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PREMIERE PARTIE.
De l'usage de l'Analyse dans la resolution des Problêmes
de la Geometrie e des sciences physico-mathematiques,
enfe feruant des feuls calculs de l'Algebre ordinaire.

OU

DEMANDE.

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PREMIERE SECTION.
l'on fait voir comment les calculs de l'Analyse expriment
tous les rapports des lignes & des figures, en fant découvrir

les proprietés, & refoudre les Problèmes.
PREMIERE SUPPOSITION
267. Pour exprimer par, les calculs de l'Analyse les rapports Fro. I.

& les propriecés des figures de la Geometrie, il faut mar-
quer les lignes de ces figures par les lettres de l'alphabet ;
par exemple dans la premiere figure'on nommera a le côté
AB du triangle ABH; 6, le côté BH; C, le côté AH;
& de même des autres figures. On marque ainsi ces déno.
minations, AB=a; BH = b; AH=r; ou bien
AB(a) &c.

Quand il y a dans les figures des lignes égales, on les
nommera par une même lettre; de même quand une ligne
est double, triple , &c. d'une autre ligne deja exprimée par
la lettre a, on la nommera 2a, 3a, &c. quand elle en est

la moitié, le tiers, &c. par ja, ja, &c.
268. Il est évident que l'addition & la soustra&tion des lettres

qui expriment les lignes des figures, marquent que ces lignes
sont ajoutées ensemble, ou retranchées les unes des autres;
par exemple si AK=d, & AB=a; la soustraction a-d F10. I.
marquera que A K est retranchée de AB; par consequent
ada

KB. Il en est de même de l'addition.
269. L'expression marque le rapport de la ligne AB(a) à la

ligne BH(6), ce qu'il faut remarquer dans l'expression de

tous les autres rapports des lignes.
270. La multiplication des grandeurs, par exemple de la
grandeur a par

a par la grandeur b, que l'on marque par ces let-
tres jointes ensemble ab, ou par a xb, est une proportion

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dont le premier terme est l'unité, le second & le troisiéme sont les grandeurs a & b à multiplier l'une par l'autre , & le quatrième terme est le produit ab de ces grandeurs; ainsi chaque produit dans les operations de l'Analyse exprime une ligne qui est le quatrième terme d'une proportion, dont les trois premiers termes qui font connus, sont l'unité & les deux grandeurs multipliées l'une par l'autre. Par exemple dans la premiere figure, supposé que A K soit l'unité ; ainsi AK = 1; que AB=a, AM=e; l'on a, en supposano KM & BH paralleles, cette proportion AK (1). AB (a):: AM(e). AH=9, ou simplement ae = AH; parcequ'on peut toujours sous-entendre l'unité sous un produit, ou sous une grandeur fans la marquer. L'on voit donc que

le produit de deux lignes AB(a) & AM (e) est une autre ligne AH=ae, qui est la quatrieme proportionelle à l'unité AK & à ces deux lignes AB (a) & AM(e).

En supposant que les triangles AKM, ABH sont semblables, que AK=1, AB=a, KM=k, BH=h; BH est aussi le produit de KM (k) par AB(a); puisqu'on a cette proportion. A K(1). KM (k):: A B (a). BH (h. = ak).

D'où l'on voit que quand on a deux lignes données KM(k) & AB (a); pour trouver la ligne BH(b=ak), qui est leur produit, il n'y a qu'à faire les deux triangles semblables AKM, ABH, AK soit =1, KM=k,

AB=a,& l'on trouvera. BH = ak. 271. :

Le produit de trois lignes aef , marque deux proportions; par la premiere , l'unité est à la ligne a, comme la ligne e est à la ligne ae, qui est la quatrieme proportionelle, à l'unité & aux lignes a & e; par la seconde proportion l'unité est à la ligne ae, comme la ligne f est au produit des trois aef, qui est une ligne quatrième proportionelle à l'unité & aux lignes ae & f.

D'où l'on voit que le produit de quatre lignes aefg, marque_trois proportions ; le produit de cinq lignes aefgh, marque quatre proportions, &c. & que dans ces proportions le produit total n'est qu'une ligne qui resulte de toutes ces

proportions. 27 2. Quand les produits sont composés de lettres égales, comme i, a

a, aa, a', af, a', &c. il est évident que les pro

portions des lignes qui donnent ces produits sont continues,
& qu’ainsi tous ces produits pris de fuitė font une progres-
fion geometrique de lignes, dont la premiere aprés l'unité
est representée par la lettre a, qui est la racine de tous ces

produits, ou de toutes ces puissances. 273. La division d'une grandeur AH(ae) par une autre AM(e), Fig. 1. que

l'on marque ainsi =í, ou simplement a, est une proportion inverse de la multiplication, dont le premier terme est AH (ae) ou la grandeur à diviser; le second terme est le diviseur AM(e); le troisiéme terme est le quotient AB(=a); le quatrieme terme est l'unité AK(1); ou bien, en faisant en sorte que les trois premiers termes de la proportion soient les trois termes donnés, la division est une proportion dont le premier terme est le diviseur AM(e), le second terme est la grandeur à diviser AH(ae); le troifiéme terme est l'unité AK (1); le quatriéme est le quotient AB=a)

D'où l'on voit que le quotient d'une division n'exprime qu'une ligne qui est le quatrieme terme d'une proportion dont le diviseur est le premier terme, la grandeur à diviser le second, & l'unité le troisiéme.

