Imágenes de páginas
PDF
EPUB

deux valeurs analytiques fe trouvent égales, les lignes geometriques qu'elles reprefentent le font auffi; les deux incli. naifons du mortier fe réduisent à celle de 45 degrés, qui donne la plus grande étendue de tous les jets de bombe par une même force de poudre ; & les deux endroits du pendule où il faut mettre la lentille fe réuniffent au point, où arrêtant la lentille, on rend les vibrations du pendule les plus promptes qu'il eft poffible. Quand l'Analyfe découvre les deux valeurs font impoffibles, on trouve une conque tradiction dans la réfolution geometrique, l'endroit où l'on veut faire tomber la bombe, fe trouve hors de la portée de la poudre, & l'on trouve auffi qu'il y a une contradiction dans les fuppofitions que l'on a faites fur le pendule compofé, &c. Tout le refte du huitiéme Livre eft employé à faire voir les usages de l'Analyse dans la Geometrie compofée, c'est à dire, dans la science des lignes courbes, & dans la réfolution des Problêmes Phyfico-Mathematiques qui en dépendent.

On explique dans la troifiéme Section la maniere de reduire les courbes à des équations qui en expriment les principales proprietés: la voici. On fuppofe fur le plan où eft chaque courbe une ligne droite dont la position eft donnée fur le plan, & un point fixe d'où elle part, qu'on nomme fon origine, qui eft auffi donné. Cette droite fe nomme la ligne des coupées : on fuppofe une infinité d'autres droites toutes paralleles entr'elles qui partent de tous les points de la courbe, & vont toutes couper la ligne des coupées, on les appelle les ordonnées; la partie de la ligne des coupées depuis l'origine jufqu'à l'ordonnée qui la termine, eft la coupée de cette ordonnée; &, pour abreger, on nomme chaque coupée & fon ordonnée correfpondante, les coordonnées. Or dans toutes les courbes regulieres il y a un raport commun qui regne entre les coordonnées, qu'on peut regarder comme le raport commun à tous les points de la courbe d'où partent les ordonnées. Ainfi en nommant chaque coupée par une même lettre, qu'on appelle changeante, parcequ'elle reprefente fucceffivement toutes les coupées; reprefentant de même chaque ordonnée par une autre lettre qu'on nomme changeante par la même raifon; marquant auffi par des lettres differentes les lignes connues qui fervent à déter

miner le raport commun aux coordonnées : l'Analyfe exprime ce raport commun à tous les points de la courbe par une équation; les changeantes des coordonnées y tiennent lieu de deux inconnues. On a fait voir dans la premiere Section, que l'on peut de même exprimer par une équation le raport commun de tous les points d'une ligne droite, en concevant de tous fes points des droites paralleles tirées à la ligne des coupées fur le même plan où eft la ligne droite. C'eft de ces équations, qui expriment la nature des courbes, que l'Analyfe deduit leurs proprietés, & la refolution des Problêmes qui les regardent. C'est de ces mêmes équations qu'elle prend la diftinction des courbes en geometriques & en mechaniques: les équations des premieres ne contiennent que des expreffions ordinaires de l'Algebre, le nombre des dimenfions des changeantes eft déterminé, & les coordonnées font toujours de fimples lignes droites : Parmi les courbes mechaniques, les unes ont des courbes pour l'une ou l'autre des coordonnées, ou pour toutes les deux ; d'autres ont des lignes droites égales à des arcs de courbe pour l'une ou l'autre des cordonnées, ou pour toutes les deux. Il y en a dont le nombre des dimenfions des coordonnées n'eft pas déterminé, la plufpart ne peuvent s'exprimer que par des équations qui contiennent des differentielles. Enfin les équations des courbes geometriques fervent à les ranger en differens ordres qu'on appelle genres, felon le nombre des degrés où font élevées les puiflances feparées des changeantes, ou felon le nombre des dimensions du produit des changeantes multipliées l'une par l'autre, quand ce produit eft le feul terme qui contient des changeantes, ou quand il a plus de dimenfions que la puiffance la plus élevée de l'une ou de l'autre des changeantes feparées.

Les courbes geometriques les plus fimples, ou du premier genre, font celles qui s'expriment par des équations où la plus haute puiffance des changeantes feparées ne monte qu'au fecond degré, ou bien dans lefquelles le produit des changeantes multipliées l'une par l'autre, n'eft que de deux dimensions; on les appelle Sections coniques, parcequ'elles peuvent fe former par la fection commune d'un plan & d'un cône. Les Geometres anciens & nouveaux fe font appliqués à décrire ces courbes, à en découvrir les proprietés, à en

refoudre les Problêmes, & à les faire fervir à la refolution de beaucoup d'autres Problêmes; cela les a rendues de grand ufage. On enfeigne dans cette troifiéme Section leur formation, c'est à dire, la maniere de les décrire fur un plan, 1o, par le mouvement continu du point d'interfection de deux regles mobiles; 2°, en trouvant fucceffivement les points par où elles doivent paffer. On tire de leur formation les équations qui en expriment la nature, & l'on déduit de ces équations les principales proprietés de ces courbes. On a eu foin de n'oublier aucune de celles qui font neceffaires à l'intelligence de ce huitiéme Livre, afin que les Lecteurs qui fçavent au moins mediocrement les Elements d'Euclide, n'euffent befoin d'aucun autre Ouvrage pour entendre celui-ci.

