PREMIERE PARTIE. SUPPOSITION OU DEMAND E. a Où l'on fait voir comment les calculs de l'Analyse expriment les proprietés, & refoudre les Problèmes. & les propriecés des figures de la Geometrie, il faut mar- Quand il y a dans les figures des lignes égales, on les la moitié, le tiers, &c. par ļa, ja, &c. 268. Il est évident que l'addition & la soustrađion des lettres , = i tous les autres rapports des lignes. grandeur a par la grandeur b, que l'on marque par ces let- Raq üj و dont le premier terme est l'unité, le second & le troisiéme font les grandeurs a & b à multiplier l'une par l'autre, & le quatrième terme est le produit ab de ces grandeurs ; ainsi chaque produit dans les operations de l'Analyse exprime une ligne qui est le quatrieme terme d'une proportion, dont les trois premiers termes qui font connus, sont l'unité & les deux grandeurs multipliées l'une par l'autre. Par exemple dans la premiere figure, supposé que A K soit l'unité ; ainsi AK =1; que A B=a, AM=e; l'on a, en supposano KM & BH paralleles, cette proportion AK (1). AB (a):: AM(e). AH=44, ou simplement ae = AH; parcequ'on peut toujours sous-entendre l'unité sous un produit, ou sous une grandeur sans la marquer. L'on voit donc que le produit de deux lignes AB(a) & AM (e) est une autre ligne AH=ae, qui est la quatrieme proportionelle à l'unité AK & à ces deux lignes AB (a) & AM(e). En supposant que les triangles AKM, ABH font semblables, que AK=1, AB =a, KM= =a, KM=k, BH=h; BH est aussi le produit de KM (k) par AB (a); puisqu'on a cette proportion A K(1). KM (k) :: A B (a). BH(h = ak). D'où l'on voit que quand on a deux lignes données. KM(k) & AB (a); pour trouver la ligne BH(h=ak), qui est leur produit, il n'y a qu'à faire les deux triangles semblables AKM, ABH, où AK soit I, KM=k, AB=0,& l'on trouvera BH = ak. 271. : Le produit de trois lignes aef , marque deux proportions ; par la premiere , l'unité est à la ligne a, comme la ligne é est à la ligne ae, qui est la quatrieme proportionelle, à l'unité & aux lignes a &e; par la seconde proportion l'unité est à la ligne ae, comme la ligne f est au produit des trois aef, qui est une ligne quatrieme proportionelle à l'unité & aux lignes ae & f. D'où l'on voit que le produit de quatre lignes aefg, marque_trois proportions ; le produit de cinq lignes aefgh, marque quatre proportions, &c. & que dans ces proportions le produit total n'est qu'une ligne qui refulte de toutes ces proportions. 27 2. Quand les produits sont composés de lettres égales, . comme i, a, aa, a', at, a', &c. il est évident que . les pro ز portions des lignes qui donnent ces produits sont continues, produits, ou de toutes ces puissances. l'on marque ainsi =í, ou simplement a, est une proportion inverse de la multiplication, dont le premier terme est AH (ae) ou la grandeur à diviser; le second terme est le diviseur AM (e); le troisiéme terme est le quotient AB (=a); le quatrieme terme est l'unité AK(1); ou bien, en faisant en sorte que les trois premiers termes de la proportion soient les trois termes donnés, la division est une proportion dont le premier terme est le diviseur AM(e), le second terme est la grandeur à diviser AH(ae); le troisiéme terme est l'unité AK (1); le quatriéme est le quotient AB=a) D'où l'on voit que le quotient d'une division n’exprime qu’une ligne qui est le quatriéme terme d'une proportion dont le diviseur est le premier terme, la grandeur à diviser le second, & l'unité le troisiéme. De même en supposant les triangles AKM, ABH sem- = D'où il est évident que quand on a deux lignes données = sera le quotient. L'on voit aussi que si la ligne à diviser étoit representée comme ae. AKSI; > & AB par a: AH AM ser AH, n'a aucune lettre commune avec l'expression du diviseur AB, que AH est, par exemple, exprimée parc, la division fe marque ainsi ; & supposant que A K est l'unité, l'on a toujours la même proportion ABla). AH(C) :: AK (1). AM= 275. D'où il est visible que lá), qui est l'expression du rap port de AH à AB, est la même chose que ax (); les rapports égaux exprimant des grandeurs égales ; & l'on voit aussi qu'on peut toujours sous-entendre l'unité écrite sous une grandeur entiere ou rompue, comme étant le dénominateur de la fraction dont cette grandeur est le numerateur, sans que cela en change la valeur. R E M A R RU E. 276. On doit remarquer que dans les comparaisons des lignes, l'unité est ordinairement arbitraire ; c'est à dire, qu'on peut prendre une des lignes données pour l'unité, en rapportant toutes les autres à cette ligne comme à leur unité : Mais quand on a ainsi déterminé l'unité, on ne doit plus dans toute la question que l'on veut resoudre , prendre d'autre Fig. 1. ligne pour l'unité; ainsi supposant dans les deux triangles semblables AMK, AHB, que AK=a, AB=b, AH =d, AM=r; fi l'on prend la ligne AK (a) pour l'unité, l'expression become AH(d) marquera le produit des lignes AB (6), AM(C), qui est AH = Quand on a ainsi déterminé une des lignes d'une question comme a pour être l'unité, on y trouve ces deux commodités. 1°. On peut l'effacer des produits où elle se trouve, . ce qui abrege l'expression de ces produits , sans en diminuer la valeur, l'unité ne changeant rien dans la valeur des produits où elle se trouve; ainsi tabc=bc, bad = bed. 2'. "On " peut dans une équation rendre tous les termes d'un même nombre de dimensions, en multipliant chaque terme par l'unité repetée autant de fois qu'il lui manque de dimenfions pour égaler les dimensions des autres termes, ce qui les rendra homogenes. Ainsi on rendra tous les termes de xi + px - bed=0, homogenes, en écrivant x' + apx — bed =0; ou bien en divisant les termes qui ont le plus de dimensions par l'unité repetée autant de fois qu'il manque de be = bbcx - add L de dimensions aux autres pour les égaler. Par exemple, on =o, en écrivant xx l'on marque par les signes radicaux V, V, V, &c. comme Vab, abc, &c. & par les grandeurs mêmes qui sont les racines, quand cela se peut, comme a est la racine quarrée de aa, 6 la racine cubique de b?, &c. sont les expressions des Problémes ou des figures que l'on fait dans la Geometrie, pour trouver les lignes qui sont moyennes proportionelles entre d'autres lignes, ou entre l'unité & d'autres lignes. Par exemple Vab marque la ligne qui est moyenne proportionelle entre la ligne a & la ligne bi Vabc exprime la premiere des deux lignes moyennes proportionelles entre la ligne qui est prise pour l'unité , & la ligne qui est exprimée par le produit abc des trois lignes a, b, c; & ainsi des autres. COROLL AIRE I. tous les calculs de l'Analyse peuvent être representes par , COROLLA IR E II. commodité du calcul , des expressions composées en d'au. Par exemple, en nommant a la ligne prise pour l'unité, "a.b Rrr bc |
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