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décrite la premiere, elles feront les valeurs geometriques de l'inconnue de la troifiéme équation, fi cette inconnue est celle des ordonnées; les coupées qui fe terminent à ces ordonnées feront les valeurs geometriques de l'inconnue de la troifiéme équation, fi c'est l'inconnue des coupées qui y foit demeurée. Ce principe répand une lumiere fur la me thode que donne l'Analyse pour trouver les équations des lignes geometriques, qui prifes deux à deux font propres conftruire telle équation déterminée qu'on voudra; & pour joindre enfemble ces deux lignes geometriques d'une maniere propre à les faire couper dans les points qui auront pour ordonnées ou pour coupées les lignes qui font les valeurs geometriques de l'inconnue de cette équation déterminée; il répand, dis-je, une lumiere fur cette methode qui la rend claire aux commençants, quoiqu'elle foit tres courte. On prend pour exemple la conftruction de toutes les équations du troifiéme & du quatrième degré, & l'on fait voir la maniere de l'executer par l'union d'une parabole donnée & du cercle; & encore par l'union d'une hyperbole donnée entre les afymptotes dont l'angle eft aigu ou obtus, & du cercle. On a mis cette derniere maniere de conftruire toutes les équations du troifiéme & du quatrième degré, parcequ'elle renferme quelques difficultés qui auroient pû êmbaraffer les commençants.

que

On pourra encore remarquer en cet endroit l'exacte convenance de l'Analyse & de la Geometrie. Il y a autant d'interfections des deux lignes geometriques employées à conftruire l'équation, qu'il y a de valeurs analytiques de l'inconnue de cette équation. Quand toutes les valeurs 'fournit l'Analyfe font pofitives & differentes, les lignes qui en font les valeurs geometriques font toutes differentes, & du côté des lignes. pofitives. Lorfque l'Analyfe donne des valeurs négatives, les valeurs geometriques font du côté des lignes négatives. Quand le fecond terme de l'équation eft évanoui, la fomme des valeurs négatives que donne l'Analyse est égale à celle des positives; l'on trouve aussi dans la construction geometrique, que la fomme des lignes du côté des grandeurs négatives eft égale à celle des lignes qui font du côté des pofitives. S'il y a des valeurs analytiques égales, l'on trouve autant d'interfections des lignes

geometriques qui fe réuniffent ensemble. Enfin dans les cas où l'Analyse trouve des valeurs impoffibles, les lignes geometriques employées à la construction ne fe coupent ni ne fe se touchent point du côté que devroient être les valeurs geometriques correfpondantes.

On explique à la fin de la même quatrième Section quelques ufages des courbes pour la refolution des Problêmes Phyfico-mathematiques. On fait voir que les traces des bombes jettées à toutes les inclinaifons poffibles du mortier, font des paraboles. On tire d'ordinaire des proprietés de la parabole la refolution des Problêmes de l'art de jetter les bombes mais comme l'on a refolu ces Problêmes dans la seconde Section fans fe fervir de la parabole, on donne la resolution de deux autres Problêmes fur toutes les paraboles que peut décrire une bombe jettée par une même force de poudre à toutes les differentes inclinaifons qu'on peut donner au mortier. On fait voir auffi dans la même Section que l'ellipfe & l'hyperbole font les figures qu'il faut donner aux verres, afin que les rayons qui y entrent paralleles à l'axe foient difpofés, par les refractions qu'ils fouffrent en passant de l'air dans les verres, ou des verres dans l'air, à se réunir dans un point donné. Enfin on fait découvrir par le centre de l'Analyse, que la cycloïde eft la courbe pefanteur d'un pendule fimple, ou le centre d'ofcillation ses vibrations d'un pendule compofé doit décrire, afin grandes ou petites foient toutes d'une égale durée : ce qui fait concevoir qu'un tel pendule eft ce qu'il y a de plus propre à moderer le mouvement des horloges, & à les rendre la mefure exacte du temps.

que

que

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Sur le calcul differentiel, & fur l'ufage de l'Analyse en fe fervant de ce calcul.

O

que

de

N fait remarquer dans la premiere Section, que ce n'est point une chofe nouvelle dans la Geometrie confiderer des parties de grandeur d'une fi extrême petitesse, qu'on ne peut les faire entrer en comparaison avec les gran

deurs ordinaires que l'on peut déterminer. Les plus anciens Geometres, comme on le voit dans le douzième Livre d'Euclide, & dans les Ouvrages d'Archimede, ont pris ces parties infiniment petites pour principe de quelques-unes de leurs démonftrations. Car pour démontrer, par exemple, que deux cercles font entr'eux comme les quarrés de leurs diametres, & deux circonferences comme leurs diametres; ils ont fuppofé qu'on pouvoit concevoir dans l'un & l'autre de ces cercles deux polygones femblables infcrits, ou deux polygones femblables qui leur fuffent circonfcrits, dont les côtés fuffent d'une telle petiteffe, que la difference des polyinfcrits ou circonfcrits d'avec leurs cercles fût moingones dre qu'aucune grandeur finie & déterminée, quelque petite que pût être cette grandeur. Orces polygones étant entr'eux comme les quarrés des diametres des cercles, & leurs circuits comme ces mêmes diametres, la fuppofition qu'ils avoient faite leur faifoit conclure que les cercles & les circonferences avoient le même raport que les aires & que les circuits de ces polygones.

