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qui en foient les integrales; mais on aime mieux les avoir en termes finis: C'est ce qui a fait chercher des methodes pour avoir les integrales finies de ces differentielles en fuppofant les rectifications ou la quadrature des courbes plus fimples que ne font celles aufquelles fe rapportent ces differentielles; Et il y en a un grand nombre dont on peut avoir les integrales en termes finis, en fuppofant les rectifications ou les quadratures des feules Sections coniques. On a mis dans la feconde Section les Problêmes qui font découvrir ces integrales en termes finis. Le premier ne donne rien de plus que les formules de la feconde methode de la premiere Section, on n'a pas laiffé de le mettre pour faire voir comment on arrive au même but par differentes voyes. Le troifiéme Problême, qui enseigne à transformer les differentielles & les courbes en d'autres differentielles & en d'autres courbes dont les integrales & les aires foient égales, eft de grand ufage pour changer les differentielles complexes où les puiffances des changeantes font fort élevées en d'autres plus fimples, & pour changer de même des courbes d'un genre fort élevé en d'autres plus fimples, & même pour les reduire aux Sections coniques, de maniere que les aires de ces courbes plus fimples foient égales aux aires des courbes plus compofées dont elles font les transformées : ce qui rend plus facile la découverte des integrales des differentielles fort compofées. On a mis auffi dans la feconde Section une methode particuliere pour avoir en termes finis, en fuppofant la quadrature du cercle ou de l'hyperbole équilatere, les integrales des differentielles que l'on y peut reduire. Enfin on donne dans le quatriéme Problême la methode de trouver les integrales des differentielles des courbes méchaniques, dont les ordonnées ou bien lès coupées font égales à des arcs de courbe, comme du cercle, de la parabole, &c. ou bien aux puiffances quelconques de ces arcs, en fuppofant la rectification de ces

arcs.

On explique dans la troifiéme Section le calcul differentiel & le calcul integral qui conviennent aux courbes dont les équations contiennent des expreflions logarithmiques, ou bien des expreffions exponentielles. Ces calculs donnent les moyens d'appliquer à ces fortes de courbes les formules de

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la feconde & troifiéme Section de la feconde Partie, pour trouver leurs tangentes, leurs perpendiculaires, les points où les tangentes font paralleles à leurs coordonnées, leurs points d'inflexion ou de rebrouffement, leurs developées, leurs rectifications, leurs quadratures, la mesure des folides formés par leur revolution autour d'une ligne droite, la mesure des surfaces courbes de ces folides, & les centres de pefanteur de ces courbes, de leurs furfaces, & des corps. formés par leur revolution: l'on en donne des Exemples, & l'on explique auffi la maniere de conftruire ces fortes de courbes par le moyen de la courbe logarithmique. Les deux dernieres Sections font fur l'ufage du calcul integral qui a été expliqué dans les trois premieres.

Les principaux ufages du calcul integral font de faire découvrir les rectifications des courbes, leurs quadratures, la mefure des folides formés par la revolution des courbes autour d'une ligne droite, la mesure des furfaces courbes de ces folides, & les centres de pefanteur de ces courbes de leurs aires, des folides qui en peuvent être formés, & des furfaces courbes de ces folides. On explique dans la quatriéme Section la methode generale pour refoudre ces Problêmes, qui ne confifte qu'en ceci : Il faut fubftituer dans les formules de ces Problêmes qu'on a données dans la troifiéme Section de la feconde Partie, les valeurs des lettres de ces formules prifes des équations particulieres des courbes aufquelles on veut les appliquer. Ĉes fubftitutions reduiront les formules à être les élements de la rectification de ces courbes ou de leur quadrature, &c. Il faut enfuite trouver, par les methodes qu'on a données dans les trois premieres Sections de cette troifiéme Partie, les integrales de ces élements; ces integrales exprimeront les rectifications qu'il falloit trouver, ou les quadratures, &c.

On applique cette methode à des Exemples dans la quatriéme Section; & pour être court, en faifant voir cependant aux commençants l'ufage des principales methodes qu'on a données pour trouver les integrales, on a mis un premier Exemple qui en contient une infinité. L'on y fait découvrir la rectification d'une infinité de courbes comprifes fous l'équation des paraboles de tous les degrés à l'infini. Avant la découverte des nouveaux calculs on avoir

regardé avec admiration l'invention de la rectification de la feconde parabole cubique qui eft à la fin du premier Volume de la Geometrie latine de M' Descartes; on verra dans ce premier Exemple que les nouveaux calculs font trouver la rectification d'un nombre infini de courbes. Les commençants pourront s'exercer à trouver eux-mêmes la rectification des courbes qu'il leur plaira de choisir dans l'ordre de celles qu'on démontre, dans ce premier Exemple, avoir des rectifications exactes; car ils n'auront qu'à prendre dans les équations des courbes qu'ils auront choifies, les valeurs des lettres de la formule qui contient en general toutes ces rectifications, & les fubftituer dans cette formule. On démontre dans le même Exemple qu'il y a un autre nombre infini de courbes comprises fous la même équation de toutes les paraboles, dont on peut trouver la rectification exprimée par un nombre fini de termes, en fuppofant celle de la parabole fimple; on donne la methode generale de trouver ces rectifications finies, & on l'applique à des exemples, afin qu'il ne reste plus que la feule peine du calcul à ceux qui voudront en faire eux-mêmes tant d'autres exemples qu'il leur plaira. Ils y verront l'ufage des formules de la feconde methode de la premiere Section, & du premier Problême de la feconde Section, & que ces deux méthodes donnent les mêmes refolutions.

