'elles. Ce qu'il falloit trouver.

DEMONSTRATION.

Soit achevé le parallelogramme BC, en faifant DC parallele à AB; ce qui rend AC BD. Donc par la folution ayant AB, BD, à AD, comme les puiffances P, R, font à la puiffance Q; les côtez AB, AC, du parallelogramme BC, font pareillement à fa diagonale AD, comme les · puiffances P, R, font à cette puiflance Q. Donc (Th. 1. part. 5. ces trois puiffances P, R, Q, appliquées aux : trois cordons AP, AR; AQ, dirigez fuivant ces trois lignes AB, AC, AD, feront ici en équilibre entr'elles. Ce qu'il falloit démontrer.

PROBLEME III.

Soient deux puiffances données 2, R, avec deux directions Fio 329. AR, AP, pareillement données. On demande une troifiéme 330 33‰· · puissance P à diriger fuivant AP, & une troisiéme direction 42 de la puiffance donnée ; telles que les trois puissances P, R, Q, appliquées à trois cordons dirigées fuivant AP,› AR, 42, faffent équilibre entr'elles.

SOLUTION.

Après avoir pris à volonté AC fur la droite AR de pofi tion donnée,& enfuite fur elle prolongée pris du côté de A›

une autre partie AE. AC::Q. R. dont les puiffances QR, font auffi données; foit fait du rayon AE un arc de cercle ED, qui rencontre en D la droite OO menée par le point C parallelement à la direction donnée APde la puiffance requife P.

Cela fait, je dis que fi de ce point D par A on mene la droite DAQ, & qu'on achève le parallelogramme ACDB, l'on aura AQ pour la direction requife de la puiffance donnée Q; & qu'une puiffance qui fera aux données Q, R, comme AB eft à AD, AC, fera aussi la requife P, qui appliquée fuivant la direction donnée AP, fera équilibre avec ces deux autres Q, R, appliquées de même fuivant AQ, AR. Ce qu'il falloit trouver.

DEMONSTRATION.

Ces trois puiffances P, R, Q, étant ainfi appliquées à leurs cordons AP, AR, AQ, fuivant AB, AC, AD, & entr'elles comme les côtez AB, AC, & la diagonale AD du parallelogramme ABDC, la part. 5. du Th. 1. fait voir qu'elles feront alors toutes trois en équilibre entreelles. Ce qu'il falloit démontrer.

SCHOLI E.

On voit que felon que le cercle ED décrit du centre A,& du rayon AEAD, rencontre CO parallele à AP, en un ou en deux points D, d, differens de C, le Problême n'aura qu'une ou deux folutions. Or,

1o. Lorfque AC eft plus grande que AE, comme dans la Fig. 330. ou égale à elle, comme dans la Fig. 331. dans lesquelles Fig. 330. 331. ce cercle ne rencontre CO qu'en un feul point D, different de C. Donc dans chacun de ces deux cas le Problême n'aura point d'autre folution que la precedente; c'est-à-dire, que la direction requife de la puiffance donnée Q, n'y pourra être que fuivant l'unique DA prolongée vers ; & que la puiffance P auffi requife fuivant AP pour faire équilibre avec

les

les données R, Q, dirigées fuivant AR, AQ, y devra neceffairement être à chacune d'elles comme le côté AB du parallelogramme ABDC eft à fon autre côté AC & à fa diagonale AD. Donc la precedente folution ayant AC. AE::R. Q.le Problême n'aura auffi que cette unique folution, lorfque la puiffance donnée R fera plus grande que l'autre donnée Q, ou qu'elle lui fera égale. 2°. Mais lorfque AC eft moindre que AE AD, ainfi Fro.329 que dans la Fig. 3 29. le cercle ED y rencontre OO en deux points D, d, differens de C. Donc le Problême у aura deux folutions: l'une comme la precedente, dans laquelle le point D donne la droite DAQ pour une direction de la puiffance donnée Q, & une puiffance P, qui dirigée fuivant AP, doit être aux deux données R, Q, comme AB eft à AC, AD, pour faire équilibre avec elles dirigées fuivant AR. AQ.

L'autre folution donnera de même dAq pour une autre direction de la même puiffance donnée Q placée en q, & une autre puiffance P, qui dirigée comme l'autre fuivant AP, doit être ici (en achevant le parallelogramme AbdC) aux puiffances données R, Q, comme Ab est à AC, Ad, pour faire auffi équilibre avec ces mêmes puiffances R,Q, dirigées fuivant AR, Aq. Cette feconde folution le demontrera comme la premiere, la demonftration precedente convenant également à toutes les deux, en employant ici le parallelogramme AbdC comme l'autre ABDC a été employé là.

Puifque le Problême eft ici ( Fig. 3 29.) fufceptible de Fre. 329. ces deux folutions, lorfque AC eft moindre que AE, & qu'elles exigent également AC. AE:: R. Q. Ce Problême eft auffi fufceptible de deux folutions, lorfque des deux puiffances données R, Q, la premiere R eft moindre que la feconde Q.

330. 334

3°. Donc (nomb. 1. 2. )le prefent Probl. 3. n'eft fuf- Fre 329 ceptible que d'une folution, telle que la premiere du nomb. 1. lorfque des deux puiffances données R, Q, la premiere R eft plus grande que la feconde Q, comme

Tome II.

Fr. 332.

3336

dans la Fig. 330. ou égale à elle, comme dans la Fig. 331& de deux folutions, quand la premiere R de ces deux puiffances eft plus petite que la feconde,comme dans la Fig.

329.

PROBLEME IV.

Trois puiffances P, Q, R, ou trois poids des mêmes noms, étant donnez, appliquez à trois cordons AEP, A2, AFR, ou les rapports de ces trois puiffances de la Fig. 3 3 2. ou de ces trois poids de la Fig. 333. étant fimplement donnez avec deux points fixes dans la Fig. 3 3 2. & deux pivots ou poulies de mêmes noms dans la Fig. 3 3 3. par lefquels points fixes ou pivots E, F, l'on veut que paffent les cordons de deux quelconques P, R, de ces trois puiffances ou poids: on demande les dileurs trois cordons doivent avoir en partant de leur nxud commun A, pour mettre ces trois puiffances, ou ces trois poids en équilibre entr'eux.

rections

que

SOLUTION.

On fçait (Th. 1. Corol. 6. art. 1.) que pour cela la puiffance, ou le poids de ce nom, doit être moindre que la fomme des deux autres.

Pour cela foit dans la Fig. 3:3 2. une droite quelconque' GK en même plan avec la droite, qui paffe par les points. donnez E, F, & de pofition quelconque differente d'elle dans la Fig. 3 3 2. & parallele à la direction du poids Q dans la Fig. 3 3 3. fur cette droite de grandeur arbitraire GK des Fig. 3 3.2.3 3.3. foit fait un triangle KHG auffi en même plan avec les points donnez E, F, duquel triangle: les deux côtez KH, HG, foient au premier GK, comme les puiflances ou les poids donnez PR, font à Q pareillement donné. Prenant enfuite les poulies ou les pivots E, F, de la Fig. 3 3 3. pour des points fixes, tels que font E, F, dans la Fig. 33.2. De ces points E, F, dans chacune de ces deux Fig. 3 3 2. 3 3 3. foient menées les droites. EA parallele à HK, & FA parallele à GH. Enfin par point A, où ces deux droites EA, FA, fe rencontrent,

le