Ce n'a donc point été de nos jours une nouvelle découverte que d'employer dans la Geometrie ces parties des grandeurs entieres, fi petites qu'elles n'ont aucun raport fini avec elles. Ce que les illuftres Auteurs du calcul differentiel & integral ont ajouté à cette fuppofition que les Anciens ont prife de la nature, n'a été que de donner des expreffions convenables à ces petites parties qui font les premiers élements des grandeurs ; & de trouver un calcul qui leur fût rellement propre, qu'on pût leur appliquer les methodes de l'Analyfe, & qu'on pût remonter de ces parties infiniment petites aux grandeurs entieres ou integrales dont elles font les premiers élements. Le fondement du calcul differentiel eft commun aux anciens & aux nouveaux Geometres. La certitude des démonstrations posées fur ce fondement est la même. La maniere même d'employer, dans les démonstrations & dans les refolutions des Problêmes, ces parties des grandeurs plus petites que toute grandeur qu'on peut déterminer, eft commune aux uns & aux autres. Car comme les Anciens ne fuppofoient cette difference infiniment petite entre le cercle & le polygone d'une infinité de côtés qui lui étoit infcrit ou circonfcrit, que pour faire leur démonftra

tion; qu'ils ne la concevoient fubfiftante que pendant la démonstration, & qu'au moment qu'ils l'avoient faite, ils regardoient cette difference.comme devenant nulle, & que le polygone infcrit ou circonfcrit, qui étoit pour ainfi dire l'infinitiéme, ne differoit en rien du cercle: Les nouveaux Geometres n'employent auffi les mêmes differences infiniment petites que pendant la refolution des Problêmes; ils ne les conçoivent réelles & fubfiftantes que pendant leur calcul; & au moment qu'il leur a donné la refolution, ils fuppofent que les differences s'évanouiffent & deviennent nulles, & que les grandeurs qu'ils fuppofoient ne differer des grandeurs entieres qu'ils cherchoient que par des differences infiniment petites, n'en different point du tout. La certitude du calcul differentiel doit donc être au même degré que celle des démonftrations des anciens Geometres qui avoient le même principe, & qui ont été reçues de tout le monde. La feule difference eft que les Anciens ne faifoient fur ce principe que des démonstrations qu'on appelle per abfurdum, & que les nouveaux calculs démontrent tout directement.

On apperçoit même distinctement, en y regardant de près, les fecondes differences renfermées dans la fuppofition des Anciens, quoiqu'ils n'y fiffent pas de reflexion, & qu'ils n'en euffent pas befoin dans leurs démonstrations. Car dans l'exemple qu'on a pris d'eux fur le polygone infcrit dans le cercle, qui devoit avoir tant de côtés que la difference de l'aire du polygone infcrit dans le cercle, fût plus petite que toute grandeur finie & déterminée; il est évident qu'il falloit qu'ils conçuffent celui des polygones infcrits, qui étoit, pour ainfi dire, le dernier, comme ayant un nombre infini de côtés; autrement la difference de fon aire d'avec le cercle eût été finie & déterminée, ce qui auroit détruit leur fuppofition: Or l'on conçoit diftinctement que la difference de l'aire de ce dernier polygone d'avec le cercle, moindre, par la fuppofition, qu'aucune grandeur finie, étoit compofée du nombre infini des petits fegments de cercle, dont les petits côtés du polygone étoient les cordes: C'est pourquoi ces petits fegments étoient justement ce qu'on appelle des fecondes differences dans les nouveaux calculs, puifqu'il y en avoit une infinité pour faire une premiere dif

ference, qui étoit celle de l'aire du polygone inscrit d'avec l'aire du cercle.

Aprés avoir établi la fuppofition des parties des grandeurs plus petites qu'aucune grandeur finie, on donne les expreffions de ces petites parties qu'on nomme differences ou differentielles. L'on a pris les expreffions de M' Leibnits comme moins capables de caufer des méprifes dans les calculs & dans l'impreffion, & parcequ'elles foulagent davantage l'imagination: On met enfuite le calcul des premieres differences, des fecondes differences, des troifiémes, &c. C'est ce qu'on nomme le calcul differentiel.

On explique dans les trois Sections fuivantes l'ufage de l'Analyfe en fe fervant du calcul differentiel. Mais comme l'on s'eft propofé d'être court dans ce Volume des Usages de l'Analyse, & d'y apprendre cependant à fond aux commençants la maniere de découvrir les principales proprietés de toutes les courbes; on a réduit à des formules generales les Problêmes qui les font trouver. Ces Problêmes font de deux fortes; la refolution complete des uns dépend du feul calcul differentiel; la refolution des autres fe commence par le calcul differentiel, & s'acheve par le calcul integral. On fait découvrir aux Lecteurs dans la feconde Section les formules pour refoudre les Problêmes qui ne dépendent que du calcul differentiel, comme les formules pour trouver les tangentes, les foutangentes, les perpendiculaires, les fouperpendiculaires de toutes les courbes, & les autres lignes qui ont rapport à celles qu'on vient de nommer; les formules pour trouver les ordonnées & les coupées des points des courbes où les tangentes de ces points font paralleles aux coordonnées, ce qui comprend la refolution des Problêmes fur les quantités qu'on nomme les plus grandes & les moindres 3 les formules pour découvrir dans les courbes qui font en partie concaves, & en partie convexes, les points qui feparent ces parties, qu'on nomme les points d'inflexion; & dans les courbes qui rebrouffent leur chemin, les points de rebrouf fement. Enfin les formules pour trouver les developées de toutes fortes de courbes. Ces courbes developées fervent à former les courbes dont elles font les developées, par le developement infenfible d'un fil qu'on conçoit les enveloper. L'extrémité de ce fil, à mesure qu'il fe develope, décrit les cour.

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