entrent paralleles, & des hyperboles, quand ils se presentent paralleles pour en fortir.

Ce celebre Auteur propose un autre Probleme vers la fin du même second Livre, & il laisse à ses Lecteurs à en trouver la resolution: le voici. L'une des surfaces d'un verre étant la figure formée par la revolution de laquelle on vou. dra des Sections coniques sur leur axe, trouver la construction de la figure qu'il faut donner à l'autre surface de ce verre, afin que les rayons qui partent d'un même point donné, ou qui font paralleles, foient disposés par les deux refractions qu'ils doivent souffrir à l'entrée & au sortir du verre à se réunir à un point donné. On prend pour second Exemple ceProblême, sans le borner aux seules Sections coniques, mais l'étendant à toutes les courbes, c'est à dire, supposé que l'une des surfaces d'un verre ait la figure de telle courbe qu'on voudra, (qui soit seulement supposée connue, ) il faut trouver la construction de la figure qu'on doit donner à la seconde surface du verre, afin que les rayons qui partent d'un point donné, ou qui font paralleles, foient disposés, par les refractions qu'ils doivent souffrir à l'entrée & au fortir du verre, à se réunir à un point donné.

On a pris pour troisième Exemple le Problême fameux où l'on cherche la courbe formée par une chaîne composée de petits aneaux égaux lorsqu'elle est attachée par ses deux seules extremités sur un plan vertical. L'illustre Auteur des nouveaux calculs a donné la construction & de beaux usages de cette courbe dans les Journaux des Sçavans & dans les Actes de Lipfic, mais il a supprimé l'équation de la courbe & l'analyse de sa construction. On fait découvrir dans ce troisiéme Exemple l'équation de cette courbe, l'on en donne trois constructions, dont la troisiéme est celle de M' Leibnits, & on les fait découvrir toutes trois par l'Analyse.

Les trois derniers Problêmes ont été proposés par M Bernoulli à present Professeur à Bafle. Les Mathematiques lui ont de grandes obligations, & à feu M' Bernoulli fon frere, des nouvelles découvertes qu'ils ont faites sur les nouveaux calculs, & de l'émulation qu'ils ont excitée parmi les Sçavants en leur proposant des Problêmes qu'ils avoient refolus, mais dont ils tenoient les resolutions cachées, afin que les autres eussent le plaifir de les trouver eux-mêmes: ce qui nous a donné la resolution d'un grand nombre de Problêmes nouveaux & utiles. M'le Marquis de l'Hospital est celui qui a le plus enrichi les Mathematiques des resolutions completes de ces Problêmes, quelques difficiles qu'ils fussent: il a donné celle des trois Problêmes qui finissent cette Section, mais il a entierement supprimé l'Analyse du premier, & il a supprimé une grande partie de celle des deux autres, par les mêmes motifs que Ms Bernoulli.

Le quatrième Exemple est le Problême où il s'agit de trouver la courbe fur laquelle il faut qu'un corps pesant se meuve librement pour aller le plus promptement qu'il foit possible d'un point donné à un autre point donné, en supposant que ces deux points donnés ne sont pas dans une même ligne verticale. On fait découvrir par l'Analyse sans y mêler aucune synthese, que la cycloïde est la courbe qui refout le Problême.

Le cinquiéme Exemple est le Problême où il faut trouver la courbe dont la revolution autour d'une ligne droite donnée, forme la surface courbe qu'il faut donner à la partie d'un Vaisseau qui est dans l'eau, afin qu'il trouve en voguant dans la mer la moindre resistance de la part de l'eau qui foit poffible. On fait découvrir par l'Analyse l'équation de cette courbe, & la construction que l'on en donne.

Enfin l'on cherche dans le fixieme Exemple quelle est la courbe fur laquelle un corps pesant descendant par le seul mouvement qu'il recevroit de sa pesanteur, il la presseroit en chaque point avec une force precisément égale à celle de sa seule pesanteur lorsqu'il est en repos, où avec laquelle il tireroit un fil auquel il feroit attaché en repos. On fait aussi découvrir par Analyse l'équation de cette courbe, que l'on trouve être une courbe geometrique. Mais ce Problême supposant les propositions qui regardent la chute des corps par le seul mouvement qu'ils reçoivent de leur pesanteur, au lieu de les mettre en suppositions, on les a démontrées, tant celles qui regardent les chutes perpendiculaires, que celles qui sont sur les chutes inclinées, & fur les chutes qui se font par des courbes; afin que les commençants vissent clairement la resolution que l'on donne en la deduisant des premiers principes, sans avoir besoin d'aucun autre ouvrage pour entendre à fond celui-ci.

