qui en soient les integrales; mais on aime mieux les avoir en termes finis: C'est ce qui a fait chercher des methodes pour avoir les integrales finies de ces differentielles en supposant les rectifications ou la quadrature des courbes plus simples que ne font celles ausquelles se rapportent ces differentielles; Et il y en a un grand nombre dont on peut avoir les integrales en termes finis, en supposant les rectifications ou les quadratures des seules Sections coniques. On a mis dans la seconde Section les Problêmes qui font découvrir ces integrales en termes finis. Le premier ne donne rien de plus que les formules de la seconde methode de la premiere Section; on n'a pas laissé de le mettre pour faire voir comment on arrive au même but par differentes voyes. Le troifiéme Problême, qui enseigne à transformer les differentielles & les courbes en d'autres differentielles & en d'autres courbes dont les integrales & les aires foient égales, est de grand usage pour changer les differentielles complexes où les puissances des changeantes font fort élevées en d'autres plus simples, & pour changer de même des courbes d'un genre fort élevé en d'autres plus simples, & même pour les reduire aux Sections coniques, de maniere que les aires de ces courbes plus simples foient égales aux aires des courbes plus composées dont elles font les transformées : ce qui rend plus facile la découverte des integrales des differentielles fort composées. On a mis aussi dans la seconde Section une methode particuliere pour avoir en termes finis, en supposant la quadrature du cercle ou de l'hyperbole équilatere, les integrales des differentielles que l'on y peut reduire. Enfin on donne dans le quatriéme Problême la methode de trouver les integrales des differentielles des courbes méchaniques, dont les ordonnées ou bien les coupées sont égales à des arcs de courbe, comme du cercle, de la parabole, &c. ou bien aux puissances quelconques de ces arcs, en supposant la rectification de ces arcs. On explique dans la troisiéme Section le calcul differentiel & le calcul integral qui conviennent aux courbes dont les équations contiennent des expressions logarithmiques, ou bien des expressions exponentielles. Ces calculs donnent les moyens d'appliquer à ces fortes de courbes les formules de *** iij : la seconde & troisiéme Section de la seconde Partie, pour trouver leurs tangentes, leurs perpendiculaires, les points où les tangentes font paralleles à leurs coordonnées, leurs points d'inflexion ou de rebroussement, leurs developées, leurs rectifications, leurs quadratures, la mesure des folides formés par leur revolution autour d'une ligne droite, la mesure des surfaces courbes de ces folides, & les centres de pesanteur de ces courbes, de leurs furfaces, & des corps formés par leur revolution: l'on en donne des Exemples, & l'on explique aussi la maniere de construire ces fortes de courbes par le moyen de la courbe logarithmique. Les deux dernieres Sections sont sur l'usage du calcul integral qui a été expliqué dans les trois premieres, Les principaux usages du calcul integral font de faire découvrir les rectifications des courbes, leurs quadratures, la mesure des solides formés par la revolution des courbes autour d'une ligne droite, la mesure des surfaces courbes de ces folides, & les centres de pesanteur de ces courbes, de leurs aires, des solides qui en peuvent être formés, & des surfaces courbes de ces folides. On explique dans la quatrième Section la methode generale pour resoudre ces Problêmes, qui ne confiste qu'en ceci: Il faut substituer dans les formules de ces Problêmes qu'on a données dans la troifiéme Section de la seconde Partie, les valeurs des lettres de ces formules prises des équations particulieres des courbes ausquelles on veut les appliquer. Ces substitutions reduiront les formules à être les élements de la rectification de ces courbes ou de leur quadrature, &c. Il faut ensuite trouver, par les methodes qu'on a données dans les trois premieres Sections de cette troifiéme Partie, les integrales de ces élements; ces integrales exprimeront les rectifications qu'il falloit trouver, ou les quadratures, &c. On applique cette methode à des Exemples dans la quatriéme Section; & pour être court, en faisant voir cependant aux commençants l'usage des principales methodes qu'on a données pour trouver les integrales, on a mis un premier Exemple qui en contient une infinite. L'on y fait découvrir la rectification d'une infinité de courbes comprises sous l'équation des paraboles de tous les degrés à l'infini. Avant la découverte des nouveaux calculs on avoir regardé avec admiration l'invention de la rectification de la seconde parabole cubique qui est à la fin du premier Volume de la Geometrie latine de M' Descartes; on verra dans ce premier Exemple que les nouveaux calculs font trouver la rectification d'un nombre infini de courbes. Les commençants pourront s'exercer à trouver eux-mêmes la rectification des courbes qu'il leur plaira de choisir dans l'ordre de celles qu'on démontre, dans ce premier Exemple, avoir des rectifications exactes; car ils n'auront qu'à prendre dans les équations des courbes qu'ils auront choifies, les valeurs des lettres de la formule qui contient en general toutes ces rectifications, & les substituer dans cette formule. On démontre dans le même Exemple qu'il y a un autre nombre infini de courbes comprises sous la même équation de toutes les paraboles, dont on peut trouver la rectification exprimée par un nombre fini de termes, en supposant celle de la parabole simple; on donne la methode generale de trouver ces rectifications finies, & on l'applique à des exemples, afin qu'il ne reste plus que la seule peine du calcul à ceux qui voudront en faire eux-mêmes tant