Si l'on avoit bede b, on trouveroit ap = bcde, & aaq=fgh, & l'on auroit음 = 4; ensuite faisant q. p :: a (1) . r, on auroit

==

asp
arq

Si l'on avoit une fraction dont le numerateur & le dénominateur fussent complexes; c'est à dire, continssent plusieurs produits joints par + & -, on pourroit abreger de même l'expression de cette fraction complexe.

On peut aussi abreger l'expression des fractions dont le numerateur & le dénominateur contiennent le produit de plusieurs lettres comme, en faisant en forte que la même lettre se trouve au numerateur & au dénominateur, ce qui la fait évanouir; car faisant a . b :: cm, on aura am = bc, & abcd = aamd; puis faisant comme a. m::d.n, on aura abcd = aaan; faisant de même pour le dénominateur a. e :: f. p, on aura ap = ef, & efg = apg; faisant ensuite a. p::g.q, on aura aq=pg; ainsi efg = aaq, & = ; enfin faisant q, a :: n. r, on aurar. Si l'on avoit bc-de, en trouvant m moyenne proportionelle entre b & c, & n moyenne proportionelle entre d & e, l'on changeroit l'expression bc - de en mm - nn qui lui feroit égale.

abcd

ef 8

a3n

aaq

an

Il y a beaucoup d'autres manieres de changer ainsi les expressions en d'autres, sans en changer la valeur que l'on tire des triangles semblables, & des autres figures de la Geometrie ordinaire.

Seconde supposition ou demande.

280. DANS les propositions de Geometrie où il s'agit de la furface des figures, les produits des calculs de l'Analyse FIG. I. expriment les aires des figures; par exemple nommant a la base GF du quarré GH, & a sa hauteur GI, aa est l'expression de l'aire du quarré GH. De même nommant a la base AB du triangle rectangle ABH, & fa hauteur BH, b;

ab sera l'expression de l'aire du triangle ABH. Supposant aussi dans le rectangle GFBC, sa base GF = a, sa hauteur GC = b; le produit ab sera l'expression de l'aire de ce rectangle. Il en est ainsi des autres.

Dans les propofitions qui regardent les corps solides, les produits des operations analytiques expriment la solidité

:

des corps; par exemple nommant aa le quarré GH; si
l'on conçoit le cube dont ce quarré est la base, a sera l'ex-
pression de la folidité de ce cube; de même abc sfera l'ex-
pression d'un prisme dont la base est representée par le pro-
duit des lignes a & b, & la hauteur par c; abc sera l'expref
fion d'une piramide qui aura la même base & la même hau-
teur que le prisme précedent. Il en est ainsi des autres.

L'addition & la soustraction des produits qui reprefen-
tent des surfaces, expriment que ces surfaces font ajoutées
les unes aux autres, ou retranchées les unes des autres:
C'est la même chose des produits qui expriment des solides.

Troisième supposition on demande fur l'usage des fignes + & -
par rapport à la Geometrie.

L

281. SUPPOSANT que les deux lignes DAE, CAB se coupent Fic. I. à angles droits au point A, & que les lignes paralleles à l'une & à l'autre qui font dans les quatre angles droits, comme RM, KM,OL, AO, KL, ON, PN, RQ, QF, &c. foient comprises dans un Problême, quand on a besoin de diftinguer entre les paralleles à AB, celles qui vont vers la droite de celles qui vont vers la gauche, & entre les paralleles à DAE, celles qui descendent de celles qui vont en montant, on nomme parmi les premieres qui vont vers la droite ou vers la gauche, les unes positives & l'on met au devant le figne +, & les autres négatives & l'on met au devant le signe -; on fait la même chose pour diftinguer entre les paralleles à DA E, celles qui descendent de celles qui montent. Il est libre au commencement de l'operation de prendre pour positives lesquelles on voudra entre celles qui vont de gauche à droite, ou de droite à gauche ; & de même entre celles qui defcendent & celles qui montent : Mais si l'on se détermine à mettre le signe + deyant celles qui vont de gauche à droite, comme AB, DH, EF; celles qui vont de droite à gauche, comme AC, D1, EG, &c. doivent avoir le signe De même si l'on se détermine à mettre le figne + devant celles qui descendent, comme AE, BF, CG, &c. on doit écrire le figne - devant celles qui vont en montant, comme AD, BH, CI, &c, Le terme où commencent les positives & les négatives de gauche à

一.

droite, ou de droite à gauche, eft la ligne DAE; le terme où commencent les positives qui defcendent & les négatives qui montent, eft la droite CAB.

Appellant l'angle EA B le premier, DAB le second, CAE le troifiéme, & DAC le quatrième, les lignes du premier feront toutes positives; entre les lignes du second, celles qui font vers la droite sont pofitives, & celles qui montent font négatives; dans le troisieme, celles qui vont à gauche font négatives, & celles qui defcendent, positives; & dans le quatrième, les unes & les autres font négatives,

Supposant A0 =+=+1, OL=+b, AE=+c, l'on aura dans les triangles semblables OAL, EAF, AO (+aou+r). OL (+b) :: AE(+c).EF=+d'où l'on voit comment + multiplié par, donne un produit qui a +.

Faifant AO+a=+1, AE=+c, ON=-d, l'on aura dans les triangles semblables OAN, EAG, AO (+ a ou + 1). AE(+c) :: ON(-d). EG =-.

