PREMIERE PARTIE. De l'ufage de l'Analyse dans la refolution des Problêmes PREMIERE SECTION. Où l'on fait voir comment les calculs de l'Analyfe expriment PREMIERE SUPPOSITION OU DEMANDE. 267. POUR 268. a OUR exprimer par les calculs de l'Analyse les rapports F10. I. Quand il y a dans les figures des lignes égales, on les Il est évident que l'addition & la fouftraction des lettres = 269. L'expreffion marque le rapport de la ligne AB (a) à la ligne BH (b), ce qu'il faut remarquer dans l'expreffion de tous les autres rapports des lignes. 270. La multiplication des grandeurs, par exemple de la grandeur a par la grandeur 6, que l'on marque par ces lettres jointes ensemble ab, ou par a × b, est une proportion Qqq iij 271. 272. dont le premier terme eft l'unité, le fecond & le troifiéme En fuppofant que les triangles AKM, ABH font femblables, que AK=1, AB—a, KM=k, BH=h; BH eft auffi le produit de KM (k) par AB (a); puifqu'on a cette proportion AK (1). KM (k) :: AB (a). BH (b = ak). D'où l'on voit que quand on a deux lignes données KM (k) & AB (a); pour trouver la ligne BH (bak), qui eft leur produit, il n'y a qu'à faire les deux triangles femblables AKM, ABH, où AK foit =1, KM= KM=k, AB= a, & l'on trouvera BH = ak. Le produit de trois lignes aef, marque deux proportions; par la premiere, l'unité eft à la ligne a, comme la ligne e eft à la ligne ae, qui eft la quatrième proportionelle, à l'unité & aux lignes a & e; par la feconde proportion l'unité est à la ligne ae, comme la ligne ƒ eft au produit des trois aef, qui eft une ligne quatrième proportionelle à l'unité & aux lignes ae & f. D'où l'on voit que le produit de quatre lignes aefg, marque trois proportions; le produit de cinq lignes aefgh, marque quatre proportions, &c. & que dans ces proportions le produit total n'eft qu'une ligne qui refulte de toutes ces proportions. Quand les produits font compofés de lettres égales, comme I, a, aa, a3, aˆ, a', &c. il est évident que les pro portions des lignes qui donnent ces produits font continues, 273. La divifion d'une grandeur AH (ae) par une autre AM(e), FIG.I, qu'un D'où l'on voit que le quotient d'une division n'exprime 'une ligne qui eft le quatriéme terme d'une proportion dont le diviseur eft le premier terme, la grandeur à diviser le fecond, & l'unité le troifiéme. De même en fuppofant les triangles AKM, ABH femblables, & que AB = a; BH=h=ak; KM=k, & 1; la ligne KM(k) fera le quotient de BH (ak) divifée par AB(a); puifque AB(a). BH (ak):: AK (1). KM (k). AK=1; D'où il est évident que quand on a deux lignes données BH (ak ou h), & AB(a); pour trouver la ligne KM (k), qui eft le quotient de BH (ak) divisée par AB(a), il n'y a qu'à faire les deux triangles femblables ABH, AKM, où BHak ouh, AB = a, AK=1, & la ligne KM(k) fera le quotient. L'on voit auffi que fi la ligne à divifer étoit representée par le produit de plufieurs lettres aefg, qui marque que cette ligne eft le dernier terme d'une proportion précedée de plufieurs autres, l'on pourroit par la divifion en repaffant par toutes ces proportions, revenir à la premiere, dont le dernier terme ne feroit exprimé que par deux lettres, comme ae. 274. Quand l'expression de la grandeur ou de la ligne à divi 275. fer AH, n'a aucune lettre commune avec l'expreffion du AH AB D'où il eft vifible que (), qui eft l'expreffion du rapport de ÄH à AB, est la même chose que(); les rapports égaux exprimant des grandeurs égales; & l'on voit auffi qu'on peut toujours fous-entendre l'unité écrite fous une grandeur entiere ou rompue, comme étant le dénominateur de la fraction