d'autres exemples qu'il leur plaira. Ils y verront l'usage des formules de la seconde methode de la premiere Section, & du premier Problême de la seconde Section, & que ces deux methodes donnent les mêmes resolutions. Pour faire voir la maniere de trouver les quadratures des courbes, on a choisi un Exemple, où il faut separer les changeantes qui font multipliées l'une par l'autre dans l'équation de la courbe de cet Exemple; & il est en même temps tres propre à faire remarquer le juste raport de l'Analyse à la Geometrie composée. Car l'équation de la courbe est du troifiéme degré, elle n'a point de second terme: Et en prenant l'une aprés l'autre toutes les valeurs déterminées positives & négatives que peut avoir la ligne des coupées, il ne reste plus d'inconnue dans l'équation que celle des ordonnées. Or en prenant successivement les valeurs pofitives que peut avoir la ligne des coupées, on voit que l'inconnue a trois valeurs, deux positives, & la troifiéme négative qui est égale à la somme des positives; ce qui fait connoître qu'il y a trois ordonnées; les deux positives forment fucceffivement chacune une branche de la courbe du côté des ordonnées positives, & la négative forme une troisiéme branche de la courbe de l'autre côté, & l'ordonnée de cette troifiéme branche est toujours égale à la somme des ordonnées correspondantes des deux autres branches. Il y a une valeur pofitive de la coupée où les deux valeurs positives de l'ordonnée deviennent égales; ce qui fait voir que les deux branches formées par les deux ordonnées positives se réuniffent au point où conviennent ces deux ordonnées égales, & l'ordonnée de la troifiéme branche est double de chacune de ces ordonnées égales : fi l'on prend une valeur positive de la coupée qui surpasse celle qui convient aux deux ordonnées positives égales, on trouve que les deux valeurs pofitives de l'inconnue font impoffibles, & qu'il ne reste que la seule valeur négative; ce qui fait voir que les deux branches que forment les ordonnées positives ne s'étendent pas plus loin du côté des coupées positives, mais que la branche que forme l'ordonnée négative continue son chemin à l'infini. Quand on prend les valeurs négatives que peut avoir la coupée, on trouve toujours qu'il y a deux valeurs impossibles de l'inconnue des ordonnées, & qu'il ne refste qu'une valeur réelle: Elle sert à former une branche de la courbe du côté des coupées négatives. On fait voir aussi dans le même Exemple la maniere de trouver les asymptotes de cette courbe, pour apprendre aux commençants comment ils doivent s'y prendre pour trouver les asymptotes des autres courbes qui peuvent en avoir. La cinquiéme & derniere Section est sur l'usage que fait l'Analyse du calcul differentiel & du calcul integral pour trouver la nature des courbes, c'est à dire, pour trouver les équations qui en expriment les principales proprietés. La pluspart des Problêmes Physico-mathematiques se reduisent à la recherche des courbes qui en donnent la resolution. On en a mis plusieurs Exemples vers la fin de cette derniere Section, & on les peut regarder comme en faisant une feconde partie. On explique dans la premiere Partie ce qu'on appelle la methode inverse des tangentes : cette methode eft regardée comme l'un des grands avantages que la Geometrie compofée a retiré de la découverte des nouveaux calculs: voici ce qu'on entend par cette methode. On a donné dans la feconde Section de la seconde Partie la maniere de trouver trouver, par le moyen de l'équation des courbes, leurs tangentes, foutangentes, perpendiculaires, fouperpendiculaires, & les autres lignes qui y ont raport; la maniere de retrouver les équations des courbes quand on en a les tangentes données, ou les foutangentes, ou les perpendiculaires, ou les fouperpendiculaires, &c. est ce qu'on appelle la methode inverse des tangentes. Cette methode étoit inconnue avant la découverte des nouveaux calculs; M de Beaune proposa un Problême sur cette methode à M' Descartes, qui fit bien connoître le besoin que l'on avoit de calculs differents de ceux de l'Algebre ordinaire pour refoudre ces fortes de Problêmes. On a donné quatorze Exemples de cette methode pour la rendre familiere; le Problême de Mo de Beaune fait le quatorziéme; le premier, le second, le feptiéme, le huitieme, le onziéme & le treiziéme contiennent chacun une infinité d'autres Exemples; le douziéme, le treizième & le quatorziéme ne faisant découvrir que des équations differentielles des courbes que l'on cherche, on donne la construction de ces courbes, pour apprendre aux commençants la maniere de construire les courbes dont on n'a que des équations differentielles. On a mis dans la seconde partie de cette derniere Section fix Exemples Phyfico-mathematiques, pour faire voir l'usage de l'Analyse dans la resolution des Problêmes Phyficomathematiques en employant les nouveaux calculs. M Descartes, pour faire voir l'utilité de ses découvertes pour ces fortes de Problêmes, a mis dans le second Livre de fa Geometrie la construction des courbes dont il faut donner les figures aux verres, afin qu'ils rassemblent en un point donné les rayons qui partent d'un autre point donné, par le moyen des refractions de ces rayons à l'entrée ou au fortir de ces verres. Ces courbes, qui font devenues celebres parmi les Geometres, s'appellent les Ovales de M' Defcartes ; il a caché l'Analyse qui lui a fait découvrir & conftruire ces ovales. On les a prises pour le premier Exemple, l'on y verra combien l'invention en est facile par les nouveaux calculs; que les regles les plus simples de ces calculs font trouver d'abord la conftrction de ces ovales; & que l'Analyse fait découvrir par un calcul tres simple & tres facile que ces ovales deviennent des ellipfes quand les rayons y **** |