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niere propre

décrite la premiere, elles seront les valeurs geometriques de l'inconnue de la troisiéme équation, si cerce inconnue est celle des ordonnées ; les coupées qui fe terminent à ces ordonnées seront les valeurs geometriques de l'inconnue de la troisiéme équation, si c'est l'inconnue des coupées qui y soit demeurée. Ce principe répand une lumiere sur la me. thode que donne l'Analyse pour trouver les équations des lignes geometriques, qui prises deux à deux sont propres à construire telle équation déterminée qu'on voudra; & pour joindre ensemble ces deux lignes geometriques d'une ma

à les faire couper dans les points qui auront pour ordonnées ou pour coupées les lignes qui sont les valeurs geometriques de l'inconnue de cette équation déterminée ; il répand, dis-je, une lumiere sur cette methode qui la rend claire aux commençants, quoiqu'elle soit tres courte. On prend pour exemple la construction de toutes les équations du croisiéme & du quatrième degré, & l'on fait voir la maniere de l'executer par l'union d'une parabole donnée &du cercle ; & encore par l'union d'une hyperbole donnée entre les afymptoces dont l'angle est aigu ou obtus, & du cercle. On a mis cette derniere maniere de construire tou. tes les équations du troisiéme & du quatriéme degré, parcequ'elle renferme quelques difficultés qui auroient pu embaraffer les commençants.

On pourra encore remarquer en cet endroit l'exacte convenance de l'Analyse & de la Geometrie. Il y a autant d'intersections des deux lignes geometriques employées à construire l'équation, qu'il y a de valeurs analytiques de l'inconnue de cette équation. Quand routes les valeurs que fournit l'Analyse font positives & differentes, les lignes qui en sont les valeurs geometriques sont toutes differentes, & du côté des lignes positives. Lorsque l'Analyse donne des valeurs négatives, les valeurs geometriques sont du côté des lignes negatives

. Quand le second terme de l'équation est évanoui , la somme des valeurs négatives que donne l'Analyse est égale à celle des positives; l'on trouve ausli dans la construction geometrique, que la somme des lignes du côté des grandeurs négatives eft égale à celle des lignes qui font du côté des positives. S'il y a des valeurs analytiques égales, l'on trouve autant d'intersections des lignes

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geometriques qui se réunissent ensemble. Enfin dans les eas
où l’Analyse trouve des valeurs impossibles, les lignes geo-
metriques employées à la construction ne se coupent ni ne se
touchent point du côté que devroienç être les valeurs geo-
metriques correspondantes.

On explique à la fin de la même quatriéme Section quel.
ques usages des courbes pour la resolution des Problemes
Physico-mathematiques. On fait voir que les traces des
bombes jetcées à toutes les inclinaisons poslibles du mortier,
sont des paraboles. On tire d'ordinaire des proprietés de la
parabole la resolution des Problemes de l'art de jetter les
bombes : mais comme l'on a refolu ces Problèmes dans la
seconde Section sans se servir de la parabole , on donne la
resolution de deux autres Problêmes sur toutes les parabo-
les que peut décrire une bombe jetcée par une même force
de poudre à toutes les differentes inclinaisons qu'on peut
donner au mortier. On fait voir aussi dans la même Section
que l'ellipse & l'hyperbole sont les figures qu'il faut donner
aux verres, afin que les rayons qui y entrent paralleles à
l'axe soient disposés, par les refractions qu'ils souffrent en
passant de l'air dans les verres, ou des verres dans l'air, à se
réunir dans un point donné. Enfin on fait découvrir par
l'Analyse, que la cycloïde est la courbe que le centre de
pesanteur d'un pendule simple, ou le centre d'oscillation
d'un pendule composé doit décrire, afin que les vibrations
grandes ou petites soient toutes d'une égale durée : ce qui
fait concevoir qu'un tel pendule est ce qu'il y a de plus pro-
pre

à moderer le mouvement des horloges, & à les rendre la mesure exacte du temps.

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SECONDE PARTIE.
Sur le calcul differentiel, « før l'usage de l'Analyse

en se servant de ce calcul.
O

N fait remarquer dans la premiere Se&ion, que ce n'est
point une chose nouvelle dans la Geometrie

que

de considerer des parties de grandeur d'une fi extrême petitesse, qu'on ne peut les faire entrer en comparaison avec les gran.

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1

deurs ordinaires que l'on peut déterminer. Les plus anciens Geometres, comme on le voit dans le douziéme Livre d'Euclide, & dans les Ouvrages d’Archimede, ont pris ces parties infiniment pecices pour principe de quelques - unes de leurs démonstrations. Câr pour démontrer, par exemple, que

deux cercles sont entr'eux comme les quarrés de leurs diametres, & deux circonferences comme leurs diametres; ils ont supposé qu'on pouvoir concevoir dans l'un & l'autre de ces cercles deux polygones semblables inscrits, ou deux polygones semblables qui leur fussent circonscrits, dont les côtés fussent d'une telle petitele, que la difference des polygones

inscrits ou circonscrits d'avec leurs cercles fûr moindre qu'aucune grandeur finie & déterminée, quelque petite que pût être cette grandeur. Orces polygones étant entr'eux comme les quarrés des diametres des cercles, & leurs cir. cuits comme ces mêmes diametres ; la supposition qu'ils avoient faite leur faifoit conclure que les cercles & les circonferences avoient le même raport que les aires & que

les circuits de ces polygones.

