AOQ, GPQ, GKH, femblables entreeux; & en general pour quelque hypothefe que ce foit de parallelifme ou de concours entr'elles des verticales FC, HK, en raison d'autant plus grande (Corol. 15. 16.) que la direction Ar, ou Ap, de cette puiffance, fera un angle RAr, ou RA,, plus grand avec AR perpendiculaire (Hyp.) à AO, ou parallele à HG, fans fortir de l'angle OAN.

COROLLAIRE XXXI.

Cela étant, & d'un autre côté ( nomb. 1. des Corol. 15: 16.) la puiffance requife ici pour foûtenir le poids EON fur le point O de la furface SV fuivant une direction Ar, out Ap,non perpendiculaire à AO,devant être d'autant moindre que ce poids ( quoiqu'en raifon differente) que l'angle RArou RAP, de cette direction avec AR perpendiculaire (Hyp.) à AO, fera moindre que l'angle RAN; il fuit en general qu'une même puiffance peut foûtenir un même poids fur un même point d'une furface inclinée fixe quel conque fuivant deux directions differentes, pourvu qu'el-le foit moindre que ce poids, & qu'elle lui foit cependant en plus grande raifon que le finus de l'angle CAD au finus total; c'est-à-dire, dans l'hypothefe ordinaire des poids de directions paralleles aux hauteurs des plans, pourvû que cette puiffance moindre que ce poids, fui foit cependant en plus grande raifon que le finus d'inclinais fon G du plan GH au finus total, ou (Déf. 9. Corol. 1. & Lem. 8. Corol. 2.) que la hauteur HK de ce plan à fa lon-gueur HG.

COROLLAIRE XXXII.

En tout autre cas, c'est-à-dire, lorfque cette puiffance eft plus grande que ce poids, ou du moins lorfqu'elle lui eft égale, ou bien lorfqu'elle lui eft en même raison que le finus de l'angle CAD au finus total; elle ne peut le: foutenir fur le même point O de la furface fixe SV, que suivant une feule direction. Car en fuppofant toujours → l'angle RAO ou RAD droit, ›

1o. Si cette puiffance étoit plus grande que le poids EON, avec lequel on la fuppofe ici en équilibre fur le point O de la furface SV, la direction de cette puiffance non feulement ne pourroit être (Corol. 15. 16.) que dans l'angle droit RAD, telle qu'eft ici Ap; mais encore cette direction Ap y feroit unique, ne pouvant faire avec AD qu'un angle AD, dont le finus foit à celui de CAD comme le poids EON à cette puiffance, ainfi qu'il eft requis (Corol. 1o.) pour leur équilibre fuppofé fur le point O de la furface fixe SV.

2o. Si cette puiffance étoit égale à ce poids EON, des deux directions également éloignées de AR, fuivant lefquelles elle pourroit (Corol. 17.) fucceffivement foûtenir ce poids ; il y en auroit neceffairement une ( nomb. I. des Corol. 15. 16.) fuivant AN, fuivant laquelle cette puiffance foûtiendroit (nomb. 1. des Corol. 15. 16.) feule ce poids fans le fecours de la furface SV; ce qui feroit ici contre l'hypothese.

3. Si cette puiffance étoit au poids en même raison que le finus de l'angle CAD au finus total ou de l'angle (Hyp.) droit RAD, elle ne pourroit le foûtenir ( Corol. Io.) que fuivant AR.

4°. Enfin fi cette puiffance étoit à ce poids EON en moindre raifon que le finus de l'angle CAD au finus total ou de l'angle (Hyp.) droit RAD; elle ne pourroit plus du tout ( Corol. 10.) faire équilibre avec ce poids fur la furface SV, ne pouvant y avoir d'angle, au finus duquel celui de l'angle conftant CAD puiffe être en moindre raifon qu'au finus total, c'est-à-dire, de finus plus grand que le total.

Donc (nomb. 1. 2. 3. 4.) lorfque cette puiffance eft plus grande que le poids EON, ou qu'elle lui eft égale, ou bien lorfqu'elle lui eft en même raifon que le finus de l'angle CAD au finus total ; elle ne peut foutenir ce poids quelconque fur un même point quelconque de quelque furface fixe que ce foit, que fuivant une feule direction, ainfi qu'on le vient d'avancer, & fuivant aucune (nomb. 3.)

lorfque cette puiffance eft au poids EON en moindre raifon que le finus de l'angle CAD au finus total.

Au contraire (Corol. 3.) elle le peut toûjours foûtenir fur ce même ponit de cette même furface fixe, fuivant deux directions differentes également éloignées de AR perpendiculaire à AO, ou parallele au plan HG, tant qu'elle eft moindre que ce poids, & qu'elle lui eft cependant en plus grande raifon que le finus de l'angle CAD au

finus total.

.

