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Si l'on avoit bede, on trouveroit d'p = bcde, & aaq=fgh,

bede

& l'on auroit de == ; enfuite faisant q. p::a (1) . r, on auroit;=r.

Si l'on avoit une fraction dont le numerateur & le dénominateur fuffent complexes; c'est à dire, continffent plusieurs produits joints par +&, on pourroit abreger de même l'expreffion de cette fraction complexe.

On peut auffi abreger l'expreffion des fractions dont le numerateur & le dénominateur contiennent le produit de plufieurs lettres comme abcd en faifant en forte que

efg

la

même lettre se trouve au numerateur & au dénominateur
ce qui la fait évanouir; car faifant a. b:: cm, on aura am
= bc, & abcd= aamd; puis faifant comme a. m :: d. n,
on aura abcd aaan; faisant de même pour le dénomina-
teur a .e :: f. p, on aura apef, & efg = apg; faifant
enfuite a. p: g.q, on aura aq=pg; ainfi efg = aaq, &
abcdainan ; enfin faifant q, a :: n. r, on aura r4.
Si l'on avoit bcde, en trouvant m moyenne propor
tionelle entre 6 &c, & n moyenne proportionelle entre d& e,
l'on changeroit l'expreffion 6c-de en mm
·de en mm — nn qui lui
feroit égale.

efg

рад

Il y a beaucoup d'autres manieres de changer ainfi les expreffions en d'autres, fans en changer la valeur que l'on tire des triangles femblables, & des autres figures de la Geometrie ordinaire.

Seconde fuppofition ou demande.

280. DANS les propofitions de Geometrie où il s'agit de la furface des figures, les produits des calculs de l'Analyse FIG. I. expriment les aires des figures; par exemple nommant a la bafe GF du quarré GH, & a la hauteur GI, aa est l'expreffion de l'aire du quarré GH. De même nommant a la base AB du triangle rectangle ABH, & fa hauteur BH,b; ab fera l'expreffion de l'aire du triangle ABH. Suppofant auffi dans le rectangle GFBC, fa bafe GF a, fa hauteur b; le produit ab fera l'expreffion de l'aire de ce rectangle. Il en eft ainfi des autres.

GC =

Dans les propofitions qui regardent les corps folides, les produits des operations analytiques expriment la folidité

des corps; par exemple nommant aa le quarré GH;
l'on conçoit le cube dont ce quarré est la base, a3 sera l'ex-
preffion de la folidité de ce cube; de même abc fera l'ex-
preffion d'un prifme dont la base est representée par le pro-
duit des lignes a & b, & la hauteur par cabc fera l'expref-
fion d'une piramide qui aura la même base & la même hau-
teur que le prifme précedent. Il en eft ainfi des autres.

L'addition & la fouftraction des produits qui reprefen-
tent des surfaces, expriment que ces furfaces font ajoutées
les unes aux autres, ou retranchées les unes des autres:
C'est la même chofe des produits qui expriment des folides.

Troisième fuppofition ou demande fur l'ufage des fignes ✦ & —
par rapport à la Geometrie.

281. SUPPOSANT que les deux lignes DAE, CAB fe coupent FIG. I. à angles droits au point A, & que les lignes paralleles à P'une & à l'autre qui font dans les quatre angles droits, comme RM, KM,OL, AO, KL, ON, PN, RQ, QP, &c. foient comprises dans un Problême, quand on a besoin de diftinguer entre les paralleles à AB, celles qui vont vers la droite de celles qui vont vers la gauche, & entre les paralleles à DA E, celles qui defcendent de celles qui vont en montant, on nomme parmi les premieres qui vont vers la droite ou vers la gauche, les unes pofitives & l'on met au devant le figne✦, & les autres négatives & l'on met au devant le figne on fait la même chofe pour diftinguer entre les paralleles à DA E, celles qui defcendent de celles qui montent. Il eft libre au commencement de l'operation de prendre pour pofitives lefquelles on voudra entre celles qui vont de gauche à droite, ou de droite à gauche; & de même entre celles qui defcendent & celles qui montent: Mais fi l'on fe détermine à mettre le figne deyant celles qui vont de gauche à droite, comme AB, DH, EF; celles qui vont de droite à gauche, comme AC, D1, EG, &c. doivent avoir le figne. De même fi l'on fe détermine à mettre le figne devant celles qui defcendent, comme ÃE, BF, CG, &c. on doit écrire le figne devant celles qui vont en montant, comme AD, BH, CI, &c, Le terme où commencent les pofitives & les négatives de gauche à

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droite, ou de droite à gauche, eft la ligne DAE; le terme où commencent les pofitives qui defcendent & les négatives qui montent, eft la droite CAB.

Appellant l'angle EAB le premier, DAB le fecond, CAE le troifiéme, & DAC le quatrième, les lignes du premier feront toutes pofitives; entre les lignes du fecond, celles qui font vers la droite font pofitives, & celles qui montent font négatives; dans le troifiéme, celles qui vont à gauche font négatives, & celles qui defcendent, pofitives; & dans le quatrième, les unes & les autres font négatives, Suppofant 40+a=+1, OL= =+b,AE=+c, l'on aura dans les triangles femblables OAL, EAF, AO (+ a ou + 1). OL (+b) :: A E (+c). EF = + ; d'où l'on voit comment multiplié par +, donne un produit → qui a +.