dont cette grandeur est le numerateur, fans que cela en change la valeur. N REMAR QUE. 276. On doit remarquer que dans les comparaifons des lignes, l'unité est ordinairement arbitraire, c'est à dire, qu'on peut prendre une des lignes données pour l'unité, en rapportant toutes les autres à cette ligne comme à leur unité: Mais quand on a ainfi déterminé l'unité, on ne doit plus dans toute la queftion que l'on veut refoudre, prendre d'autre FIG. 1. ligne pour l'unité; ainfi fuppofant dans les deux triangles femblables AMK, AHB, que AK = a, AB = AB = b, AH =d, AM= c; fi l'on prend la ligne AK (a) pour l'unité, l'expreffion br = AH(d) marquera le produit des lignes AB (b), AM (c), qui eft AH = Quand on a ainsi déterminé une des lignes d'une question comme a pour être l'unité, on y trouve ces deux commodités. 1°. On peut l'effacer des produits où elle fe trouve, ce qui abrege l'expreffion de ces produits, fans en diminuer la valeur, l'unité ne changeant rien dans la valeur des produits où elle fe trouve; ainfi abc bc, bed bcd. 2o. “On peut dans une équation rendre tous les termes d'un même nombre de dimenfions, en multipliant chaque terme par l'unité repetée autant de fois qu'il lui manque de dimenfions pour égaler les dimensions des autres termes, ce qui les rendra homogenes. Ainfi on rendra tous les termes de x3 +px. bcdo, homogenes, en écrivant x3 + apx =0; ou bien en divifant les termes qui ont le plus de dimensions par l'unité repetée autant de fois qu'il manque bcd de 277. de dimensions aux autres pour les égaler. Par exemple, on peut rendre homogenes tous les termes de xx- -bbcxccdd =o, en écrivant xx l'on bbcx-ccdd aa O. Les extractions des racines dans les calculs de l'Analyse, que marque par les fignes radicaux V, V, V, &c. comme Vab, Vabc, &c. & par les grandeurs mêmes qui font les racines, quand cela fe peut, comme a peut, comme a eft la racine quarrée de aa, b la racine cubique de 63, &c. font les expreffions des Problêmes ou des figures que l'on fait dans la Geometrie, pour trouver les lignes qui font moyennes proportionelles entre d'autres lignes, où entre l'unité & d'autres lignes. Par exemple Vab marque la ligne qui eft moyenne proportionelle entre la ligne a & la ligne b; abc exprime la premiere des deux lignes moyennes proportionelles entre la ligne qui eft prise pour l'unité, & la ligne qui eft exprimée par le produit abc des trois lignes a, b, c; & ainfi des autres. COROLLAIRE I L 278. Il est évident, après ce que l'on vient d'expliquer, que tous les calculs de l'Analyfe peuvent être reprefentés par les lignes & les figures de la Geometrie, par le moyen des triangles femblables & des proportions des lignes; & que tous les rapports de ces lignes qui forment les figures de la Geometrie, peuvent être marqués par les expreffions & les calculs de l'Analyse. 279. Il est de même évident que l'on peut changer, pour la commodité du calcul, des expreffions compofées en d'au tres plus fimples, & des expreffions embaraffantes en d'autres plus faciles, fans en changer la valeur. bc a l'on Par exemple, en nommant a la ligne prife pour l'unité, on peut réduire les produits les plus compofés à une feule lettre. Si l'on a bcde, 1°, faifant ab ::c., qu'on fuppofera =m, l'on aura am)= bc; & substituant am au lieu de bc, on aura amde = bcde. 2°. Faifant enfuite a . m :: d.n, aura an= md; & fubftituant cette valeur de md dans amde, on aura aane = bcde. 3°. Faifant enfin an: e. p, on aura. apne ; & fubftituant cette valeur de ne dans aane, on aura a'p bede, où fupprimant l'unité a3,on aura p➡bcde. Rrr |