Si l'on avoit bietenon trouveroit a'p=bcde, & aaq=fgh, & l'on auroit bien == ; ensuite faisant q.p::a (1)., on auroit ==r.

Si l'on avoit une fraction dont le numerateur & le déno-
minateur fussent complexes; c'est à dire,continfsent plusieurs
produits joints par + &-, on pourroit abreger de même
l'expression de cette fraction complexe.

On peut aussi abreger l'expression des fractions dont le
numerateur & le dénominateur contiennent le produit de
plusieurs lettres comme celeste, en faisant en sorte que la
même lettre se trouve au numerateur & au dénominateur
ce qui la fait évanouir ; car faisant a.b:: cm, on aura am
=bc, & abcd= aamd; puis faisant comme a .m :: d.
on aura abcd = aaan; faisant de même pour le dénomina-
teur a .e::f. p, on aura ap sef, & efg

= apg; faisant
ensuite a.p:: 8.9, on aura aq=pg; ainfi efg daq, &

an = m; enfin faisant q,a :: n.r, on aura r =** Si l'on avoit b c de, en trouvant m moyenne proportionelle entre b&c,&n moyenne proportionelle entre d& e, l'on changeroit l'expression bc- de en mm

nn qui lui Il y a beaucoup d'autres manieres de changer ainsi les expressions en d'autres , sans en changer la valeur que

l'on tire des triangles semblables, & des autres figures de la Geometrie ordinaire.

abcd
ef8

seroit égale.

Seconde supposition ou demande. 280. Dans les propositions de Geometrie où il s'agit de la

surface des figures, les produits des calculs de l'Analyse Fig. I. exprinient les aires des figures ; par exemple nommant a la

base GF du quarré GH, & a la hauteur GI, aa est l'ex-
pression de l'aire du quarré GH. De même nommant a la
base AB du triangle rectangle ABH, & la hauteur BH,b;
{ab sera l'expreslion de l'aire du triangle ABH. Supposant
aussi dans le rectangle GFBC, sa base GF-a, fa hauteur
GC = b; le produit ab sera l'expression de l'aire de ce
rectangle. Il en est ainsi des autres.

Dans les propositions qui regardent les corps solides, les
produits des operations analytiques expriment la solidité

des corps ; par exemple nommant aa le quarré GHL
l'on conçoit le cube dont ce quarré est la bale, a' sera l'ex-
pression de la solidité de ce cube ; de même abc sera l'ex-
pression d'un prisme dont la base est representée par le pro-
duit des lignes a &b, & la hauteur par ci fabc sera l'express
sion d'une piramide qui aura la même base & la même hau-
teur que le prisme précedent. Il en est ainsi des autres.

L'addition & la soustraction des produits qui represen-,
tent des surfaces, expriment que ces surfaces sont ajoutées
les unes aux autres, ou retranchées les unes des autres :
C'est la même chose des produits qui expriment des solides.
Troisiéme supposition of demande sur l'usage des signes + eta

par rapport à la Geometrie. 281. SUPPOSANT que les deux lignes DAE, CAB se coupent Fig. I.

à angles droits au point A, & que les lignes paralleles à
l'une & à l'autre qui sont dans les quatre angles droits,
comme RM,KM,OL, AO, KL,ON, PN, RQ, ?', &c.
soient comprises dans un Problême, quand on a besoin de
distinguer entre les paralleles à AB, celles qui vont vers la
droite de celles qui vont vers la gauche, & entre les paral-
leles à D A E, celles qui descendent de celles qui vont en
montant, on nomme parmi les premieres qui vont vers la
droite ou vers la gauche, les unes positives & l'on met au
devant le signe +,

& les autres négatives & l'on met au
devant le signe --- ; on fait la même chose pour distinguer
entre les paralleles à DAE, celles qui descendent de celles
qui montent. Il est libre au commencement de l'operation
de prendre pour positives lesquelles on voudra entre celles
qui vont de gauche à droite, ou de droite à gauche; & de
même entre celles qui descendent & celles qui montent :
Mais si l'on se détermine à mettre le signe +: deyant celles
qui vont de gauche à droite, comme AB, DH, EF; celles

vont de droite à gauche, comme AC, DI, EG, &c. doivent avoir le signe — . De même si l'on se détermine à mettre le signe + devant celles qui descendent, comme AE, BF, CG, &c. on doit écrire le signe -- devant celles qui vont en montant, comme AD, BH, CI, &c, Le terme où commencent les positives & les négatives de gauche à

qui

cd

droite, ou de droite à gauche, est la ligne DAE; le terme où commencent les positives qui descendent & les négatives qui montent, est la droite CAB.

Appellant l'angle EA B le premier, DA B le second, CA E le troisiéme , & DAC le quatriéme, les lignes du premier feront toutes positives; entre les lignes du lecond, celles qui font vers la droite sont positives, & celles qui montent font négatives; dans le troisiéme, celles qui vong à gauche font négatives , & celles qui defcendent, pofitives; & dans le quatrième, les unes & les autres sont négatives,

Supposant AO=+a=+1, OL = +6, AE = +0, l'on aura dans les triangles semblables O AL, EAF, AO (+a ou + 1). OL(+6)::AE(+6). EF =+his; d'où l'on voit comment + multiplié par + , donne un produit qui a +

Faisant 40 ta=+1, AE=+C, ON=-d, l'on aura dans les triangles fęınblables OAN, EAG, AO +ou +I). AE(+6)::ONI-d). EG=

Comme aussi en nommant KM,/+e), on aura à cause des triangles semblables (AN, KAM, A0(+a ou + I). ON(-d):: KM(+1). AKS -de; d'où l'on voie comment + multiplié par --, ou par +, duit qui a .

