FIG. 205

205.

Toutes les équations trouvées pour le cas du prefent Gorol. 23. dans les nomb. 1. 2. 3. de fes art. 1. 2. 3. donneront (comme celles des précedens Corol. 21. 22.) tous les rapports entre deux quelconques comparables entr'elles, des huit grandeurs comprises dans chacune de ces égalites. On ne s'arrête • point ici à détailler ces rapports particuliers, non plus que dans les Corol. 21. 22. ce détail étant facile aux moindres Géométres qui auront la curiosité d'y entrer.

J

COROLLAIRE XXI V.

En cas d'équilibre entre la puiffance R & le poids EON fur la furface quelconque SV dans la même hypothese des poids de directions paralleles aux hauteurs des plans, fi après avoir prolongé RA, ou le plan HG, jusqu'à ce qu'ils fe rencontrent en M dans les Fig. 205, 206. lequel plan GH foit le touchant de la furface courbe SV en celui O de fes points fur lequel le poids EON feroit foutenu par la puiffance R: fi, dis-je, après cela on confidere que les angles en O,K, font droits, & que. l'angle G (Corol. 20.) eft toûjours égal à l'angle DAC; l'on aura (Def. 9. Corol. 1. 2.) le finus de l'angle BAD, ou de fon égal, ou complement MAO complement MAO, au finus total:: MÖ. AM. Et ce finus total au finus de l'angle DAC, ou de fon égal G:: GH. HK. Donc (en multipliant par ordre les termes de ces deux analogies) le finus de l'angle BAD fe trouvera être au finus de Fangle DAC :: MO×GH. AMXHK. Donc en general en cas d'équilibre entre la puiffance R & le poids EON fur un point quelconque O de la furface inclinée SV ou HG; ce poids EON dans la prefente hypothefe de fa direction parallele à la hauteur HK de ce plan HG, quelle que foit la direction de la puiffan

ce R, fera auffi toûjours (Corol. 1.0.) à cette puiffance R::MO×GH. AMXHK.

COROLLA.IRE XXV.

Donc lorfque la direction AR de la puiffance R fera parallele à la longueur du plan GH, les lignes MO,AM, alors infinies, fe trouvant pour lors égales entr'elles ; le poids EON fera à cette puillance R.:: GH. HK. c'est-àdire, comme la longueur du plan GH eft à sa hauteur ain fi qu'on l'a déja vû d'une autre maniere dans le nomb. 1. de l'art. 1. du Corol. 20.

COROLLAIRE XXVI.

Puifqu'en general ( Corol. 18. 19.) de toutes les puiffances R capables de foûtenir un même poids EON fur un même point O de quelque furface fixe SV que ce foit, la moindre eft toûjours celle dont la direction AR feroit parallele à GA; il fuit du précedent Cor. 25. & du nomb. 1. de l'art. 1. du Corol. 20. que dans l'hypothefe des directions des poids paralleles aux hauteurs des plans, la moindre de toutes ces puiffances R feroit auffi celle qui feroit à ce même poids EON, comme la hauteur HK du plan GH eft à fa longueur HG.

Voilà jufqu'ici tout autant de Corollaires des part. 1. 2. du prefent Th. 25. en voici prefentement quelques-uns de (a part. 3. après quoi on en verra auffi de toutes fes trois parties enfemble. Nous y prendrons pour la marque ou la caracteristique des finus, jufqu'à ce que nous avertiffions du contraire.

COROLLAIRE XXVII.

206 207.

208.

Quelles que foient les directions ER, FC, de la puiffan- FIG. 295. ce R & du poids EON, auquel elle eft appliquée fur la furface inclinée quelconque SV fi la perpendiculaire AO à cette furface en O, menée du concours A de ces directions, paffe par la bafe du poids EON, & qu'il foit à la puiffance R comme le finus de l'angle RAOˇau finus

Tome II.

E

FIG. 210.

de l'angle CAO, c'est-à-dire, en raifon reciproque des finus des angles que leurs directions font avec AO; il fuit de la part. 3. que cette puiffance R foûtiendra ce poids EON en équilibre fur le point O de la furface SV. Pour le voir, foit fur la diagonale AD, partie quelcon-que de AO prolongée vers D, la parallelogramme BACD, dont les côtez AB, AC, foient fur les directions de la: puiffance R & du poids EON. L'angle ADB étant égal à fon alterne CAD, fi l'on prend pour la caracteristique des finus, l'on aura pour lors BAD. SADB :: :sBAD.. SCAD:: SRAO. SCAO (Hyp.):: EON. R. Or (Lem. 8. · Corol. 2.)BAD. fADB:: BD. AB:: AC. AB. Donc on aura auffi pour lors EON. R:: AC. AB. c'est-à-dire, le poids EON à la puiffance R, comme le côté AC eft aus côté AB du parallelogramme BACD, qui (conftr.) les a fur les directions de ce poids & de cette puiffance, ayant auffi (Hyp.) fa diagonale AD perpendiculaire en O à la furface SV, & par la bafe de ce même poids. Donc (part. 3.) la puiflance R foûtiendra ici en équilibre ce poids EON fur ce point O de cette furface quelconque SV, ainfi qu'il le falloit faire voir..

