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PREMIERE PARTIE.

De l'ufage de l'Analyse dans la refolution des Problêmes
de la Geometrie & des fciences phyfico-mathematiques,
en fe fervant des feuls calculs de l'Algebre ordinaire.

PREMIERE SECTION.

Où l'on fait voir comment les calculs de l'Analyfe expriment
tous les rapports des lignes & des figures, en font découvrir
les proprietés, & refoudre les Problèmes.

PREMIERE SUPPOSITION OU DEMANDE.

267. POUR

268.

a

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OUR exprimer par les calculs de l'Analyse les rapports F10. I.
& les proprietés des figures de la Geometrie, il faut mar-
quer les lignes de ces figures par les lettres de l'alphabet
par exemple dans la premiere figure'on nommera à le côté
AB du triangle ABH; b, le côté BH; c, le côté AH;
& de même des autres figures. On marque ainfi ces déno-
minations, AB = a; BH = b; AH = c; ou bien
AB (a) &c.

Quand il y a dans les figures des lignes égales, on les
nommera par une même lettre; de même quand une ligne
eft double, triple, &c. d'une autre ligne déja exprimée par
la lettre a, on la nommera 2a, 3a, &c. quand elle en est
la moitié, le tiers, &c. par a, a, &c.
들어,

Il est évident que l'addition & la fouftraction des lettres
qui expriment les lignes des figures, marquent que ces lignes
font ajoutées ensemble, ou retranchées les unes des autres;
par exemple fi AK=d, & AB = a; la fouftraction a-d Fio. I.
marquera que A K eft retranchée de AB; par confequent
ad KB. Il en eft de même de l'addition.

=

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269. L'expreffion marque le rapport de la ligne AB (a) à la ligne BH (b), ce qu'il faut remarquer dans l'expreffion de tous les autres rapports des lignes.

270.

La multiplication des grandeurs, par exemple de la grandeur a par la grandeur 6, que l'on marque par ces lettres jointes ensemble ab, ou par a × b, est une proportion Qqq iij

271.

272.

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dont le premier terme eft l'unité, le fecond & le troifiéme
font les grandeurs a & 6 à multiplier l'une
b par l'autre, &
le quatrième terme eft le produit ab de ces grandeurs; ainfi
chaque produit dans les operations de l'Analyfe exprime
une ligne qui eft le quatrième terme d'une proportion, dont
les trois premiers termes qui font connus, font l'unité &
les deux grandeurs multipliées l'une par l'autre. Par exem-
ple dans la premiere figure, fuppofé que AK foit l'unité
ainfi AK1; que AB = a, AM=e; l'on a, en fup-
pofant KM & BH paralleles, cette proportion AK (1)
AB (a) :: AM(e). AH, ou fimplement ae = AH;
parcequ'on peut toujours fous-entendre l'unité fous un pro-
duit, ou fous une grandeur fans la marquer. L'on voit donc
que le produit de deux lignes AB (a) & AM (e) est une
autre ligne AH-=ae, qui eft la quatrième proportionelle
à l'unité AK & à ces deux lignes AB (a) & AM(e).

En fuppofant que les triangles AKM, ABH font femblables, que AK=1, AB—a, KM=k, BH=h; BH eft auffi le produit de KM (k) par AB (a); puifqu'on a cette proportion AK (1). KM (k) :: AB (a). BH (b = ak).

D'où l'on voit que quand on a deux lignes données KM (k) & AB (a); pour trouver la ligne BH (bak), qui eft leur produit, il n'y a qu'à faire les deux triangles femblables AKM, ABH, où AK foit =1, KM= KM=k, AB= a, & l'on trouvera BH = ak.

Le produit de trois lignes aef, marque deux proportions; par la premiere, l'unité eft à la ligne a, comme la ligne e eft à la ligne ae, qui eft la quatrième proportionelle, à l'unité & aux lignes a & e; par la feconde proportion l'unité est à la ligne ae, comme la ligne ƒ eft au produit des trois aef, qui eft une ligne quatrième proportionelle à l'unité & aux lignes ae & f.

D'où l'on voit que le produit de quatre lignes aefg, marque trois proportions; le produit de cinq lignes aefgh, marque quatre proportions, &c. & que dans ces proportions le produit total n'eft qu'une ligne qui refulte de toutes ces proportions.

Quand les produits font compofés de lettres égales, comme I, a, aa, a3, aˆ, a', &c. il est évident que

les pro

portions des lignes qui donnent ces produits font continues,
& qu'ainfi tous ces produits pris de fuite font une progref
fion geometrique de lignes, dont la premiere aprés l'unité
eft reprefentée par la lettre a, qui eft la racine de tous ces
produits, ou de toutes ces puiffances.

273. La divifion d'une grandeur AH (ae) par une autre AM(e), FIG.I,
que l'on marque ainfi, ou fimplement a, est une
proportion inverse de la multiplication, dont le premier
terme eft AH (ae) ou la grandeur à divifer; le second ter-
me est le diviseur AM (e); le troifiéme terme eft le quotient
AB ( = a); le quatriéme terme eft l'unité AK(1); ou
bien, en faisant en forte que les trois premiers termes de la
proportion foient les trois termes donnés, la division est
une proportion dont le premier terme eft le divifeur AM(e),
le fecond terme eft la grandeur à divifer AH (ae); le troi-
fiéme terme est l'unité AK (1); le quatriéme eft le quotient
AB(a)

qu'un

D'où l'on voit que le quotient d'une division n'exprime 'une ligne qui eft le quatriéme terme d'une proportion dont le diviseur eft le premier terme, la grandeur à diviser le fecond, & l'unité le troifiéme.

