bes dont elles sont les developées. Elles sont devenues de grand usage dans la Geometrie composée & dans la resolu. tion des Problèmes Physico-mathematiques depuis que M. Hugens en a fait la découverte. On donne des exemples pour apprendre aux commençants la maniere de se servir de toutes ces formules, & pour resoudre par leur moyen les Problèmes des courbes particulieres dont ces formules expriment la resolution generale,

On fait de même découvrir aux Lecteurs dans la troifié. me Section les formules generales pour refoudre les principaux Problêmes sur toute forte de courbes, dont la resolution se commence par le calcul differentiel, & s'acheve

par le calcul integral ; comme les formules de la rectificacion des courbes, c'est à dire, pour en trouver la longueur ; celles qui servent à mesurer leurs aires, qu'on appelle leur quadra ture; celles dont on tire la mesure des corps solides formés par la révolution des courbes autour d'une ligne droite prise pour axe fur le même plan; celles qui font connoître la me- . lure des surfaces courbes de ces solides; enfin celles qui font découvrir les centres de pesanteur des courbes, de leurs surfaces, des solides qui en peuvent être formés, & des surfaces courbes de ces folides. On fait voir aussi la maniere d'appliquer ces formules à l'usage par des exemples particuliers. Onaeu soin de mettre parmi ces exemples les differentielles particulieres de la rectification & de la quadrature des Sections coniques, qu'on appelle les élemens de leur rectification ou de leur quadrature, afin de s'en servir dans la troisiéme

; Partie

pour

faire concevoir clairement les methodes qu'on y doit donner pour trouver , dans les cas où les methodes du calcul integral ne donnent pas les integrales exactes de quelques differentielles, pour trouver, dis-je, dans ces cas les integrales finies de ces differentielles, en les réduisant à la rectification ou à la quadrature des Sections coniques.

Les Methodes qu’on a expliquées au long dans le septiéme Livre, font mises en usage dans la quatrième Section pour exprimer par des faites infinies les integrales des différentielles dont les Regles du calcul integral ne donnent pas les integrales exactes & finies. On auroit pu en donner une infinité d'exemples; mais on a choisi ceux qui suffisoient pour apprendre aux commençants à s'en former eux-mêmes tant

qu'il leur plaira, fans trouver d'autre peine dans l'application des Methodes, que celle du calcul , & qui pouvoient en même temps les instruire de choses necessaires dans la Geometrie & dans les Parties Pratiques des Mathematiques. Un de ces exemples sur la rectification des arcs de cercle, fait découvrir une formule generale pour trouver, avec la corde ou le sinus d'un arc donné, la corde ou le sinus de tel autre arc qu'on voudra ; cette formule peut suffire

pour faire

par de simples substitutions les tables des sinus; & les Lecteurs peuvent trouver des formules semblables pour faire les tables des. tangenres & des secantes. Un autre exemple sur la quadrature de l'hyperbole équilatere par raport aux asymptotes fait découvrir une formule pour faire, par de fimples substitutions, une table des logarithmes hyperboliques. L'on y explique ces logarithmes, la maniere de les reduire aux logarithmes ordinaires, & la maniere de trouver une formule, avec laquelle on puisse , par le moyen d'un logarithme donné, avoir le nombre dont il est le logarithme. On explique de plus les logarithmes des lignes. On verra dans la troisiéme Section de la troisiéme Partie, qu'ils font d'usage dans la Geometrie composée. Enfin on fait voir que les mêmes methodes ne fervent pas seulement à trouver les suites qui font les integrales des elements des courbes, de leur quadrature, des surfaces courbes, & des folides formés par la revolution des courbes ; mais aussi les suites qui sont les valeurs connues des lettres inconnues qui entrent ou qu'on peur faire entrer dans ces élemens. On a mis pour exemple le Problême qui fait découvrir une formule pour trouver, par le moyen d'un secteur quelconque d'ellipse, dont le sommet est à l'un des foyers, & done l'un des côtés est sur l'axe, l'ordonnée de l'arc de l’ellipse qui est la base du secteur. Cette formule donne la refolurion directe du Problême astronomique que Kepler proposa à tous les Geometres de son temps, & dont il ne put trouver qu’une resolution indirecte. Ce fameux Astronome, qui est à present fort suivi des Sçavants, suppose que les Planetes décrivent des ellipses par leurs mouvemens propres, & il le prouve en particulier de Mars par le moyen des observations. Il suppose que le

temps moyen d'une revolution entiere doit le melurer par l'aire entiere de l’ellipfe, qu'on

* * *

peut concevoir divisée en 360 secteurs égaux, lesquels pris de suite mesurent le temps moyen des parties de la revolu. tion entiere ; il nomme anomalie moyenne chaque somme de ces secteurs prise de suite depuis l'axe d'où il comptoit ces sommes; il lui falloir, pour chacune de ces sommes, ou pour chaque anomalie moyenne, trouver l'angle que formoienc au foyer les deux côtés du secteur qui comprenoit chacune de ces sommes, il appelloit cet angle l'anomalie veritable ; c'est à dire, qu'il lui falloit trouver pour chaque lieu moyen de la planete , le vrai lieu de cette planete. La formule dont on vient de parler, sert à découvrir les deux côtés du triangle rectangle, dont l'angle, qui est l'anomalie veritable, est l'un des angles aigus : ainli elle fait trouver la resolution de ce Problême, qui peut servir pour les tables astronomi- . ques.

