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deux valeurs analytiques se trouvent égales, les lignes geometriques qu'elles reprefentent le font auffi; les deux incli. naisons du mortier se réduisent à celle de 45 degrés, qui donne la plus grande étendue de tous les jets de bombe par une même force de poudre ; & les deux endroits du pendule où il faut mettre la lentille se réunissent au point, où arrêtant la lentille, on rend les vibrations du pendule les plus promptes qu'il est possible. Quand l'Analyse découvre que les deux valeurs font impoffibles, on trouve une contradiction dans la résolution geometrique; l'endroit où l'on veut faire tomber la bombe, se trouve hors de la portée de la poudre ; & l'on trouve aussi qu'il y a une contradiction dans les suppositions que l'on a faites sur le pendule composé, &c. Tout le reste du huitiéme Livre est employé à faire voir les usages de l'Analyse dans la Geometrie composée, c'est à dire, dans la science des lignes courbes, & dans la résolution des Problêmes Physico - Mathematiques qui en dépendent.

On explique dans la troisiéme Section la maniere de reduire les courbes à des équations qui en expriment les principales proprietés: la voici. On suppose sur le plan où est chaque courbe une ligne droite dont la position est donnée fur le plan, & un point fixe d'où elle part, qu'on nomme fon origine, qui est aussi donné. Cette droite se nomme la ligne des coupées : on suppose une infinité d'autres droites toutes paralleles entr'elles qui partent de tous les points de la courbe, & vont toutes couper la ligne des coupées, on les appelle les ordonnées ; la partie de la ligne des coupées depuis l'origine jusqu'à l'ordonnée qui la termine, est la coupée de cette ordonnée; &, pour abreger, on nomme chaque coupée & fon ordonnée correspondante, les coordonnées. Or dans toutes les courbes regulieres il y a un raport commun qui regne entre les coordonnées, qu'on peut regarder comme le raport commun à tous les points de la courbe d'où partent les ordonnées. Ainsi en nommant chaque coupée par une même lettre, qu'on appelle changeante, parcequ'elle reprefente successivement toutes les coupées ; representant de même chaque ordonnée par une autre lettre qu'on nomme changeante par la même raison; marquant aussi par des lettres differentes les lignes connues qui servent à déter

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miner le raport commun aux coordonnées : l'Analyse exprime ce raport commun à tous les points de la courbe par une équation; les changeantes des coordonnées y tiennent lieu de deux inconnues. On a fait voir dans la premiere Section, que l'on peut de même exprimer par une équation le raport commun de tous les points d'une ligne droite, en concevant de tous ses points des droites paralleles tirées à la ligne des coupées sur le même plan où eft la ligne droite.

C'est de ces équations, qui expriment la nature des courbes, que l'Analyse deduit leurs proprietés, & la resolution des Problêmes qui les regardent. C'est de ces mêmes équations qu'elle prend la distinction des courbes en geometriques & en mechaniques: les équations des premieres ne contiennent que des expressions ordinaires de l'Algebre, le nombre des dimensions des changeantes est déterminé, & les coordonnées sont toujours de simples lignes droites : Parmi les courbes mechaniques, les unes ont des courbes pour l'une ou l'autre des coordonnées, ou pour toutes les deux ; d'autres ont des lignes droites égales à des arcs de courbe pour l'une ou l'autre des cordonnées, ou pour toutes les deux. Il y en a dont le nombre des dimensions des coordonnées n'est pas déterminé; la pluspart ne peuvent s'exprimer que par des équations qui contiennent des differentielles. Enfin les équations des courbes geometriques fervent à les ranger en differens ordres qu'on appelle genres, felon le nombre des degrés où sont élevées les puissances separées des changeantes, ou felon le nombre des dimensions du produit des changeantes multipliées l'une par l'autre, quand ce produit est le seul terme qui contient des changeantes, ou quand il a plus de dimensions que la puissance la plus élevée de l'une ou de l'autre des changeantes separées.

Les courbes geometriques les plus simples, ou du premier genre, font celles qui s'expriment par des équations où la plus haute puissance des changeantes separées ne monte qu'au fecond degré, ou bien dans lesquelles le produit des changeantes multipliées l'une par l'autre, n'est que de deux dimensions; on les appelle Sections coniques, parcequ'elles peuvent se former par la section commune d'un plan & d'un cône. Les Geometres anciens & nouveaux se font appliqués à décrire ces courbes, à en découvrir les proprietés, à en refoudre les Problêmes, & à les faire servir à la resolution de beaucoup d'autres Problêmes; cela les a rendues de grand usage. On enseigne dans cette troifiéme Section leur formation, c'est à dire, la maniere de les décrire sur un plan, 1°, par le mouvement continu du point d'interfection de deux regles mobiles; 2°, en trouvant successivement les points par où elles doivent passer. On tire de leur formation les équations qui en expriment la nature, & l'on déduit de ces équations les principales proprietés de ces courbes. On a eu soin de n'oublier aucune de celles qui font necessaires à l'intelligence de ce huitiéme Livre, afin que les Lecteurs qui sçavent au moins mediocrement les Elements d'Euclide, n'eussent besoin d'aucun autre Ouvrage pour entendre celui-ci.