Ce n'a donc point éré de nos jours une nouvelle découverte que d'employer dans la Geometrie ces parties des grandeurs entieres, fi pecites qu'elles n'ont aucun raport fini avec elles. Ce que les illustres Auteurs du calcul differentiel & integral ont ajouté à cette supposition que les Anciens ont prise de la nature, n'a été que de donner des expressions convenables à ces petites parties qui sont les premiers élements des grandeurs ; & de trouver un calcul qui leur für rellement propre, qu'on pût leur appliquer les methodes de l'Analyse, & qu'on pût remonter de ces parties infiniment petites aux grandeurs entieres ou integrales dont elles sont les premiers elements. Le fondement du calcul differentiel est commun aux anciens & aux nouveaux Geometres. La certitude des démonstrations posées sur ce fondement est la même. La maniere même d'employer, dans les démonstrations & dans les resolucions des Problémes , ces parties des grandeurs plus petites que touce grandeur qu'on peut déterminer, est commune aux uns & aux autres. Car comme les Anciens ne fuppofoient cette difference infiniment petite entre le cercle & le polygone d'une infinité de côcés qui lui étoit inscrit ou circonscrit , que pour faire leur démonstra

tion ; qu'ils ne la concevoient subsistante que pendant la démonstration ; & qu'au moment qu'ils l'avoient faire, ils regardoient cette difference comme devenant nulle, & que le polygone inscric ou circonscrit, qui étoit pour ainsi dire l'infinitiéme, ne differoit en rien du cercle : Les nouveaux Geometres n'employent ausli les mêmes differences infiniment petites que pendant la resolution des Problêmes; ils ne les conçoivent réelles & fubfiftantes que pendant leur calcul; & au moment qu'il leur a donné la resolution, ils supposent que les differences s'évanouissent & deviennent nulles, & que les grandeurs qu'ils supposoient ne differer des grandeurs entieres qu'ils cherchoient que par des differences infiniment petites, n'en different point du tout. La certitude du calcul differentiel doit. donc être au même degré que celle des démonstrations des anciens Geometres. qui avoient le même principe, & qui ont été reçues de cout le monde. La seule difference est que les Anciens ne faisoient sur ce principe que des démonstrations qu'on appelle per abfurdum, & que les nouveaux calculs démontrent tout directement.

On apperçoit même distinctement, en y regardant de près, les secondes differences renfermées dans la supposition des Anciens, quoiqu'ils n'y fissent pas de reflexion, & qu'ils n'en eussent pas besoin dans leurs démonstrations. Car dans l'exemple qu'on a pris d'eux fur le polygone inscrit dans le cercle, qui devoit avoir tant de côtés que la difference de l'aire du polygone inscrit dans le cercle , fût plus petite que toute grandeur finie & déterminée ; il est évident qu'il falloit qu'ils conçusfent celui des polygones inscrits, qui étoit', pour ainsi dire, le dernier, comme ayant un nombre infini de côtés ; autrement la difference de son aire d'avec le cercle eût été finie & déterminée, ce qui auroit détruit leur fuppofition : Or l'on conçoit distinctement que la difference de l'aire de ce dernier polygone d'avec le cercle, moindre, par la supposition, qu'aucune grandeur finie, étoit compofée du nombre infini des petits segments de cercle, dont les petits côtés du polygone étoient les cordes : C'est pourquoi ces petits segments étoient justement ce qu'on appelle des secondes differences dans les nouveaux calculs, puisqu'il y en avoit une infinité pour faire une premiere difference, qui étoit celle de l'aire du polygone inscric d'avec l'aire du cercle.

Aprés avoir établi la supposition des parties des grandeurs plus petites qu'aucune grandeur finie, on donne les expres. lions de ces petites parties qu'on nomme differences ou differentielles. L'on a pris les expressions de M' Leibnits comme moins capables de causer des méprises dans les calculs & dans l'impression, & parcequ'elles soulagent davantage l'i. magination : On met ensuite le calcul des premieres differences, des secondes differences, des troisièmes, &c. C'est ce qu'on nomme le calcul differentiel.

On explique dans les trois Sections suivantes l'usage de l'Analyse en se servant du calcul differentiel. Mais comme l'on s'est proposé d'être court dans ce Volume des Usages de l'Analyse, & d'y apprendre cependant à fond aux commençants la maniere de découvrir les principales proprietés de coutes les courbes ; on a réduit à des formules generales les Problêmes qui les font trouver. Ces Problêmes sont de deux sortes ; la resolucion complete des uns dépend du seul calcul differentiel ; la resolution des autres se commence par le calcul differentiel, & s'acheve par le calcul integral. On fait découvrir aux Lecteurs dans la seconde Section les formules pour

resoudre les Problèmes qui ne dépendent que du calcul differentiel, comme les formules pour trouver les tangentes, les soutangentes, les perpendiculaires, les souperpendiculaires de toutes les courbes , & les autres lignes qui ont rapport à celles qu'on vient de nommer; les formules pour trouver les ordonnées & les coupées des points des courbes où l'es tangentes de ces points sont paralleles aux coordonnées, ce qui comprend la resolution des Problèmes sur les quantités qu'on nomme les plus grandes & les moindres ; les formules pour découvrir dans les courbes qui font en partie concaves, & en partie convexes, les points qui separent ces parties, qu'on nomme les points d'inflexion ; & dans les courbes qui rebroussent leur chemin, les points de rebrouffement. Enfin les formules pour trouver les developées de toutes fortes de courbes. Ces courbes developées fervent à former les courbes dont elles sont les developées, par le developement insensible d'un fil qu'on conçoit les enveloper. L'extrémité de ce fil, à mesure qu'il se develope, décrit les cour.

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