Ils auront dans les sept premiers Livres, dans la premiere Section de la féconde Partie du huitième où est expliqué le calcul differentiel, & dans les trois premieres Sections de la troifiéme Partie du huitième Livre où l'on a mis les Regles du calcul integral, les methodes qui leur font necessaires pour refoudre les Problêmes des Mathematiques; & ils trouveront dans le huitiéme Livre entier ce qu'il leur faut sçavoir de Geometrie composée. Car on leur fait connoître toutes les courbes que peut contenir cette science. On leur fait découvrir par Analyse les principales proprietés des courbes les plus fimples qui font les Sections coniques. On leur apprend à reduire les courbes aux équations qui en expriment la nature. On leur enseigne à tirer de ces équations les propriétés de ces courbes, & on leur a mis des formules generales qui leur feront découvrir celles de ces proprietés qui font les plus confiderables & les plus utiles, par de fimples substitutions. On leur a aussi appris par beaucoup d'Exemples la maniere d'appliquer les methodes de l'Analyse à la resolution des Problêmes Physico-mathematiques. Enfin on a eu foin, dans tout l'Ouvrage, & dans les resolutions les plus composées, de marquer jusqu'aux moindres démarches de l'esprit pour arriver à ces resolutions, afin qu'ils ne fussent arrêtés nulle-part, & qu'ils devinssent en état d'entendre toutes les nouvelles découvertes, & de faire eux-mêmes celles qu'ils voudront entreprendre.

RIR

ANALYSE 487

ANALYSE COMPOSÉE,

OU

ANALYSE QUI ENSEIGNE A RESOUDRE les Problêmes qui se réduisent à des équations

:

compofées.

1

Où l'on fait voir l'usage de l'Analyse dans la Geometrie & dans les sciences physico-mathematiques ; c'est à dire, on explique la maniere de se servir de l'Analyse pour refoudre les Problêmes de ces fciences.

AVERTISSEMENT..

On a ajouté ce dernier Livre pour les Lecteurs qui sçavent au moins mediocrement la Geometrie ordinaire: Ils y verront comment les calculs & les operations de l'Analyse font les expressions de tous les rapports des lignes & des figures de la Geometrie simple & composée, qui en font découvrir › les proprietés les plus compliquées, & refoudre les Problêmes d'une maniere simple, facile, qui n'embaraffe pas l'imagination, & qui laisse à l'esprit l'étendue dont il a besoin pour découvrir aisément tout ce que ces fciences peuvent contenir de plus difficile, & pour penetrer jusqu'à l'infini.

Pour exciter la curiosité des Lecteurs, & pour faire voir l'utilité de l'Analyse, qui étoit regardée par ceux qui ne la fçavent pas comme contenant de pures speculations, on a mêlé dans ce huitiéme Livre plusieurs Problêmes des sciences physico - mathematiques, comme ceux qui fervent à

Q q q ij

donner aux pendules à secondes toute la justesse possible pour les rendre la mesure exacte du temps; ceux qui fervent à l'art de jetter les bombes, pour les faire tomber exactement où l'on voudra; ceux qui servent à faire connoître les figures que l'on doit donner aux verres pour rassembler en un point les rayons de lumiere, &c.

On s'est seulement proposé de faire connoître les usages de l'Analyse, & la maniere de s'en servir dans la resolution des Problêmes qui s'expriment par des figures; & non pas de faire un corps de Geometrie dont toutes les parties fufsent liées par la dépendance mutuelle des propositions qui seroient déduites les unes des autres. Cependant on a tâché de mettre de l'ordre dans les matieres qu'on y traite, de maniere que les plus simples précedassent, autant que cela se pouvoit, les plus composées, & qu'elles fervissent à s'éclaircir mutuellement; & l'on a pris foin pour rendre tous les Problêmes que l'on resout clairs & faciles aux Lecteurs qui commencent, de mettre du moins en suppositions (n'étant pas ici le lieu de les démontrer) tous les principes d'où ils dépendent, & qu'il faut avoir en vue pour en concevoir clairement la resolution.

On partagera ce huitiéme Livre en trois Parties. On expliquera dans la premiere la maniere de se servir de l'Analyse dans la resolution des Problêmes de Geometrie & des sciences physico-mathematiques, en n'employant dans les operations que les calculs de l'Algebre ordinaire. Dans la seconde Partie on enseignera les usages de l'Analyse dans la resolution des Problêmes des mêmes sciences, en y em. ployant le calcul differentiel. On fera voir dans la troifiéme Partie comment l'Analyse fait trouver les Regles du calcul integral; & on expliquera ensuite l'usage de ces Regles dans la resolution des Problêmes de la Geometrie & des sciences physico-mathematiques,