Pour faire voir la maniere de trouver les quadratures des courbes, on a choifi un Exemple, où il faut feparer les changeantes qui font multipliées l'une par l'autre dans l'équation de la courbe de cet Exemple; & il eft en même temps tres propre à faire remarquer le jufte raport de l'Analyse à la Geometrie compofée. Car l'équation de la courbe eft du troifiéme degré, elle n'a point de fecond terme: Et en prenant l'une aprés l'autre toutes les valeurs déterminées pofitives & négatives que peut avoir la ligne des coupées, il ne refte plus d'inconnue dans l'équation que celle des ordonnées. Or en prenant fucceffivement les valeurs pofitives que peut avoir la ligne des coupées, on voit que l'inconnue a trois valeurs, deux pofitives, & la troifiéme négative qui est égale à la fomme des pofitives; ce qui fait connoître qu'il y a trois ordonnées; les deux pofitives forment fucceffivement chacune une branche de la courbe du côté des

ordonnées pofitives, & la négative forme une troifiéme branche de la courbe de l'autre côté, & l'ordonnée de cette troifiéme branche est toujours égale à la fomme des ordonnées correfpondantes des deux autres branches. Il y a une valeur pofitive de la coupée où les deux valeurs pofitives de l'ordonnée deviennent égales; ce qui fait voir que les deux branches formées par les deux ordonnées pofitives fe réuniffent au point où conviennent ces deux ordonnées égales, & l'ordonnée de la troifiéme branche eft double de chacune de ces ordonnées égales : fi l'on prend une valeur pofitive de la coupée qui furpaffe celle qui convient aux deux ordonnées pofitives égales, on trouve que les deux valeurs pofitives de l'inconnue font impoffibles, & qu'il ne refte que la feule valeur négative; ce qui fait voir que les deux branches que forment les ordonnées pofitives ne s'étendent pas plus loin du côté des coupées pofitives, mais que la branche que forme l'ordonnée négative continue fon chemin à l'infini. Quand on prend les valeurs négatives que peut avoir la coupée, on trouve toujours qu'il y a deux valeurs impoffibles de l'inconnue des ordonnées, & qu'il ne refte qu'une valeur réelle: Elle fert à former une branche de la courbe du côté des coupées négatives. On fait voir auffi dans le même Exemple la maniere de trouver les afymptotes de cette courbe, pour apprendre aux commençants comment ils doivent s'y prendre pour trouver les afymptotes des autres courbes qui peuvent en avoir.

La cinquiéme & derniere Section eft fur l'ufage que fait l'Analyse du calcul differentiel & du calcul integral pour trouver la nature des courbes, c'est à dire, pour trouver les équations qui en expriment les principales proprietés. La plufpart des Problêmes Phyfico-mathematiques fe reduisent à la recherche des courbes qui en donnent la refolution. On en a mis plufieurs Exemples vers la fin de cette derniere Section, & on les peut regarder comme en faifant une feconde partie. On explique dans la premiere Partie ce qu'on appelle la methode inverfe des tangentes : cette methode eft regardée comme l'un des grands avantages que la Geometrie compofée a retiré de la découverte des nouveaux calculs: voici ce qu'on entend par cette methode. On a donné dans la feconde Section de la feconde Partie la maniere de

trouver,

trouver, par le moyen de l'équation des courbes, leurs tangentes, foutangentes, perpendiculaires, fouperpendiculaires, & les autres lignes qui y ont raport; la maniere de retrouver les équations des courbes quand on en a les tangentes données, ou les foutangentes, ou les perpendiculaires, ou les fouperpendiculaires, &c. eft ce qu'on appelle la methode inverfe des tangentes. Cette methode étoit inconnue avant la découverte des nouveaux calculs; M' de Beaune propofa un Problême fur cette methode à M' Defcartes, qui fit bien connoître le befoin que l'on avoit de calculs differents de ceux de l'Algebre ordinaire pour refoudre ces fortes de Problêmes. On a donné quatorze Exemples de cette methode pour la rendre familiere; le Problême de M' de Beaune fait le quatorziéme; le premier, le fecond, le feptiéme, le huitième, le onzième & le treizième contiennent chacun une infinité d'autres Exemples; le douzième, le treizième & le quatorziéme ne faifant découvrir que des équations differentielles des courbes que l'on cherche, on donne la conftruction de ces courbes, pour apprendre aux commençants la maniere de conftruire les courbes dont on que des équations differentielles.

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On a mis dans la feconde partie de cette derniere Section fix Exemples Phyfico-mathematiques, pour faire voir l'ufage de l'Analyfe dans la refolution des Problêmes Phyficomathematiques en employant les nouveaux calculs. M' Defcartes, pour faire voir l'utilité de fes découvertes pour ces fortes de Problêmes, a mis dans le fecond Livre de fa Geometrie la conftruction des courbes dont il faut donner les figures aux verres, afin qu'ils raffemblent en un point donné les rayons qui partent d'un autre point donné, par le moyen des refractions de ces rayons à l'entrée ou au fortir de ces verres. Ces courbes, qui font devenues celebres parmi les Geometres, s'appellent les Ovales de M' Def cartes ; il a caché l'Analyfe qui lui a fait découvrir & conftruire ces ovales. On les a prifes pour le premier Exemple; y verra combien l'invention en eft facile par les nouveaux calculs; que les regles les plus fimples de ces calculs font trouver d'abord la conftrction de ces ovales; & que l'Analyfe fait découvrir par un calcul tres fimple & tres facile que ces ovales deviennent des ellipfes quand les rayons y

l'on

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