De même en fuppofant les triangles AKM, ABH femblables, & que AB = a; BH=h=ak; KM=k, & 1; la ligne KM(k) fera le quotient de BH (ak) divifée par AB(a); puifque AB(a). BH (ak):: AK (1). KM (k).

AK=1;

D'où il est évident que quand on a deux lignes données BH (ak ou h), & AB(a); pour trouver la ligne KM (k), qui eft le quotient de BH (ak) divisée par AB(a), il n'y a qu'à faire les deux triangles femblables ABH, AKM, où BHak ouh, AB = a, AK=1, & la ligne KM(k) fera le quotient.

L'on voit auffi que fi la ligne à divifer étoit representée par le produit de plufieurs lettres aefg, qui marque que cette ligne eft le dernier terme d'une proportion précedée de plufieurs autres, l'on pourroit par la divifion en repaffant par toutes ces proportions, revenir à la premiere, dont le dernier terme ne feroit exprimé que par deux lettres,

comme ae.

274. Quand l'expression de la grandeur ou de la ligne à divi

275.

fer AH, n'a aucune lettre commune avec l'expreffion du
diviseur AB, que AH eft, par exemple, exprimée par c,
& AB par as
la divifion fe marque ainfi ; & fuppofant
que AK eft l'unité, l'on a toujours la même proportion
AB (a). AH (c) :: AK (1). AM=.

AH

AB

D'où il eft vifible que (), qui eft l'expreffion du rapport de ÄH à AB, est la même chose que(); les rapports égaux exprimant des grandeurs égales; & l'on voit auffi qu'on peut toujours fous-entendre l'unité écrite fous une grandeur entiere ou rompue, comme étant le dénominateur de la fraction dont cette grandeur est le numerateur, fans que cela en change la valeur.

N

REMAR QUE.

276. On doit remarquer que dans les comparaifons des lignes, l'unité est ordinairement arbitraire, c'est à dire, qu'on peut prendre une des lignes données pour l'unité, en rapportant toutes les autres à cette ligne comme à leur unité: Mais quand on a ainfi déterminé l'unité, on ne doit plus dans toute la queftion que l'on veut refoudre, prendre d'autre FIG. 1. ligne pour l'unité; ainfi fuppofant dans les deux triangles femblables AMK, AHB, que AK = a, AB = AB = b, AH =d, AM= c; fi l'on prend la ligne AK (a) pour l'unité, l'expreffion br = AH(d) marquera le produit des lignes AB (b), AM (c), qui eft AH =

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Quand on a ainsi déterminé une des lignes d'une question comme a pour être l'unité, on y trouve ces deux commodités. 1°. On peut l'effacer des produits où elle fe trouve, ce qui abrege l'expreffion de ces produits, fans en diminuer la valeur, l'unité ne changeant rien dans la valeur des produits où elle fe trouve; ainfi abc bc, bed bcd. 2o. “On peut dans une équation rendre tous les termes d'un même nombre de dimenfions, en multipliant chaque terme par l'unité repetée autant de fois qu'il lui manque de dimenfions pour égaler les dimensions des autres termes, ce qui les rendra homogenes. Ainfi on rendra tous les termes de x3 +px. bcdo, homogenes, en écrivant x3 + apx =0; ou bien en divifant les termes qui ont le plus de dimensions par l'unité repetée autant de fois qu'il manque

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bcd

de

277.

de dimensions aux autres pour les égaler. Par exemple, on peut rendre homogenes tous les termes de xx- -bbcxccdd =o, en écrivant xx

l'on

bbcx-ccdd

aa

O.

Les extractions des racines dans les calculs de l'Analyse, que marque par les fignes radicaux V, V, V, &c. comme Vab, Vabc, &c. & par les grandeurs mêmes qui font les racines, quand cela fe peut, comme a peut, comme a eft la racine quarrée de aa, b la racine cubique de 63, &c. font les expreffions des Problêmes ou des figures que l'on fait dans la Geometrie, pour trouver les lignes qui font moyennes proportionelles entre d'autres lignes, où entre l'unité & d'autres lignes. Par exemple Vab marque la ligne qui eft moyenne proportionelle entre la ligne a & la ligne b; abc exprime la premiere des deux lignes moyennes proportionelles entre la ligne qui eft prise pour l'unité, & la ligne qui eft exprimée par le produit abc des trois lignes a, b, c; & ainfi des autres. COROLLAIRE I

L

278. Il est évident, après ce que l'on vient d'expliquer, que tous les calculs de l'Analyfe peuvent être reprefentés par les lignes & les figures de la Geometrie, par le moyen des triangles femblables & des proportions des lignes; & que tous les rapports de ces lignes qui forment les figures de la Geometrie, peuvent être marqués par les expreffions & les calculs de l'Analyse.

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279. Il est de même évident que l'on peut changer, pour la commodité du calcul, des expreffions compofées en d'au tres plus fimples, & des expreffions embaraffantes en d'autres plus faciles, fans en changer la valeur.

bc

a

l'on

Par exemple, en nommant a la ligne prife pour l'unité, on peut réduire les produits les plus compofés à une feule lettre. Si l'on a bcde, 1°, faifant ab ::c., qu'on fuppofera =m, l'on aura am)= bc; & substituant am au lieu de bc, on aura amde = bcde. 2°. Faifant enfuite a . m :: d.n, aura an= md; & fubftituant cette valeur de md dans amde, on aura aane = bcde. 3°. Faifant enfin an: e. p, on aura. apne ; & fubftituant cette valeur de ne dans aane, on aura a'p bede, où fupprimant l'unité a3,on aura p➡bcde.

Rrr

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