De même en supposant les triangles AKM, ABH semblables, & que AB=a; BH=h=

=a; BH=h=

ak; KM=k, & AK=1; la ligne KM(k) sera le quotient de BH(ak) divisée

par AB(A); puisque AB(a). BH(ak):: AK (1). KM!k).

D'où il est évident que quand on a deux lignes données BH(ak ou h), & AB(a); pour trouver la ligne KM(k), qui est le quotient de BH(ak) divisée par AB(a), il n'y a qu'à faire les deux triangles semblables ABH, AKM, où BH = ak ou h, AB = a, Ak=1, & la ligne KM (k) fera le quotient.

L'on voit aussi que si la ligne à diviser étoit representée par le produit de plusieurs lettres aefg, qui marque que cette ligne est le dernier terme d'une proportion précedée de plusieurs autres, l'on pourroit par la division en repassant par toutes ces proportions, revenir à la premiere , dont le dernier terme ne seroit exprimé que par deux lettres

comme ae. 274. Quand l'expression de la grandeur ou de la ligne à divi

ser AH , n'a aucune lettre commune avec l'expression du
diviseur AB, que AH est, par exemple, exprimée parc,
& AB par a , la division se marque ainli ; & fupposant
que AK est l'unité, l'on a toujours la même proportion

AB(a). AH(c):: AK (1). AM=H.
275 D'où il est visible que lá), qui est l'expression rap-

port de AH à AB, est la même chose que ); les
rapports égaux exprimant des grandeurs égales ; & l'on
voit aussi qu'on peut toujours sous-entendre l'unité écrite
sous une grandeur entiere ou rompue, comme étanë le
dénominateur de la fraction donc cette grandeur est le
numerateur, sans que cela en change la valeur.

R E MARQUE.
276. On doit remarquer que dans les comparaisons des lignes,

l'unité est ordinairement arbitraire ; c'est à dire, qu'on peut
prendre une des lignes données pour l'unité, en rapportant
toutes les autres à cette ligne comme à leur unité : Mais
quand on a ainsi déterminé l'unité, on ne doit plus dans

toute la question que l'on veut resoudre , prendre d'autre FIG. 1. ligne pour l'unité; ainsi supposant dans les deux triangles

semblables AMK, AHB, que AK =a, AB = b, AH
=d, AM=c; fi l'on prend la ligne AK (a) pour l'unité,
l'expression bio = AH(d) marquera le produit des lignes
AB (6), AM(C), qui est AH = ,

Quand on a ainsi déterminé une des lignes d'une question
comme a pour être l'unité, on y trouve ces deux commo-
dités. 1'. On peut l'effacer des produits où elle se trouve,
ce qui abrege l'expression de ces produits , sans en diminuer
la valeur, l'unité ne changeant rien dans la valeur des pro-
duits où elle se trouve; ainsi tabc =bc, bad bcd. 2?. On
peut

dans une équation rendre tous les termes d'un même nombre de dimensions, en multipliant chaque terme par l'unité repetée autant de fois qu'il lui manque de dimenfions pour égaler les dimensions des autres termes, ce qui les rendra homogenes. Ainsi on rendra tous les termes de xi + px

bcd =o, homogenes, en écrivant x' + apx — bed =0; ou bien en divisant les termes qui ont le plus de dimensions par l'unité repetée autant de fois qu'il manque

de

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bc

1

bbcx - add

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aa,

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de dimensions aux autres pour les égaler. Par exemple, on -
peut rendre homogenes tous les termes de xx

bbcxccdd
=o, en écrivant xx
277

Les extractions des racines dans les calculs de l'Analyse, que l'on marque par les signes radicaux V, , , &c. comme Vab, jabc, &c. & par les grandeurs mêmes qui sont les racines, quand cela fe peut, comme a est la racine quarrée de 6 la racine cubique de b}, &c. sont les expressions des Problêmes ou des figures que l'on fait dans la Geometrie, pour trouver les lignes qui sont moyennes proportionelles entre d'autres lignes, ou entre l'unité & d'autres lignes. Par mple Vab marque la ligne qui eft moyenne proportionelle entre la ligne a & la ligne bi Vabc exprime la premiere des deux lignes moyennes proportionelles entre la ligne qui est prise pour l'unité , & la ligne qui est exprimée par le produit abc des trois lignes a, b, c ; & ainsi des autres,

COROLL AIRE I.
278. Il est évident, aprés ce que l'on vient d'expliquer, que

tous les calculs de l'Analyse peuvent être representés par
les lignes & les figures de la Geometrie, par

le moyen des
triangles semblables & des proportions des lignes ; &

que tous les rapports de ces lignes qui forment les figures de la Geometrie, peuvent être marqués par les expreslions & les. calculs de l'Analyse.

COROLLAIRE II.
279. Il est de même évident que l'on peut changer, pour la

commodité du calcul , des expressions composées en d'au.
tres plus simples, & des expressions embarassantes en d'au-
tres plus faciles, fans en changer la valeur.

Par exemple, en nommant a la ligne prise pour l'unité,
on peut réduire les produits les plus composés à une seule
lettre. Si l'on a bude, io, faisant a : 6::c... ; qu'on supposera
=m, l'on aura am=bci & substituant am au lieu de bo,
on aura amde = bode. 2o. Faisant ensuite a.m::d in, l'on
aura an=md; & substiruant cetre valeur de md dans amde,
on aura aane =bcde. 3o. Faisant enfin a.n:: cip, on aura
ap=ne ;. & substituant cette valeur de ne dans aane, on
aura a'p=bode.; où supprimant l'unité a' ,on aura p=bode.

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