Dans les Sections coniques, (& c'est à peu près la même chose dans les courbes geometriques des genres plus élevés,) il y a une ligne déterminée des coupées pour chacun des angles que les ordonnées, paralleles entr'elles, peuvent faire avec leurs coupées : cette ligne déterminée s'appelle le diametre de la courbe. L'équation de la courbe par raport à ce diametre est la plus simple de toutes, c'est à dire, qu'elle a le moins de termes : mais quand on prend sur le plan de chacune de ces courbes une ligne des coupées differente du diametre, & qui ne lui est pas parallele; l'équation de la courbe, par raport à cette ligne des coupées, a un plus grand nombre de termes que l'équation la plus simple. Dans la resolution des Problêmes qui se reduisent aux Sections coniques, on trouve rarement l'équation la plus simple, laquelle feroit diftinguer d'abord celle des Sections coniques à laquelle le Problême se rapporte : mais il se presente ordinairement une équation qui a plus de termes que celle de la courbe par raport au diametre; & cependant les changeantes de l'équation n'ayant que deux dimensions, la courbe qu'elle exprime est l'une des Sections coniques. Il faut donc avoir des marques certaines pour diftinguer à laquelle des Sections coniques appartient l'équation qu'on a trouvée, & des moyens pour trouver le diametre de cette Section conique, & les autres lignes necessaires pour la décrire par la même methode dont on s'est servi pour décrire une telle Section conique. On a mis pour cela un Problême dans la troifiéme troifiéme Section, qui en est le septième, où l'on enfeigne à trouver, par le moyen de l'équation fimple de chacune des Sections coniques, l'équation la plus composée de chacune des mêmes Sections, laquelle exprime le raport commun à tous les points de la courbe par raport à une ligne des coupées sur le même plan de la courbe qui eft differente du diametre, & ne lui est pas parallele, & dont l'origine est differente de l'origine du diametre. L'on tire de ces équations composées de chacune des Sections coniques, les marques certaines pour diftinguer, dans la resolution des Problêmes qui s'y reduisent, la Section conique en particulier à qui convient l'équation que l'on peut trouver. L'on fait voir aussi la maniere de se servir des équations composées de chacune des Sections coniques, que donne ce septième Pro. blême, pour trouver, dans les équations composées qui se prefentent dans la resolution des Problêmes, & qui se rapportent à une Section conique, le diametre & les autres lignes necessaires pour la décrire. Cela se fait par la methode des indéterminées, en regardant les connues de chaque équation du septiéme Problême comme des indéterminées, & en comparant chaque terme de cette équation avec chaque terme correspondant de l'équation qui s'est presentée dans la resolution du Problême: car l'on détermine, par le moyen des équations que donnent ces comparaisons, les valeurs du diametre & des autres lignes qu'il faut avoir pour décrire la Section conique exprimée par l'équation qui refout le Problême.

En regardant de près les veftiges que M' Descartes a laissés dans le fecond & dans le troisième Livre de fa Geometrie, on voit assés qu'il s'est servi de la methode dont on vient de parler, (qui est expliquée dans le septiéme Problême de cette troifiéme Section, & dans les Remarques qui le suivent,) pour diftinguer dans la resolution du Problême de Pappas, qu'il donne dans le second Livre, à quelles Sections coniques fe reduisoient les équations qui se sont presentées à lui dans cette resolution; & pour trouver le diametre & les autres lignes necessaires pour décrire ces Sections coniques. Il s'en eft encore servi, dans la resolution des équations qu'il donne dans le troifiéme Livre, pour décrire les Sections coniques qui jointes ensemble se coupent en des points

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dont les ordonnées ou bien les coupées sont la resolution des équations. Cependant les Commentateurs de M Defcartes n'ont point expliqué cette methode qui auroit éclairci sa Geometrie, & l'auroit rendue plus facile. M Craige en Angleterre, & M' le Marquis de l'Hospital en France, font les premiers qui l'ont donnée au Public.

On explique dans la même troisiéme Section la methode generale de décrire toutes les courbes geometriques, en trouvant successivement les points par où elles doivent passer. On y a mis aussi quelques Exemples des courbes mechaniques. Enfin, pour n'oublier aucune des courbes qu'on a pu imaginer jusqu'à present, l'on y donne une idée des courbes qu'on nomme exponentielles & parcourantes.

La quatriéme Section est sur les usages que l'Analyse fair des courbes; l'on en explique seulement deux : le premier est pour trouver, par le moyen des courbes geometriques, les lignes qui font les valeurs geometriques des équations déterminées, c'est à dire, qui n'ont qu'une inconnue; c'est ce qu'on appelle construire les équations: le second est pour refoudre, par le moyen des courbes, plusieurs Problêmes Physico-mathematiques. La construction des équations est une des belles parties de la Geometrie composée: Pour l'expliquer à fond d'une maniere courte, mais fans obfcurité, on l'a déduite du principe d'où elle dépend naturellement, que voici.

Si l'on prend les équations de deux lignes geometriques où les mêmes lettres changeantes marquent les coordonnées, & que l'on ôte l'une des deux changeantes, par exemple la changeante des coupées, dans l'une de ces deux équations par le moyen de l'autre équation, il en naîtra une troisieme équation qui n'aura qu'une feule changeante ou inconnue. Or les deux lignes geometriques de ces équations étant jointes l'une à l'autre de façon que leurs coupées soient communes ou paralleles entr'elles, & qu'elles partent d'une même origine, & qu'il en soit de même de leurs ordonnées; elles se couperont en autant de points qu'il y a de dimensions dans la plus haute puissance de l'inconnue demeurée seule dans la troisième équation : Et si l'on tire de tous les points d'interfection de ces deux lignes geometriques, des ordonnées jusqu'à la ligne des coupées de celle qu'on a