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qui en soient les integrales ; mais on aime mieux les avoir en termes finis : C'est ce qui a fait chercher des methodes pour avoir les integrales finies de ces differentielles en suppofanc les rectifications ou la quadrature des courbes plus simples que ne sont celles ausquelles se rapportent ces differentielles ; Et il y en a un grand nombre dont on peut avoir les integrales en termes finis, en supposant les rectifications ou les quadratures des seules Sections coniques. On a mis dans la seconde Section les Problêmes qui font découvrir ces integrales en termes finis. Le premier ne donne rien de plus que les formules de la seconde methode de la premiere Sečtion; on n'a pas laissé de le mettre pour faire voir comment on arrive au même but par differentes voyes. Le troisiéme Problême, qui enseigne à transformer les differentielles & les courbes en d'autres differentielles & en d'autres courbes dont les integrales & les aires foient égales, est de grand usage pour changer les differentielles complexes où les puissances des changeantes sont fort élevées en d'autres plus simples, & pour changer de même des courbes d'un genre fort élevé en d'autres plus simples, & même pour les reduire aux Sections coniques, de maniere que les aires de ces courbes plus simples foient égales aux aires des courbes plus composées dont elles sont les transformées : ce qui rend plus facile la découverte des integrales des differentielles fort composées. On a mis aussi dans la seconde Section une methode particuliere pour avoir en termes finis, en supposant la quadrature du cercle ou de l'hyperbole équilatere, les integrales des differentielles que l'on y peut reduire. Enfin on donne dans le quarriéme Problême la methode de trouver les integrales des differentielles des courbes méchaniques, dont les ordonnées ou bien les coupées sont égales à des arcs de courbe, comme du cercle, de la parabole, &c. ou bien aux puissances quelconques de ces arcs, en supposant la rectification de ces

On explique dans la troisiéme Section le calcul differentiel & le calcul integral qui conviennent aux courbes dont les équations contiennent des expressions logarithmiques, ou bien des expressions exponentielles

. Ces calculs donnent les moyens d'appliquer à ces forces de courbes les formules de

arcs.

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la seconde & troisiéme Section de la seconde Partie,

pour trouver leurs tangentes, leurs perpendiculaires, les points où les tangentes sont paralleles à leurs coordonnées, leurs points d'inflexion ou de rebroussement, leurs developees, leurs rectifications, leurs quadratures, la mesure des solides formés par leur revolution autour d'une ligne droite, la mesure des surfaces courbes de ces solides, & les centres de pesanteur de ces courbes, de leurs furfaces, & des corps formés par leur revolution : l'on en donne des Exemples, & l'on explique aussi la maniere de construire ces forces de courbes par le moyen de la courbe logarithmique. Les deux dernieres Sections font sur l'usage du calcul integral qui a éré expliqué dans les trois premieres

, Les principaux ufages du calcul integral font de faire découvrir les rectifications des courbes, leurs quadratures, la mesure des solides formés par la revolution des courbes autour d'une ligne droite, la mesure des surfaces courbes de ces solides, & les centres de pesanteur de ces courbes , de leurs aires, des solides qui en peuvent être formés , & des surfaces courbes de ces solides. On explique dans la quatriéme Sedion la methode generale pour resoudre ces Problêmes, qui ne confiste qu'en ceci: Il faut substituer dans les formules de ces Problêmes qu'on a données dans la troifiéme Section de la seconde Partie , les valeurs des lettres de ces formules prises des équations particulieres des courbes ausquelles on veut les appliquer. Čes substitutions reduironc les formules à être les elements de la rectification de ces courbes ou de leur quadrature, &c. Il faut ensuite trouver, par les methodes qu’on a données dans les trois premieres Sections de cette troisiéme Partie , les integrales de ces élements ; ces integrales exprimeront les rectifications qu'il falloit trouver , ou les quadratures , &c.

On applique cette methode à des Exemples dans la quatriéme Seæion ; & pour être court, en faisant voir cependant aux commençants l'usage des principales methodes qu'on a données pour trouver les integrales, on a mis un premier Exemple qui en contient une infinité. L'on y fait découvrir la rectification d'une infinité de courbes comprises sous l'équation des paraboles de tous les degrés à l'infini. Avant la découverte des nouveaux calculs on avois

regardé avec admiration l'invention de la rectification de la seconde parabole cubique qui est à la fin du premier Volume de la Geometrie lacine de M' Descartes; on verra dans ce premier Exemple que les nouveaux calculs font trouver la rectification d'un nombre infini de courbes. Les commençants pourront s'exercer à trouver eux-mêmes la rectification des courbes qu'il leur plaira de choisir dans l'ordre de celles qu'on démontre, dans ce premier Exemple, avoir des rectifications exactes; car ils n'auront qu'à prendre dans les équations des courbes qu'ils auront choisies, les valeurs des lettres de la formule qui contient en general toutes ces rectificacions, & les substituer dans cette formule. On démontre dans le même Exemple qu'il y a un autre nombre infini de courbes comprises sous la même équation de toutes les paraboles, dont on peut trouver la rectification exprimée par un nombre fini de termes, en supposant celle de la parabole simple ; on donne la methode generale de trouver ces rectifications finies, & on l'applique à des exemples, afin qu'il ne reste plus que la seule peine du calcul à ceux qui voudront en faire eux-mêmes tant d'autres exemples qu'il leur plaira. Ils y verront l'usage des formules de la seconde methode de la premiere Section, & du premier Problême de la seconde Section, & que ces deux methodes donnent les mêmes resolutions.

