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entrent paralleles, & des hyperboles, quand ils fe prefentent paralleles pour en fortir.

Ce celebre Auteur propofe un autre Problême vers la fin du même second Livre, & il laiffe à fes Lecteurs à en trouver la refolution: le voici. L'une des furfaces d'un verre étant la figure formée par la revolution de laquelle on vou. dra des Sections coniques fur leur axe, trouver la conftruction de la figure qu'il faut donner à l'autre surface de ce verre, afin que les rayons qui partent d'un même point donné, ou qui font paralleles, foient difpofés par les deux refractions qu'ils doivent fouffrir à l'entrée & au fortir du verre à fe réunir à un point donné. On prend pour second Exemple ce Problême, fans le borner aux feules Sections coniques, mais l'étendant à toutes les courbes, c'est à dire, fuppofé que l'une des furfaces d'un verre ait la figure de telle courbe qu'on voudra, (qui foit feulement fuppofée connue, ) il faut trouver la conftruction de la figure qu'on doit donner à la feconde furface du verre, afin que les rayons qui partent d'un point donné, ou qui font paralleles, foient difpofés, par les refractions qu'ils doivent souffrir à l'entrée & au fortir du verre, à se réunir à un point donné.

On a pris pour troisième Exemple le Problême fameux où l'on cherche la courbe formée par une chaîne compofée de petits aneaux égaux lorfqu'elle eft attachée par fes deux feules extremités fur un plan vertical. L'illuftre Auteur des nouveaux calculs a donné la construction & de beaux usages de cette courbe dans les Journaux des Sçavans & dans les Actes de Lipfic, mais il a fupprimé l'équation de la courbe & l'analyse de fa construction. On fait découvrir dans ce troifiéme Exemple l'équation de cette courbe, l'on en donne trois constructions, dont la troifiéme eft celle de M' Leibnits, & on les fait découvrir toutes trois par l'Analyse.

Les trois derniers Problêmes ont été propofés par M' Bernoulli à prefent Profeffeur à Bafle. Les Mathematiques lui ont de grandes obligations, & à feu M' Bernoulli son frere, des nouvelles découvertes qu'ils ont faites fur les nouveaux calculs, & de l'émulation qu'ils ont excitée parmi les Sçavants en leur propofant des Problêmes qu'ils avoient refolus, mais dont ils tenoient les refolutions cachées, afin que les autres euffent le plaifir de les trouver eux-mêmes:

ce qui nous a donné la refolution d'un grand nombre de Problêmes nouveaux & utiles. M' le Marquis de l'Hospital eft celui qui a le plus enrichi les Mathematiques des refolutions completes de ces Problêmes, quelques difficiles qu'ils fuffent: il a donné celle des trois Problêmes qui finiffent cette Section, mais il a entierement fupprimé l'Analyfe du premier, & il a fupprimé une grande partie de celle des deux autres, par les mêmes motifs que M" Bernoulli.

Le quatrième Exemple est le Problême où il s'agit de trouver la courbe fur laquelle il faut qu'un corps pesant se meuve librement pour aller le plus promptement qu'il foit poffible d'un point donné à un autre point donné, en fuppofant que ces deux points donnés ne font pas dans une même ligne verticale. On fait découvrir par l'Analyse fans y mêler aucune fynthese, que la cycloïde eft la courbe qui refout le Problême.

Le cinquième Exemple eft le Problême où il faut trouver la courbe dont la revolution autour d'une ligne droite donnée, forme la furface courbe qu'il faut donner à la partie d'un Vaiffeau qui eft dans l'eau, afin qu'il trouve en voguant dans la mer la moindre refiftance de la part de l'eau qui foit poffible. On fait découvrir par l'Analyse l'équation de cette courbe, & la conftruction que l'on en donne.

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Enfin l'on cherche dans le fixième Exemple quelle eft la courbe fur laquelle un corps pefant defcendant par le feul mouvement qu'il recevroit de fa pefanteur, il la prefferoit en chaque point avec une force precifément égale à celle de fa feule pefanteur lorfqu'il eft en repos, où avec laquelle il tireroit un fil auquel il feroit attaché en repos. On fait auffi découvrir par Analyfe l'équation de cette courbe, que l'on trouve être une courbe geometrique. Mais ce Problême fuppofant les propofitions qui regardent la chute des corps par le feul mouvement qu'ils reçoivent de leur pefanteur, au lieu de les mettre en fuppofitions, on les a démontrées, tant celles qui regardent les chutes perpendiculaires, que celles qui font fur les chutes inclinées, & fur les chutes qui fe font par des courbes; afin que les commençants viffent clairement la refolution que l'on donne en la deduisant des premiers principes, fans avoir befoin d'aucun autre ouvrage pour entendre à fond celui-ci.

