: décrite la premiere, elles seront les valeurs geometriques de l'inconnue de la troisiéme équation, si cette inconnue est celle des ordonnées; les coupées qui se terminent à ces ordonnées feront les valeurs geometriques de l'inconnue de la troifiéme équation, si c'est l'inconnue des coupées qui y foit demeurée. Ce principe répand une lumiere sur la methode que donne l'Analyse pour trouver les équations des lignes geometriques, qui prises deux à deux font propres à construire telle équation déterminée qu'on voudra; & pour joindre ensemble ces deux lignes geometriques d'une maniere propre à les faire couper dans les points qui auront pour ordonnées ou pour coupées les lignes qui font les valeurs geometriques de l'inconnue de cette équation déterminée; il répand, dis-je, une lumiere sur cette methode qui la rend claire aux commençants, quoiqu'elle soit tres courte. On prend pour exemple la construction de toutes les équations du troifiéme & du quatriéme degré, & l'on fait voir la maniere de l'executer par l'union d'une parabole donnée & du cercle; & encore par l'union d'une hyperbole donnée entre les afymptotes dont l'angle est aigu ou obtus, & du cercle. On a mis cette derniere maniere de construire tou. tes les équations du troifiéme & du quatriéme degré, parcequ'elle renferme quelques difficultés qui auroient pû embaraffer les commençants. On pourra encore remarquer en cet endroit l'exacte convenance de l'Analyse & de la Geometrie. Il y a autant d'interfections des deux lignes geometriques employées à conftruire l'équation, qu'il y a de valeurs analytiques de l'inconnue de cette équation. Quand toutes les valeurs que fournit l'Analyse sont positives & differentes, les lignes qui en font les valeurs geometriques sont toutes differentes, & du côté des lignes positives. Lorsque l'Analyse donne des valeurs négatives, les valeurs geometriques font du côté des lignes négatives. Quand le second terme de l'équation est évanoui, la somme des valeurs négatives que donne l'Analyse est égale à celle des positives; l'on trouve aufli dans la construction geometrique, que la fomme des lignes du côté des grandeurs négatives est égale à celle des lignes qui font du côté des positives. S'il y a des valeurs analytiques égales, l'on trouve autant d'interfections des lignes geometriques qui se réunissent ensemble. Enfin dans les cas où l'Analyse trouve des valeurs impossibles, les lignes geometriques employées à la construction ne se coupent ni ne se touchent point du côté que devroient être les valeurs geometriques correspondantes. On explique à la fin de la même quatriéme Section quel. ques usages des courbes pour la resolution des Problêmes Physico - mathematiques. On fait voir que les traces des bombes jettées à toutes les inclinaisons possibles du mortier, sont des paraboles. On tire d'ordinaire des proprietés de la parabole la resolution des Problêmes de l'art de jetter les bombes: mais comme l'on a resolu ces Problêmes dans la seconde Section sans se servir de la parabole, on donne la resolution de deux autres Problêmes sur toutes les paraboles que peut décrire une bombe jettée par une même force de poudre à toutes les differentes inclinaisons qu'on peut donner au mortier. On fait voir aussi dans la même Section que l'ellipfe & l'hyperbole font les figures qu'il faut donner aux verres, afin que les rayons qui y entrent paralleles à l'axe foient disposés, par les refractions qu'ils souffrent en passant de l'air dans les verres, ou des verres dans l'air, à se réunir dans un point donné. Enfin on fait découvrir par l'Analyse, que la cycloïde est la courbe que le centre de pesanteur d'un pendule simple, ou le centre d'ofcillation d'un pendule composé doit décrire, afin que ses vibrations grandes ou petites soient toutes d'une égale durée: ce qui fait concevoir qu'un tel pendule est ce qu'il y a de plus propre à moderer le mouvement des horloges, & à les rendre la mesure exacte du temps. : Sur le calcul differentiel, & fur l'usage de l'Analyse en se servant de ce calcul. n'est N fait remarquer dans la premiere Section, que ce point une chose nouvelle dans la Geometrie que de confiderer des parties de grandeur d'une fi extrême petitesse, qu'on ne peut les faire entrer en comparaison avec les gran. deurs ordinaires que l'on peut déterminer. Les plus anciens Geometres, comme on le voit dans le douziéme Livre d'Euclide, & dans les Ouvrages d'Archimede, ont pris ces parties infiniment petites pour principe de quelques - unes de leurs démonstrations. Car pour démontrer, par exemple, que deux cercles sont entr'eux comme les quarrés de leurs diametres, & deux circonferences comme leurs diametres; ils ont suppose qu'on pouvoit concevoir dans l'un & l'autre de ces cercles deux polygones semblables inscrits, ou deux polygones semblables qui leur fussent circonfcrits, dont les côtés fussent d'une telle petitesse, que la difference des polygones inscrits ou circonfcrits d'avec leurs cercles fût moindre qu'aucune grandeur finie & déterminée, quelque petite que pût être cette grandeur. Or ces polygones étant entr'eux comme les quarrés des diametres des cercles, & leurs circuits comme ces mêmes diametres, la supposition qu'ils avoient faite leur faifoit conclure que les cercles & les circonferences avoient le même raport que les aires & que les circuits de ces polygones. Ce n'a donc point été de nos jours une nouvelle découverte que d'employer dans la Geometrie ces parties des grandeurs entieres, si petites qu'elles n'ont aucun raport fini avec elles. Ce que les illustres Auteurs du calcul differentiel & integral ont