COROLLAIRE XXVIII

Il fuit de-là que toute puiffance R qui peut foûtenir un poids quelconque EON fur quelque point O d'une furfa-ce inclinée quelconque SV, fuivant une ligne de dire&tion AR, ou Ap, qui faffe au point A avec AR perpendiculaire à AO, ou parallele à la longueur HD du plan touchant en O la furface en queftion, un angle R Ar, ou RAP, moindre que RAN, l'y peut foûtenir encore fur le même point O fuivant une autre ligne de direction Ap,. ou Ar, laquelle paffant de l'autre côté de cette perpendiculaire ÁR, falle avec elle un angle RAP, ou RAr, égal au premier RAr, ou RA,, c'est-à-dire, que fi les deux angles quelconques RA, RAP, font égaux entre-eux, & chacun moindre que l'angle RAN, la puissance

capable de foûtenir le poids EON fuivant Ar fur le point O'de la furface inclinée quelconque SV, l'y foûtiendra auffi fuivant Ap, & reciproquement.

Car il eft vifible qu'on auroit alors AO+pAO=2× RAO, c'est-à-dire, les deux angles rAO, AO, égaux enfemble à deux droits RAO; & qu'ainfi chacun de ces deux-là seroit le complement de l'autre à deux droits ; & confequemment aulli ( Déf. 9. Corol. 2.) que le finus de l'un feroit pour lors le finus de l'autre. Donc alors le finus de l'angle CAO feroit en même raifon au finus de chacun des angles rAO,PAO. Donc auffi (Corol. 10.27.) lạ même puiffance R, qui dirigée fuivant celle qu'on voudra des lignes Ar, A, foûtiendroit le poids EON fur le point O de la furface SV, l'y foûtiendroit auffi fuivant l'autre de ces deux directions, tant qu'elles feront des angles égaux quelconques rAR, AR, avec AR (Hyp.) perpendiculaire fur AO, ou parallele à GH, & chacun moindre que RAN.

COROLLAIRE XXIX.

Cela encore peut fe démontrer fans le fecours des finus: car tant que les directions Ar, Ap, feront des angles égaux de part & d'autre avec AR, leurs paralleles Čd, CJ, en feront auffi d'égaux avec CD parallele à AR. Par confequent CD étant perpendiculaire en D fur AO prolongée vers X, comme l'eit ( Hyp.) AR en A fur la même AO, les lignes Cd, CS, feront égales entr'elles, & confequemment aufli Ab, AB, côtez qui leur font oppposez dans les parallelogrammes bACd. BAC♪. Donc (part. 2.3.) la puiffance R, qui dirigée fuivant une quelcondes lignes Ar, Ap, pourroit foûtenir le poids EON fur un point quelconque O d'une furface fixe inclinée quelconque SV, pourroit aufli l'y foûtenir fuivant l'autre de ces deux directions, tant qu'elles feront des angles égaux de part & d'autre avec AR, & chacun moindre que l'angle RAN. Tout cela s'accorde avec la fin du Co

que

Fol. 17.

Chacun de ces deux derniers Corollaires 28. 29. fait affez voir que tout ce qu'ils contiennent, feroit encore vrai, quand même chacun des angles rAR, PAR, feroit égal à RAN÷ mais la puiffance R dirigée fuivant Ar, fe trouvant alors · l'être fuivant AN directement à contre-fens du poids EON, le foûtiendroit alors feule (nomb. 1. des Corol. 15. 16.) fans le fecours de la furface SV; ce qui ne feroit plus de la presente hypothefe, dans laquelle on fuppofe cette puissance & ce poids en équilibre entr'eux fur cette jurface. Le cas où l'angle feroit plus grand que RAN de ce cóté-la, y feroit encore plus contraire; puifqu'alors (fuivant la reflexion qui eft entre les Corol 15. 16.) il n'y auroit plus du tout d'équilibre entre cette puiffance & ce poids, bien loin de le foûtenir fur la furface SV, ainfi qu'on le fuppofe ici..

COROLLAIRE X X X.

Puifque (Corol. 28.) de toutes les directions Ar, AR, Ap, &c. fuivant lefquelles differentes puiffances peuvent, chacune fuivant la fienne, foûtenir un même poids EON fur le même point O' d'une furface quelconque SV toûjours également inclinée en ce point O; la direction AR, perpendiculaire à AO, ou parallele au plan GH, eft celle qui exige la moindre de toutes ces puillances pour l'y foutenir: puifqu'auffi ( Corol. 10. 18.) cette moindre puiffance R dirigée fuivant AR, eft alors à ce même poids EON, comme le finus de l'angle CAO ouCAD eft au finus de DAR fuppofé droit, c'eft-à-dire, comme le finus de l'angle CAD elt au finus total; il est visible que toute autre puiffance dirigée fuivant celle qu'on voudra des autres directions Ar, Ap, &c. comprises auffi dans l'angle DAN, & en équilibre avec le mêine poids EON fur le même point O de la même furface fixe SV, fera à ce poids en plus grande raifon que le finus de l'angle CAD au finus total, ou que OQ à AQ ; & confequemment auffi ( en fuppofant la direction FC du poids EON parallele à la hauteur HK du plan HG) en plus grande raifon que HK à HG, cette hypothefe rendant les triangles rectangles