TROISTÉME PARTI E. Sur l'usage de l'Analyse pour découvrir les regles du calcul

integral, ego fur l'usage que l'Analyse fait

de ces regles.

,

A methode de retourner des differentielles aux gran.

deurs entieres, qu'on appelle integrales, dont elles sont les differentielles, est ce qu'on nomme le calcul integral. Ainsi les principes fondamentaux de ce calcul dependent du calcul differentiel. On établie dans la premiere Section trois propositions fondamentales du calcul integral, qui font des suites necessaires du calcul differentiel; & l'on en déduit , par le moyen de l'Analyse, les regles du calcul in

. regral pour trouver les integrales exactes des differentielles qui leur font soumises. La premiere & la plus feconde de ces propositions est pour découvrir les integrales des differentielles qui n'ont qu'une même changeante. On enseigne aux commençants dans les Corollaires de cette proposition, la maniere de trouver les integrales des differentielles les moins composées , & de toutes les grandeurs complexes, ( dont les termes sont distingués par les differentes puissances d'une même changeante,) élevées à une puissance quel.

conque dont l'exposant est un nombre entier positif. On leur fait remarquer qu'une integrale quia un terme constant, c'est à dire sans changeante, donne la même differentielle que si elle n'en avoit pas ; & qu'à cause de cela une même differentielle peut avoir pour integrale la grandeur changeante dont elle est déduire , augmentée ou diminuée de telle grandeur constance qu'on voudra. Ainsi l'on a besoin de la regle , qu'on explique dans cette premiere Section, pour s'assurer dans la resolution des Problèmes particuliers, fi l'integrale qu'on trouve est complete , ou s'il lui manque une grandeur constante; & pour trouver,

dans ce dernier cas, la grandeur constante qu'il faut lui ajouter ou en ôter, pour la rendre complete.

Aprés avoir apris la maniere de trouver les integrales dans les cas particuliers les plus faciles, en les reduisant à la premiere proposition, l'on donne des methodes generales qui conviennent aux differentielles les plus composées; Ec comme les principales difficultés sont sur les differentielles qui sont composées de grandeurs complexes, c'est à dire qui ont plusieurs termes, élevées à des puissances dont les exposants font des nombres rompus, ou des nombres négatifs, on rapporte toutes ces fortes de differentielles à des formules generales, qu'on nomme binomes, quand la grandeur complexe n'a que deux termes; trinomes, quand elle en a trois , & ainsi de suite. On enseigne à reduire les differentielles particulieres aux generales, & l'on donne trois niechodes qui font découvrir des formules generales des integrales de ces differentielles. La premiere n'est qu'un usage de la cable de la page 410, pour mettre les differen. tielles les plus composées en état d'y appliquer la premiere proposition fondamentale : Cette premiere methode est facile à concevoir ; cependant les commençants peuvent la passer dans les premieres lectures de cet ouvrage, à cause de la longueur du calcul, & s'attacher à la seconde methode: Elle donne non seulement tous les termes des formules generales qui servent à trouver les integrales exactes des differentielles qui leur sont soumises, mais encore les termes qui servent à trouver les integrales finies des differentielles qui n'en peuvent avoir d'exactes par les seuls termes des formules qui les donnent exactes; & cela par la supposition

;

* ** ij

des rectifications ou des quadratures des Sections coniques,
ou du moins de celles des courbes plus simples que ne sont
les courbes à qui appartiennent les differentielles dont on
cherche les integrales finies. On applique d'abord cette
seconde methode aux differentielles binomes; on l'étend
ensuite aux trinomes, & les Lecteurs pourront l'étendre de
suite aux differentielles plus composées. La troisiéme me-
thode fait découvrir une formule generale pour trouver les
integrales des differentielles complexes, qui ayent un tel
nombre de termes qu'on voudra; elle en fait même décou-
vrir
pour

les differentielles complexes multipliées les unes par

les autres. On donne deux manieres de trouver ces formules generales, qui sont toutes deux utiles. Les formules que cette croisiéme methode fait découvrir conviennent aux differentielles binonies, trinomes , &c. en supposant égaux à zero les termes de ces formules qui sont inutiles à ces differentielles. On fait voir la maniere d'appliquer ces formules aux differentielles particulieres.

On a mis vers la fin de la premiere Section les deux autres propositions fondamentales du calcul integral ; l'une n'est que pour les differentielles qui font un membre d'une équation dont zero est le second membre; l'autre est pour trouver les integrales des differentielles qui ont plusieurs changeantes multipliées les unes par les autres; on donne des moyens pour reduire à cette proposition les differentielles qui peuvent s'y rapporter ; mais comme il y en a un grand nombre qu'on n'y peut pas reduire, du moins facilement, on donne des moyens particuliers (car on n'a pas encore découvert de methode generale ) pour separer les changeantes dans les differentielles qui en ont plusieurs multipliées les unes par les autres, afin de les rapporter aux me

, thodes des differentielles qui n'ont qu'une seule changeante.

Enfin on érend, à la fin de la premiere Section, aux secondes differences, aux troisiémes, &c. les methodes qu'on a données pour trouver les integrales des premieres differences, Il

y a un grand nombre de differentielles dont on ne peut pas trouver les integrales exactes par les mechodes de la premiere Section. On peut bien trouver des faites infinies