Fufqu'ici nous n'avons regardé le même poids que comme appliqué au même endroit de quelque furface que ce foit, on que comme appliqué au méme point d'un plan qui la toucheroit en ce point lorfqu'elle eft courbes ce qu'on a vu pour toutes for tes de furfaces revenir au même que fi ce poids n'eût été appli-· qué qu'au même point d'une plane, ou d'un plan incliné quelconque: de forte que ce poids fur differens points d'une même furface courbe,y doit étre confideré comme fur differens plans touchans de cette furface en ces differens points ce qui étant compris dans ce qui précede de poids quelconques foûtenus cha- ́ cun fur un même point auffi quelconque de quelque furface que ce foit, il ne nous reste plus qu'à confiderer ce poids fucceffivement foutenu fur differens points d'un plan incliné. Mais parce hors l'hypothefe ordinaire des directions des graves toutes paralleles entr'elles, ce poids n'auroit plus (Th. 21. Cor. 3 7.) la même pesanteur fur ces differens points d'un même plan, quand même tous fes points y conferveroient chacun la fienne', c'est-à-dire, la même pour chacun de ces points; nous n'appellerons ici mêmes poids que ceux qui feront de pefanteurs éga les aux differens endroits où nous les placerons, quelques differens qu'ils foient d'ailleurs entr'eux, pour rendre encore ce qui fuit general pour toutes les hypothefes imaginables des directions des graves.

que

COROLLAIRE XXXIII.

Soit prefentement un même corps, ou deux differens Fichar EON, FQM, de même pefanteur en differens points d'un 212même plan incliné HG fur lefquels points ces corps

foient

Loûtenus par deux puiffances R, P., des directions quelconques ER, FP, qui concourent en A, B, avec les dire&tions AB, BD, de ces poids, lefquelles concourent entreelles en quelque point D que ce foit, lequel foit (fi l'on veut le centre de la Terre. Des points A, B, de concours des directions des puiffances & des poids qu'elles foutiennent, foient AO, BQ, perpendiculaires en O, Q, au plan HG; foient auffi les directions des poids prolongées

vers N, M.

Cela fait, le Corol. 1 o. fait voir qu'en ce cas d'équilibre entre les puiffances R, P, & les poids EON, FQM, qu'elles foûtiennent fur les points O,Q, du plan HG; que la puiffance R fera à la puiffance Pen raifon compofée de la directe des finus des angles DAO, DBQ, que les directions des poids qu'elles foûtiennent, font avec les perpendiculaires AO, BQ, au plan GH; & de la reciproque des finus des angles RAO, PBQ, que les directions de ces puiffances font avec ces mêmes perpendiculaires ; c'est-à-dire (en prenant (pour la marque ou la caracteristique des finus) R. P:: DAO×sPBQ. SDBQ× FRAQ.

Car en ce cas d'équilibre, ce Corol. 1 o. donne R. EON ::/DAO. SRAO. & FQM. P :: SPBQ. SDBQ. Donc les poids EON, FOM, étant pris ici pour leurs pefanteurs fuppofées égales entr'elles en O, Q; fi l'on multiplie par ordre les termes de ces deux analogies, l'on aura ici R. P ::SDAO×sPBQ. SDBQ-SRAO. ainsi qu'on le vient de

dire.

COROLLAIRE XXXIV.

Or les perpendiculaires AO, BQ, au plan HG, fe trouvant ainfi paralleles entr'elles, fi l'on prolonge BQ jufqu'à la rencontre de AD en S, l'on aura l'angle DAO ou SAO égal à fon alterne ASB, outre DRQ=DBS. Donc (Corol. 33.) l'on aura pareillement ici R. P:: SASBx SPBQ. JDBS SRAO. Mais (Lef. 9.Cor. 2.).(ASB=/BSD, & ( Lem. 8. Corol. 2.) (BSD. (DBS:: DB. DS. Donc auffi R.P::BDX/PBQ DSX/RAO.

COROL

COROLLAIRE XXXV.

Puifque dans l'équilibre ici fuppofé entre les puiffances R, P, & les poids EON, FQM, fuppofez de même pesan teur fur differens points O, Q, d'un même plan HG d'inclinaifon quelconque ; le Corol. 33. donne R. P ::/DAOX/PBQ. SDBQ×/RAO.

1o. Si les directions ER, FP, des puiffances R, P, font paralleles entr'elles, & celles des poids EON, FQM, conCourantes en quelque point D que ce foit ; les angles RAO, PBQ, fe trouvant alors égaux entr'eux, & confequemment auffi leurs finus fRAO, SPBQ, l'on aura pour lors R.P:: DAO. (DBQ. c'est-à-dire, les puiffances R, P, entr'elles en raifon des finus des angles DAO, DBQ, que les directions des poids EON,FQM, qu'elles foutiennent, font avec les perpendiculaires AO, BQ, au plan.GH.

2. Si ce font les directions des poids EON, FQM, qui› foient paralleles entr'elles, & non celles des puillances R, P, qui les foûtiennent; les angles DAO, DBQ, fe trouvant alors égaux, & confequemment auffi leurs finus SDAO, DBQ, l'on aura pour lors R. P :: SPBQ. SRAO. c'est-à-dire, les puiffances R,P, entr'elles en raifon reciproque des finus des angles RAO, PBQ, que leurs directions ER, FP, font avec AO, BQ, perpendiculaires au plan GH.

3o. Enfin files directions des puiffances font paralleles entr'elles, & celles des poids paralleles auffi entr'elles, non feulement les angles RAO, PBQ, mais encore les angles DAO, DBQ, fe trouvant alors égaux entr'eux comme dans les deux précedens nomb. 1. 2. l'on aura pour lors RP, c'est-à-dire, que les puiffances feront alors égales entr'elles, auffi-bien que( Hyp.) les poids.

COROLLAIRE XXXVI.

Puifque dans l'équilibre ici fuppofé le Corol. 34. donne R.P:: BDX/PBQ. DS×sRAO.

Tome II,

F