que les

entrent paralleles, & des hyperboles, quand ils se presentent paralleles pour en sortir,

Ce celebre Auteur propose un autre Problệme vers la fin du même second Livre, & il laisse à ses Lecteurs à en trouver la resolucion : le voici. L'une des surfaces d'un verre écant la figure formée par la revolution de laquelle on vou. dra des Sections coniques sur leur axe, trouver la construction de la figure qu'il faut donner à l'autre surface de ce verre,

afin que les rayons qui partent d'un même point donné, ou qui sont paralleles, soient disposés par les deux re. fracions qu'ils doivent fouffrir à l'entrée & au sortir du verre à se réunir à un point donné. On prend pour second Exemple ceProblême, sans le borner aux seules Sections coniques, mais l'étendant à toutes les courbes , c'est à dire, supposé que l'une des surfaces d'un verre ait la figure de telle courbe qu'on voudra, (qui soit seulement supposée connue, ) il faut trouver la construction de la figure qu'on doit donner à la seconde surface du verre , afin rayons qui partene d'un point donné, ou qui sont paralleles, soient disposés, par les refractions qu'ils doivent souffrir à l'entrée & au sor. cir du verre , à se réunir à un point donné.

On a pris pour troisiéme Exemple le Problême fameux où l'on cherche la courbe formée par une chaîne composée de petits ancaux égaux lorsqu'elle est attachée par ses deux seules extremités lur un plan vertical. L'illustre Auteur des nouveaux calculs a donné la construction & de beaux usages de cette courbe dans les Journaux des Sçavans & dans les Actes de Lipfic, mais il a supprimé l'équation de la courbe & l'analyse de la construction. On fait découvrir dans ce troisiéme Exemple l'équation de cette courbe, l'on en donne trois constructions, dont la troisiéme est celle de M'Leibnits, & on les fait découvrir toutes trois par l'Analyse.

Les trois derniers Problêmes ont été proposés par M" Bernoulli à present Professeur à Balle. Les Mathematiques lui ont de grandes obligations , & à feu M' Bernoulli son frere, des nouvelles découvertes qu'ils ont faites sur les nouveaux calculs, & de l'émulation qu'ils ont excitée parmi les Sçavants en leur proposant des Problêmes qu'ils avoient resolus, mais dont ils tenoient les resolutions cachées, afin que les autres eussent le plaisir de les trouver eux-mêmes:

ce qui nous a donné la resolution d'un grand nombre de Problêmes nouveaux & utiles. M' le Marquis de l'Hospital est celui qui a le plus enrichi les Mathematiques des resolutions compleres de ces Problêmes, quelques difficiles qu'ils fussent : il a donné celle des trois Problêmes qui finissent cette Section, mais il a entierement supprimé l'Analyse du premier, & il a supprimé une grande partie de celle des deux autres , par les mêmes motifs que M" Bernoulli.

. Le quatrieme Exemple est le Problême où il s'agit de trouver la courbe sur laquelle il faut qu'un corps pelant se meuve librement pour aller le plus promptement qu'il soit possible d'un point donné à un autre point donné, en supposant que ces deux points donnés ne sont

pas

dans une même ligne verticale. "On fait découvrir par l'Analyse fans y mêler aucune synthese, que la cycloïde est la courbe qui refout le Problême.

Le cinquiéme Exemple est le Problême où il faut trou. ver la courbe dont la revolution autour d'une ligne droite donnée, forme la surface courbe qu'il faut donner à la partie d'un Vailleau qui est dans l'eau , afin qu'il trouve en voguant dans la mer la moindre resistance de la part de l'eau qui soit possible. On fait découvrir par l'Analyse l'équation de cette courbe, & la construction que l'on en donne.

Enfin l'on cherche dans le sixième Exemple quelle est la courbe fur laquelle un corps pesant descendant par le seul mouvement qu'il recevroit de la pesanteur , il la presseroit en chaque point avec une force precisément égale à celle de la seule pesanteur lorsqu'il est en repos, où avec laquelle il tireroit un fil auquel il seroit attaché en repos. On fait aussi découvrir par Analyse l'équation de cette courbe, que l'on trouve être une courbe geometrique. Mais ce Probleme supposant les propositions qui regardent la chute des corps par le seul mouvement qu'ils reçoivent de leur pesanteur, au lieu de les mettre en suppositions , on les a démontrées, tant celles qui regardent les chutes perpendiculaires, que celles qui sont sur les chutes inclinées, & sur les chutes qui se font par des courbes; des courbes ; afin que

afin que les commençants vissent clairement la resolution que l'on donne en la déduisant des premiers principes, sans avoir besoin d'aucun autre ouvrage pour entendre à fond celui-ci.