Supposant encore AR- f, l'on aura à cause des triangles semblables OAL, QÅR, AO(+ a ou +1), OL(+6) :: AR(-f).RQ=-bad; d'où l'on voit en. core comment + par, ou par +,

donne un produit qui a

Enfin à cause des triangles semblables OAN, RAM, Pon aura AO (+ a ou +1).ON —d) :: AR (-f. RM=+df ; d'où l'on voit cominent — un produit qui a +.

De même dans les surfaces le rectangle AF fait du produit de + A E par + A B, sera positif.

Le rectangle AH fait de AD par + AB, sera négatif. Le rectangle AG fait de + AE par AC, sera négatif,

Mais le rectangle A I fait de AD par — AC, sera positif ; & du côté opposé au rectangle negatif A H fait de DA par + AB. L'on suppose dans tous les produits Punité politive,

donne un pro

par -, donne

tous

D'où l'on voit que les aires qui sont dans les côtés opposés de la ligne qu'on a prise pour terme entre les grandeurs positives & les négatives, sont l’une positive, & l'autre négative.

On peut aisément appliquer ceci aux produits qui exprimenc la solidité des corps.

COROLLA I R E.
282. Les deux mêmes lignes DAE, CAB se coupant au Fig. 1,

point A à angles droits, ou en faisant ensemble au point A
tel angle aigu qu'on voudra; qu'on tire la ligne F A 1, faisant
au point A avec l'une ou l'autre tel angle aigu O AL qu'on
voudra : Concevant ces lignes prolongées à l'infini, & que
par les points de DAE on mene des lignes comme Di,
R2, OL, EF, &c. paralleles à la ligne CAB, jusqu'à la
rencontre de FA1, &de même par tous les points de CAB
des paralleles à D A E, jusqu'à la rencontre de la même
ligne FA1, comme PQ, CI, KL, BF, &c. On supposera
la ligne AO=+a, OL= +b; on nommera aussi + x
chacune des lignes comme A E depuis A en descendant
prises sur AOE, jusqu'à la rencontre de chaque parallele,
comme EF; on nommera + y chaque ligne comme EF
menée par ce point E parallele à AB; mais on nom-
mera --- x chacune des parties AR, AD de la ligne AD,
qui vont en montant , & qui se terminent aux paralleles
ŘQ, DI, à CBA,& ces paralleles R2, Di seront nom-

Cela supposé, il est évident, à cause des paralleles, que
AO(+a).0L(+6):: A E (+ *). EF(+y); & par
consequent + bx=+ay, & + y=+ bant: Et de même
AO (+ a).OL(+6):: AD (-- *). DI(-y); d'où l'on
aura - bx=ay, &-y=-

Il est évident que l'équation y=bene convient à chacune des paralleles menée de chacun des points de Ave jusqu'à la ligne ALF; de forte qu'en déterminant la grandeur de chaque x, comme AE, la grandeur de EF (y ) qui lui répond est déterminée. Il faut entendre la même chose de l'équation ya

bet par rapport aux paralleles RG, Di de l'autre côté,

mées - y

bx

br

D'où l'on voit que l'équation indéterminée y= be convenant à toutes les paralleles y par rapport aux x qui leur répondent , & en exprimant la grandeur par rapport à ces x correspondantes; elle détermine le lieu de tous les points de la ligne droite Af qui pasle par toutes les extremités des y, & elle détermine ce lieu de la ligne droite AF par rapport à la ligne AOE. Cela est cause qu'on nomme l'équation y= bor le lien à la ligne droite , ou l'équation à la ligne droite ; & la ligne droite AF est la ligne à qui convient cette équation, qui étant prolongée en A1 est aussi la ligne à qui convient l'équation — y= qui est la même que la precedente.

Dans un lieu, par exemple, exprimé par y=& construit geometriquement par la figure E AF, DAI, on nomme le point A où commencent les x positives prises sur AE, & les x négatives sur AD, l'origine : la ligne AE & AD sur laquelle se prennent les x, se nomme la ligne des coupées ou des abcisses : les lignes AE, AD, nommées x, s'appellent les coupées ou les abcilles : les paralleles EF, OL, &c. qui sont

se nomment les ordonnées , & encore les appliquées; chaque abcisse x & son ordonnée correspondante y, se nomment les coordonnées : la ligne CAB menée par l'origine A parallele aux ordonnées, s'appelle. la ligne des ordonnées ; & l'on peut concevoir que les y se prennent sur cette ligne , & rapporter le lieu I AF à cette ligne CAB par le paralleles KL, PL, &c. à la ligne D'AE ; car l'on aura AK =OL(+6). KL=AO (a) :: AB= = EF(y). BF = AE (x); d'où l'on déduira BF(x)= ; l'on trouvera de même P Qou CI 1- *) -.

Dans une équation comme y=ht, qui exprime le lieu d'une ligne les x, & de même les y marquant des lignes qui vont en croissant successivement , ou en diminuant successivement ; on les appelle grandeurs changeantes ou variables & les grandeurs déterminées, comme A0(a), OL(6), se nomment grandeurs constantes.

D'où l'on voit que dans les Problemes de Geometrie, il faut distinguer les grandeurs variables, les inconnues, les indéterminées, & les déterminées ou connues. Les variables sont celles qui dans une figure vont en croissant ou en diminuant successivement, ausquelles convient un même raport,

les y,

moyen des