ajouté à cette supposition que les Anciens ont prise de la nature, n'a été que de donner des expressions convenables à ces petites parties qui font les premiers élements des grandeurs; & de trouver un calcul qui leur fût rellement propre, qu'on pût leur appliquer les methodes de l'Analyse, & qu'on pût remonter de ces parties infiniment petites aux grandeurs entieres ou integrales dont elles sont les premiers élements. Le fondement du calcul differentiel eft commun aux anciens & aux nouveaux Geometres. La certitude des démonstrations posées sur ce fondement est la même. La maniere même d'employer, dans les démonstrations & dans les resolutions des Problêmes, ces parties des grandeurs plus petites que toute grandeur qu'on peut déterminer, eft commune aux uns & aux autres. Car comme les Anciens ne supposoient cette difference infiniment petite entre le cercle & le polygone d'une infinité de côtés qui lui étoit inscrit ou circonfcrit, que pour faire leur démonstra 1 tion; qu'ils ne la concevoient subsistante que pendant la demonstration; & qu'au moment qu'ils l'avoient faite, ils regardoient cette difference.comme devenant nulle, & que le polygone infcrit ou circonfcrit, qui étoit pour ainsi dire l'infinitiéme, ne differoit en rien du cercle: Les nouveaux Geometres n'employent aussi les mêmes differences infiniment petites que pendant la resolution des Problêmes; ils ne les conçoivent réelles & subsistantes que pendant leur calcul; & au moment qu'il leur a donné la resolution, ils supposent que les differences s'évanouissent & deviennent nulles, & que les grandeurs qu'ils supposoient ne differer des grandeurs entieres qu'ils cherchoient que par des differences infiniment petites, n'en different point du tout. La certitude du calcul differentiel doit donc être au même degré que celle des démonftrations des anciens Geometres qui avoient le même principe, & qui ont été reçues de tout le monde. La seule difference est que les Anciens ne faifoient fur ce principe que des démonstrations qu'on appelle per abfurdum, & que les nouveaux calculs démontrent tout directement. On apperçoit même distinctement, en y regardant de près, les fecondes differences renfermées dans la supposition des Anciens, quoiqu'ils n'y fissent pas de reflexion, & qu'ils n'en eussent pas besoin dans leurs demonstrations. Car dans l'exemple qu'on a pris d'eux fur le polygone infcrit dans le cercle, qui devoit avoir tant de côtés que la difference de l'aire du polygone inscrit dans le cercle, fût plus petite que toute grandeur finie & déterminée; il est évident qu'il falloit qu'ils conçuffent celui des polygones inscrits, qui étoit, pour ainsi dire, le dernier, comme ayant un nombre infini de côtés ; autrement la difference de son aire d'avec le cercle eût été finie & déterminée, ce qui auroit détruit leur fuppofition: Or l'on conçoit distinctement que la difference de l'aire de ce dernier polygone d'avec le cercle, moindre, par la supposition, qu'aucune grandeur finie, étoit compofée du nombre infini des petits fegments de cercle, dont les petits côtés du polygone étoient les cordes: C'est pourquoi ces petits segments étoient justement ce qu'on appelle des fecondes differences dans les nouveaux calculs, puisqu'il y en avoit une infinité pour faire une premiere dif ference, qui étoit celle de l'aire du polygone inscrit d'avec l'aire du cercle. Aprés avoir établi la supposition des parties des grandeurs plus petites qu'aucune grandeur finie, on donne les exprefsions de ces petites parties qu'on nomme differences ou differentielles. L'on a pris les expressions de M' Leibnits comme moins capables de causer des méprises dans les calculs & dans l'impression, & parcequ'elles foulagent davantage l'imagination: On met ensuite le calcul des premieres differences, des secondes differences, des troisièmes, &c. C'est ce qu'on nomme le calcul differentiel. On explique dans les trois Sections suivantes l'usage de l'Analyse en se servant du calcul differentiel. Mais comme l'on s'est propose d'être court dans ce Volume des Usages de l'Analyse, & d'y apprendre cependant à fond aux commençants la maniere de découvrir les principales proprietés de toutes les courbes; on a réduit à des formules generales les Problêmes qui les font trouver. Ces Problêmes sont de deux fortes; la resolution complete des uns dépend du seul calcul differentiel; la resolution des autres se commence par le calcul differentiel, & s'acheve par le calcul integral. On fait découvrir aux Lecteurs dans la seconde Section les formules pour refoudre les Problêmes qui ne dépendent que du calcul differentiel, comme les formules pour trouver les tangentes, les foutangentes, les perpendiculaires, les fouperpendiculaires de toutes les courbes, & les autres lignes qui ont rapport à celles qu'on vient de nommer; les formules pour trouver les ordonnées & les coupées des points des courbes où les tangentes de ces points font paralleles aux coordonnées, ce qui comprend la resolution des Problêmes sur les quantités qu'on nomme les plus grandes & les moindres les formules pour découvrir dans les courbes qui font en partie concaves, & en partie convexes, les points qui separent ces parties, qu'on nomme les points d'inflexion; & dans les courbes qui rebroussent leur chemin, les points de rebrouffement. Enfin les formules pour trouver les developées de toutes fortes de courbes. Ces courbes developées servent à former les courbes dont elles font les developées, par le developement insensible d'un fil qu'on conçoit les enveloper. L'extrémité de ce fil, à mesure qu'il se develope, décrit les cour : |