Pour faire voir la maniere de trouver les quadratures des courbes, on a choisi un Exemple, où il faut separer les changeantes qui sont multipliées l'une par l'autre dans l'équation de la courbe de cet Exemple; & il est en même temps tres propre à faire remarquer le juste raport de l'Analyse à la Geometrie composée. Car l'équation de la courbé est du troisiéme degré ; elle n'a point de second terme : Et en prenant l'une aprés l'autre toutes les valeurs déterminées positives & négatives que peut avoir la ligne des coupées, il ne reste plus d'inconnue dans l'équation que celle des ordonnées. Or en prenant successivement les valeurs positives que peut avoir la ligne des coupées, on voit que

l'inconnue a trois valeurs, deux positives, & la troisiéme négative qui est égale à la somme des positives; ce qui fait connoître qu'il y a trois ordonnées; les deux positives forment fuccefsivement chacune une branche de la courbe du côté des ordonnées positives , & la négative forme une troisiéme branche de la courbe de l'autre côté, & l'ordonnée de cette troisiéme branche est coujours égale à la somme des ordon. nées correspondantes des deux autres branches. Il y a une valeur pofitive de la coupée où les deux valeurs positives de l'ordonnée deviennent egales; ce qui fait voir que les deux branches formées par les deux ordonnées positives se réuniffent au point où conviennent ces deux ordonnées égales, & l'ordonnée de la troisiéme branche est double de chacune de ces ordonnées égales : si l'on prend une valeur positive de la coupée qui surpasse celle qui convient aux deux ordonnées positives égales, on trouve que les deux valeurs positives de l'inconnue sont impossibles, & qu'il ne reste que la seule valeur négative; ce qui fait voir que les deux branches que forment les ordonnées positives ne s'étendent pas plus loin du côté des coupées positives, mais que

la branche que forme l'ordonnée négative continue son chemin à l'infini. Quand on prend les valeurs négatives que peut avoir la coupée, on trouve toujours qu'il y a deux valeurs impossibles de l'inconnue des ordonnées, & qu'il ne reste qu'une valeur réelle: Elle sert à former une branche de la courbe du côté des coupées négatives. On fait voir aussi şans le même Exemple la maniere de trouver les asymptotes de cette courbe, pour apprendre aux commençants comment ils doivent s'y prendre pour trouver les asymptotes des autres courbes qui peuvent en avoir.

La cinquiéme & derniere Section est sur l'usage que faic l'Analyse du calcul differentiel & du calcul integral pour trouver la nature des courbes, c'est à dire, pour trouver les équations qui en expriment les principales proprietés. La pluspart des Problêmes Physico-mathematiques fe reduisent à la recherche des courbes qui en donnent la resolution. On en a mis plusieurs Exemples vers la fin de cette derniere Section, & on les peut regarder comme en faisant une seconde partie. On explique dans la premiere Partie ce qu'on appelle la methode inverse des tangentes : cette methode est regardée comme l'un des grands avantages que

la Geometrie composée a retiré de la découverte des nouveaux calculs: voici ce qu'on entend par cette methode. On a donné dans la seconde Section de la seconde Partie la maniere de

trouver,

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trouver , par le moyen de l'équation des courbes, leurs tangentes, soutangentes, perpendiculaires , souperpendiculai. res, & les autres lignes qui y ont raport; la maniere de retrouver les équations des courbes quand on en a les tangentes données, ou les soutangentes, ou les perpendiculaires, ou les souperpendiculaires, &c. est ce qu'on appelle la methode inverse des tangentes. Cette methode étoit inconnue avant la découverte des nouveaux calculs; M' de Beaune proposa un Problême sur cette methode à M' Descartes, qui fit bien connoître le besoin que l'on avoit de calculs differents de ceux de l’Algebre ordinaire pour resoudre ces fortes de Problêmes. On a donné quatorze Exemples de cette methode

pour la rendre familiere ; le Probleme de M' de Beaune fait le quatorzième ; le premier, le second, le septiéme, le huitiéme, le onziéme & le treizième contiennent chacun une infinité d'autres Exemples ; le douziéme, le treizième & le quatorzième ne faisant découvrir que

des équations differentielles des courbes que l'on cherche, on donne la construction de ces courbes, pour apprendre aux commençants la maniere de construire les courbes dont on n'a

que des équations differentielles. On a mis dans la seconde partie de cette derniere Section fix Exemples Physico-mathematiques, pour faire voir l'usage de l’Analyse dans la resolution des Problêmes Phyficomathematiques en employant les nouveaux calculs. M Descartes , pour faire voir l'utilité de ses découvertes pour ces fortes de Problêmes, a mis dans le second Livre de fa Geometrie la construction des courbes dont il faut donner les figures aux verres, afin qu'ils rassemblent en un point donné les rayons qui partent d'un autre point donné, par le moyen des refractions de ces rayons à l'entrée ou au sortir de ces verres. Ces courbes , qui sont devenues cele. bres parmi les Geometres , s'appellent les Ovales de M'Defcartes ; il a caché l'Analyse qui lui a fait découvrir & cons. truire ces ovales. On les a prises pour le premier Exemple; l'on y verra combien l'invention en est facile par les nouveaux calculs; que les regles les plus simples de ces calculs font trouver d'abord la constr: 'ction de ces ovales; &

que l'Analyse fait découvrir par un calcul tres simple & tres facile que ces ovales deviennent des ellipses quand les rayons y

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