**** ij

Ils auront dans les fept premiers Livres, dans la premiere Section de la féconde Partie du huitième où eft expliqué le calcul differentiel, & dans les trois premieres Sections de la troifiéme Partie du huitiéme Livre où l'on a mis les Regles du calcul integral, les methodes qui leur font neceffaires pour refoudre les Problêmes des Mathematiques; & ils trouveront dans le huitiéme Livre entier ce qu'il leur faut sçavoir de Geometrie compofée. Car on leur fait connoître toutes les courbes que peut contenir cette science. On leur fait découvrir par Analyfe les principales proprietés des courbes les plus fimples qui font les Sections coniques. On leur apprend à reduire les courbes aux équations qui en expriment la nature. On leur enfeigne à tirer de ces équations les propriétés de ces courbes, & on leur a mis des formules generales qui leur feront découvrir celles de ces proprietés qui font les plus confiderables & les plus utiles, par fimples fubftitutions. On leur a auffi appris par beaucoup d'Exemples la maniere d'appliquer les methodes de l'Analyfe à la refolution des Problêmes Phyfico-mathematiques. Enfin on a eu foin, dans tout l'Ouvrage, & dans les refolutions les plus compofées, de marquer jufqu'aux moindres démarches de l'efprit pour arriver à ces refolutions, afin qu'ils ne fuffent arrêtés nulle-part, & qu'ils devinffent en état d'entendre toutes les nouvelles découvertes, & de faire eux-mêmes celles qu'ils voudront entreprendre.

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ANALYSE QUI ENSEIGNE A RESOUDRE les Problêmes qui fe réduisent à des équations

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Où l'on fait voir l'ufage de l'Analyfe dans la Geometrie & dans les fciences phyfico-mathematiques; c'est à dire, on explique la maniere de fe fervir de l'Analyse pour refoudre les Problemes de ces fciences.

ON

AVERTISSEMENT..

N a ajouté ce dernier Livre pour les Lecteurs qui fçavent au moins mediocrement la Geometrie ordinaire: Ils y verront comment les calculs & les operations de l'Analyfe font les expreffions de tous les rapports des lignes & des figures de la Geometrie fimple & compofée, qui en font découvrir > les proprietés les plus compliquées, & refoudre les Problêmes d'une maniere fimple, facile, qui n'embaraffe pas l'imagination, & qui laiffe à l'efprit l'étendue dont il a befoin pour découvrir aifément tout ce que ces fciences. peuvent contenir de plus difficile, & pour penetrer jusqu'à l'infini.

Pour exciter la curiofité des Lecteurs, & pour faire voir l'utilité de l'Analyse, qui étoit regardée par ceux qui ne la fçavent pas comme contenant de pures fpeculations, on a mêlé dans ce huitième Livre plufieurs Problêmes des fciences phyfico - mathematiques, comme ceux qui fervent à Qq q ij

donner aux pendules à fecondes toute la jufteffe poffible pour les rendre la mesure exacte du temps; ceux qui fervent à l'art de jetter les bombes, pour les faire tomber exactement où l'on voudra; ceux qui fervent à faire connoître les figures que l'on doit donner aux verres pour raffembler en un point les rayons de lumiere, &c.

On s'eft feulement propofé de faire connoître les ufages de l'Analyse, & la maniere de s'en fervir dans la resolution des Problêmes qui s'expriment par des figures; & non pas de faire un corps de Geometrie dont toutes les parties fuffent liées par la dépendance mutuelle des propofitions qui feroient déduites les unes des autres. Cependant on a tâché de mettre de l'ordre dans les matieres qu'on y traite, de maniere que les plus fimples précedaffent, autant que cela fe pouvoit, les plus compofées, & qu'elles ferviffent à s'éclaircir mutuellement, & l'on a pris foin pour rendre tous les Problêmes que l'on refout clairs & faciles aux Lecteurs qui commencent, de mettre du moins en fuppofitions ( n'étant pas ici le lieu de les démontrer) tous les principes d'où ils dépendent, & qu'il faut avoir en vûe pour en concevoir clairement la refolution.

On partagera ce huitiéme Livre en trois Parties. On expliquera dans la premiere la maniere de fe fervir de l'Analyse dans la refolution des Problêmes de Geometrie & des fciences phyfico-mathematiques, en n'employant dans les operations que les calculs de l'Algebre ordinaire. Dans la feconde Partie on enfeignera les ufages de l'Analyse dans la refolution des Problêmes des mêmes fciences, en y em ployant le calcul differentiel. On fera voir dans la troifiéme Partie comment l'Analyse fait trouver les Regles du calcul integral; & on expliquera enfuite l'ufage de ces Regles dans la refolution des Problêmes de la Geometrie & des sciences phyfico-mathematiques,

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