a

а

Ils auront dans les sept premiers Livres, dans la premiere Section de la seconde Partie du huitiéme où est expliqué le calcul differentiel, & dans les trois premieres Sections de la troisiéme Partie du huitième Livre où l'on a mis les Regles du calcul integral, les methodes qui leur font necessaires pour resoudre les Problemes des Mathematiques ; & ils trouveront dans le huitiéme Livre entier ce qu'il leur faut sçavoir de Geometrie composée. Car on leur fait connoître toutes les courbes que peut contenir cette science. On leur fait découvrir par Analyse les principales proprietés des courbes les plus simples qui sont les Sections coniques. On leur apprend à reduire les courbes aux équations qui en expriment la nature. On leur enseigne à tirer de ces équations les propriétés de ces courbes , & on leur a mis des formules generales qui leur feront découvrir celles de ces proprietés qui sont les plus considerables & les plus utiles, par de simples substitutions. On leur a aussi appris par beaucoup d'Exemples la maniere d'appliquer les methodes de l’Analyse à la resolution des Problêmes Physico-mathematiques. Enfin on a eu soin, dans tout l'Ouvrage, & dans les resolutions les plus composées, de marquer jusqu'aux moindres démarches de l'esprit pour arriver à ces resolutions, afin qu'ils ne fussent arrêtés nulle-part, & qu'ils devinssent en état d'entendre toutes les nouvelles découvertes, & de faire eux-mêmes celles qu'ils voudront entreprendre.

a

a

ANALYSE QUI ENSEIGNE A RESOUDRE les Problêmes qui se réduisent à des équations

composées.

L I V R É VIII. Où l'on fait voir l'usage de l'Analyse dans la Geometrie & dans les sciences physico-mathematiques ; c'est à dire , on explique la maniere de se servir de l’Analyse pour resoudre les Problemes de ces sciences.

y ver

AVERTISSEMEN T.,
Ona

n a ajouté ce dernier Livre pour les Lecteurs qui sçavent
au moins mediocrement la Geometrie ordinaire : Ils
ront comment les calculs & les operations de l'Analyse font
les expressions de tous les rapports des lignes & des figures
de la Geometrie simple & coniposée, qui en font découvrir
les proprietés les plus compliquées, & resoudre les Pró-
blêmes d'une maniere simple, facile , qui n'embarasse pas
l'imagination, & qui laifle à l'esprit l'étendue dont il a
besoin pour découvrir aisément tout ce que ces fciences
peuvent contenir de plus difficile, & pour penetrer jusqu'à
l'infini.
Pour exciter la curiosité des Lecteurs, &

faire voir l'utilité de l'Analyse, qui étoit regardée par ceux qui ne la fçavent pas comme contenant de pures speculations, on a mêlé dans ce huitiéme Livre plusieurs Problêmes des sciences physico - mathematiques; comme ceux qui servent à

donner aux pendules à secondes toute la justesle possible
pour les rendre la mesure exacte du temps; ceux qui servent
à l'art de jetter les bombes , pour les faire tomber exacte- .
ment où l'on voudra; ceux qui servent à faire connoître les
figures que l'on doit donner aux verres pour rassembler en
un point les rayons de lumiere, &c.

On s'est seulement proposé de faire connoître les usages
de l'Analyse, & la maniere de s'en servir dans la resolution
des Problèmes qui s'expriment par des figures ; & non pas
de faire un corps de Geometrie dont toutes les parties fuf-
sent liées par la dépendance mutuelle des propositions qui
seroient déduites les unes des autres. Cependant on a tâché
de mettre de l'ordre dans les matieres qu'on y traite, de
maniere que les plus simples précedassent, autant que cela

,
se pouvoit , les plus composées, & qu'elles servissent à s'é-
claircir mutuellement ; & l'on a pris soin pour

rendre tous
les Problemes que l'on resout clairs & faciles aux Lecteurs
qui commencent, de mettre du moins en suppositions ( n'é-
tant pas ici le lieu de les démontrer) tous les principes d'où
ils dépendent, & qu'il faut avoir en vûe pour en concevoir
clairement la resolution.

On partagera ce huitiéme Livre en trois Parties. On expliquera dans la premiere la maniere de se servir de l’Analyse dans la resolution des Problemes de Geometrie & des sciences physico-mathematiques, en n'employant dans les operations que les calculs de l’Algebre ordinaire. Dans la seconde Partie on cnseignera les usages de l'Analyse dans la resolution des Problèmes des mêmes sciences, en y em. ployant le calcul differentiel. On fera voir dans la troisiéme Partie comment l'Analyse fait trouver les Regles du calcul integral; & on expliquera ensuite l'usage de ces Regles dans la resolution des Problèmes de la Geometrie & des sciences physico-mathematiques,