il

Dans les Sections coniques, (& c'est à peu près la même chofe dans les courbes geometriques des genres plus élevés,) y a une ligne déterminée des coupées pour chacun des angles que les ordonnées, paralleles entr'elles, peuvent faire avec leurs coupées : cette ligne déterminée s'appelle le diametre de la courbe. L'équation de la courbe par raport à ce diametre est la plus fimple de toutes, c'eft à dire, qu'elle a le moins de termes : mais quand on prend fur le plan de chacune de ces courbes une ligne des coupées differente du diametre, & qui ne lui eft pas parallele; l'équation de la courbe, par raport à cette ligne des coupées, a un plus grand nombre de termes que l'équation la plus fimple. Dans la refolution des Problêmes qui fe reduisent aux Sections coniques, on trouve rarement l'équation la plus fimple, laquelle feroit diftinguer d'abord celle des Sections coniques à laquelle le Problême se rapporte : mais il se presente ordinairement une équation qui à plus de termes que celle de la courbe par raport au diametre, & cependant les changeantes de l'équation n'ayant que deux dimensions, la courbe qu'elle exprime eft l'une des Sections coniques. Il faut donc avoir des marques certaines pour diftinguer à laquelle des Sections coniques appartient l'équation qu'on a trouvée, & des moyens pour trouver le diametre de cette Section conique, & les autres lignes neceffaires pour la décrire par la même methode dont on s'eft fervi pour décrire une telle Section conique. On a mis pour cela un Problême dans la

troifiéme

[ocr errors]

S

troifiéme Section, qui en eft le feptième, où l'on enfeigne à trouver, par le moyen de l'équation fimple de chacune des Sections coniques, l'équation la plus compofée de chacune des mêmes Sections, laquelle exprime le raport commun à tous les points de la courbe par raport à une ligne des coupées fur le même plan de la courbe qui eft differente du diametre, & ne lui eft pas parallele, & dont l'origine est differente de l'origine du diametre. L'on tire de ces équations compofées de chacune des Sections coniques, les marques certaines pour diftinguer, dans la refolution des Problêmes qui s'y reduifent, la Section conique en particulier à qui convient l'équation que l'on peut trouver. L'on fait voir auffi la maniere de fe fervir des équations compofées de chacune des Sections coniques, que donne ce feptième Pro. blême, pour trouver, dans les équations compofées qui fe prefentent dans la refolution des Problêmes, & qui fe rapportent à une Section conique, le diametre & les autres lignes neceffaires pour la décrire. Cela fe fait par la methode des indéterminées, en regardant les connues de chaque équation du feptiéme Problême comme des indéterminées, & en comparant chaque terme de cette équation avec chaque rerme correfpondant de l'équation qui s'eft prefentée dans la refolution du Problême: car l'on détermine, par le moyen des équations que donnent ces comparaifons, les valeurs du diametre & des autres lignes qu'il faut avoir pour décrire la Section conique exprimée par l'équation qui refout le Problême.

En regardant de près les veftiges que M' Defcartes a laiffés dans le fecond & dans le troifième Livre de fa Geometrie, on voit affés qu'il s'eft fervi de la methode dont on vient de parler, (qui eft expliquée dans le feptiéme Problême de cette troifiéme Section, & dans les Remarques qui le fuivent, pour diftinguer dans la refolution du Problême de Pappus, qu'il donne dans le fecond Livre, à quelles Sections coniques fe reduifoient les équations qui fe font presentées à lui dans cette refolution; & pour trouver le diametre & les autres lignes neceffaires pour décrire ces Sections coniques. Il s'en eft encore fervi, dans la refolution des équations qu'il donne dans le troifiéme Livre, pour décrire les Sections coniques qui jointes ensemble fe coupent en des points

**

1

dont les ordonnées ou bien les coupées font la resolution des équations. Cependant les Commentateurs de M' Defcartes n'ont point expliqué cette methode qui auroit éclairci fa Geometrie, & l'auroit rendue plus facile. M' Craige en Angleterre, & M le Marquis de l'Hospital en France, font les premiers qui l'ont donnée au Public.

Ôn explique dans la même troifiéme Section la methode generale de décrire toutes les courbes geometriques, en trouvant fucceffivement les points par où elles doivent paffer. On y a mis auffi quelques Exemples des courbes mechaniques. Enfin, pour n'oublier aucune des courbes qu'on a pu imaginer jufqu'à present, l'on y donne une idée des courbes qu'on nomme exponentielles & parcourantes.

La quatrième Section eft fur les ufages que l'Analyfe fait des courbes; l'on en explique feulement deux : le premier est pour trouver, par le moyen des courbes geometriques, les lignes qui font les valeurs geometriques des équations déterminées, c'est à dire, qui n'ont qu'une inconnue; c'est ce qu'on appelle conftruire les équations; le second est pour refoudre, par le moyen des courbes, plufieurs Problêmes Phyfico-mathematiques. La conftruction des équations eft une des belles parties de la Geometrie compofée : Pour l'expliquer à fond d'une maniere courte, mais fans obfcurité, on l'a déduite du principe d'où elle dépend naturellement, que voici.

Si l'on prend les équations de deux lignes geometriques où les mêmes lettres changeantes marquent les coordonnées, & que l'on ôte l'une des deux changeantes, par exemple la changeante des coupées, dans l'une de ces deux équations par le moyen de l'autre équation, il en naîtra une troifiéme équation qui n'aura qu'une feule changeante ou inconnue. Or les deux lignes geometriques de ces équations étant jointes l'une à l'autre de façon que leurs coupées foient communes ou paralleles entr'elles, & qu'elles partent d'une même origine, & qu'il en foit de même de leurs ordonnées; elles fe couperont en autant de points qu'il y a de dimenfions dans la plus haute puiffance de l'inconnue demeurée feule dans la troifiéme équation : Et fi l'on tire de tous les points d'interfection de ces deux lignes geometriques, des ordonnées jufqu'à la ligne des coupées de celle qu'on a

« AnteriorContinuar »