Comme aussi en nommant KM, (+e), on aura à cause des triangles semblables OAN, KAM, AO (+aou + 1). ON(-d):: KM(+c). AK=-; d'où l'on voit comment + multiplié par -, ou - par, donne un produit qui a -.

Supposant encore AR = - f, l'on aura à cause des triangles semblables OAL, QAR, AO(+aou+1). OL(+6) :: AR(-f). RQ=- ; d'où l'on voit en. core comment + par-, ou-par+, donne un produit qui

a

一.

Enfin à cause des triangles semblables OAN, RAM, l'on aura AO (+ a ou + 1). ON (-) :: AR (-f. RM=+4;

a

d'où l'on voit comment

un produit qui a +.

par -, donne

De même dans les surfaces le rectangle AF fait du pro

duit de + A E par + AB, fera positif.

Le rectangle AH fait de - AD par + AB, sera négatif. Le rectangle AG fait de + AE par - AC, sera négatif. Mais le rectangle AI fait de AD par AC, fera positif; & du côté oppofé au rectangle négatif AH fait de - DA par + AB. L'on suppose dans tous les produits P'unité positive,

:

D'où l'on voit que les aires qui sont dans les côtés opposés de la ligne qu'on a prise pour terme entre les grandeurs positives & les négatives, font l'une positive, & l'autre négative.

On peut aifément appliquer ceci aux produits qui expriment la folidité des corps.

COROLLAIRE.

282. Les deux mêmes lignes DAE, CAB se coupant au Fre. I. point A à angles droits, ou en faisant ensemble au point A tel angle aigu qu'on voudra; qu'on tire la ligne FA I, faisant au point A avec l'une ou l'autre tel angle aigu OAL qu'on voudra: Concevant ces lignes prolongées à l'infini, & que par tous les points de DA E on mene des lignes comme DI, R2, OL, EF, &c. paralleles à la ligne CAB, jusqu'à la rencontre de FAI, & de même par tous les points de CAB des paralleles à DAE, jusqu'à la rencontre de la même ligne FA1, comme PQ, CI, KL, BF, &c. On fuppofera la ligne A0 = + a, OL = + 6; on nommera auffi + x chacune des lignes comme AE depuis A en descendant prises sur AOE, jusqu'à la rencontre de chaque parallele, comme EF; on nommera + y chaque ligne comme E F menée par ce point E parallele à AB; mais on nommera - x chacune des parties AR, AD de la ligne AD, qui vont en montant & qui se terminent aux paralleles RQ, DI, à CBA, & ces paralleles R2, DI feront nommées - y.

Cela suppose, il est évident, à cause des paralleles, que
AO(+a). OL(+6) :: AE (+x). EF (+y); & par
consequent + bx +ay, & +y=+: Et de même
AO(+a).OL(+6) :: AD(-x). DI (-y); d'où l'on

bx=-ay, &-y=-.

a

a

Il est évident que l'équation y = convient à chacune des paralleles menée de chacun des points de A OE jusqu'à la ligne ALF; de forte qu'en déterminant la grandeur de chaque x, comme AE, la grandeur de EF (y) qui lui répond est déterminée. Il faut entendre la même chose de l'équation - y = - par rapport aux paralleles RQ, DI de l'autre côté.

bx

bx

D'où l'on voit que l'équation indéterminée y = 4, convenant à toutes les paralleles y par rapport aux x qui leur répondent, & en exprimant la grandeur par rapport à ces x correspondantes; elle détermine le lieu de tous les points de la ligne droite AF qui pafle par toutes les extremités des y, & elle détermine ce lieu de la ligne droite AF par rapport à la ligne AOE. Cela eft cause qu'on nomme l'équation y = le lien à la ligne droite, ou l'équation à la ligne droite ; & la ligne droite AF eft la ligne à qui convient cette équation, qui étant prolongée en Al est aussi la ligne à qui convient l'equation - y = -, qui est la même que la précedente.

Dans un lieu, par exemple, exprimé par y=, & conftruit geometriquement par la figure EAF, DAI, on nomme le point A où commencent les x positives prises sur AE, & les x négatives sur AD, l'origine: la ligne AE & AD fur laquelle se prennent les x, se nomme la ligne des coupées ou des abcisses : les lignes AE, AD, nommées x, s'appellent les coupées ou les abcisses : les paralleles EF, OL, &c. qui font les y, se nomment les ordonnées, & encore les appliquéess chaque abciffe x & fon ordonnée correspondante y, se nomment les coordonnées : la ligne CAB menée par l'origine A parallele aux ordonnées, s'appelle la ligne des ordonnées ; & l'on peut concevoir que les y se prennent sur cette ligne, & rapporter le lieu IAF à cette ligne CAB par le moyen des paralleles KL, PQ, &c. à la ligne DAE; car l'on aura AK =OL(+6). KL=A0 (a) :: AB = EF(y). BF = AE ( x ) ; d'où l'on déduira BF (x) = ; l'on trouvera de même PQou CI (-x)=-7.

ay

bx

Dans une équation comme y = 1, qui exprime le lieu d'une ligne les x, & de même les y marquant des lignes qur vont en croissant successivement, ou en diminuant successivement; on les appelle grandeurs changeantes ou variables, & les grandeurs déterminées, comme AO (a), OL (6), fe nomment grandeurs constantes.

D'où l'on voit que dans les Problêmes de Geometrie, il faut diftinguer les grandeurs variables, les inconnues, les indéterminées, & les déterminées ou connues. Les variables sont celles qui dans une figure vont en croissant ou en diminuant successivement, ausquelles convient un même raport,