Faifant 40=+ a +I AEC, ON=- -d, l'on aura dans les triangles femblables OAN, EAG, AO (+ a ou + 1). AE(+c) :: ON(d). EG- Lcd

Comme auffi en nommant KM, (e), on aura à cause des triangles semblables OAN, KAM, AO (+a ou + 1). ON(d): KM(+e), AK —— de; d'où l'on voit comment multiplié par —, ou par, donne un produit qui a -.

Suppofant encore AR-f, l'on aura à caufe des triangles femblables OAL, QAR, A(+ a ou + 1). OL(+b) :: AR (—ƒ). RQ=-f; d'où l'on voit encore comment par-, ou - par, donne un produit qui a —.

Enfin à caufe des triangles semblables OAN, RAM, l'on aura A0 ( + a ou + 1). ON(d) :: AR (—ƒ. RM; d'où l'on voit comment par-, donne

un produit qui a +.

De même dans les furfaces le rectangle AF fait du produit de → A E par → AB, fera positif.

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AD par

Le rectangle AH fait de
Le rectangle AG fait de + AE par-
Mais le rectangle AI fait de

AB, sera négatif. AC, sera négatif. AD par AC, fera

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pofitif, & du côté oppofé au rectangle négatif AH fait de DA par + AB. L'on fuppofe dans tous les produits Punité pofitive,

D'où l'on voit que les aires qui font dans les côtés oppofés de la ligne qu'on a prife pour terme entre les grandeurs pofitives & les négatives, font l'une positive, & l'autre négative.

On peut aifément appliquer ceci aux produits qui expriment la folidité des corps.

COROLLAIRE.

Fre.

282. Les deux mêmes lignes DAE, CAB fe coupant au F1c.1.
point A à angles droits, ou en faifant ensemble au point A
tel angle aigu qu'on voudra; qu'on tire la ligne FA Î, faifant
au point A avec l'une ou l'autre tel angle aigu OAL qu'on
voudra: Concevant ces lignes prolongées à l'infini, & que
par tous les points de DAE on mene des lignes comme DI,
R2, OL, EF, &c. paralleles à la ligne ČAB, jusqu'à la
rencontre de FA 1, & de même par tous les points de CAB
des paralleles à DAE, jufqu'à la rencontre de la même
ligne FA1, comme PQ, CI, KL, BF, &c. On fuppofera
la ligne 40 =+a, OL= = +
b; on nommera aussi + x
chacune des lignes comme AE depuis A en descendant
prises fur AOE, jufqu'à la rencontre de chaque parallele,
comme EF; on nommera + y chaque ligne comme EF
menée par ce point E parallele à AB mais on nom-
merax chacune des parties AR, AD de la ligne AD,
qui vont en montant & qui fe terminent aux paralleles
RQ, DI,à CBA, & ces paralleles R2, DI feront nom-
mées

Cela fuppofé, il eft évident, à caufe des paralleles, que
AO (+a). OL(+ b ) :: A E ( + x ) . E F ( + y) ; & par
confequent + bx
=+ay, &+y=+*: Et de même
AO (+ a.), OL ( + b ) :: AD ( —— x ). DI ( —y) ; d'où l'on

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ay, &—y

1

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bx

Il est évident que l'équation y convient à chacune des paralleles menée de chacun des points de AOE jusqu'à la ligne ALF; de forte qu'en déterminant la grandeur de chaque x, comme AE, la grandeur de EF (y) qui lui répond est déterminée. Il faut entendre la même chofe de l'équation -y=- bx par rapport aux paralleles RQ, DI de l'autre côté.

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a

D'où l'on voit que l'équation indéterminée y = b.x convenant à toutes les paralleles y par rapport aux x qui leur répondent, & en exprimant la grandeur par rapport à ces x correfpondantes; elle détermine le lieu de tous les points de la ligne droite AF qui paffe par toutes les extremités des y, & elle détermine ce lieu de la ligne droite AF par rapport à la ligne AOE. Cela eft caufe qu'on nomme l'équation y le lieu à la ligne droite, ou l'équation à la ligne droite ; & la ligne droite AF eft la ligne à qui convient cette équation, qui étant prolongée en A1 eft auffi la ligne à qui convient l'équation -y= , qui eft la même que la précedente.

bx

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a

Dans un lieu, par exemple, exprimé par y — bx, & conftruit geometriquement par la figure EAF, DAI, on nomme le point A où commencent les x pofitives prifes furAE, & les x négatives fur AD, l'origine : la ligne AE & AD fur laquelle fe prennent les x, fe nomme la ligne des coupées ou des abciffes: les lignes AE, AD, nommées x, s'appellent les coupées ou les abciffes: les paralleles EF, OL, &c. qui font les y, fe nomment les ordonnées, & encore les appliquées ; chaque abciffe x & fon ordonnée correfpondante y, fe nom-ment les coordonnées: la ligne CAB menée par l'origine A parallele aux ordonnées, s'appelle la ligne des ordonnées ; & l'on peut concevoir que les y fe prennent fur cette ligne, &. rapporter le lieu IAF à cette ligne CAB par le moyen des paralleles KL, PQ, &c. à la ligne DAE; car l'on aura AK =OL(+b). KL= A0 (a) :: AB EF(y). BE = AE (x); d'où l'on déduira BF (x); l'on trouvera de même PQou CI ( — x) -뽕.

bx

Dans une équation comme y=x, qui exprime le lieu d'une ligne les x, & de même les y marquant des lignes qui vont en croiffant fucceffivement, ou en diminuant fucceffivement; on les appelle grandeurs changeantes ou variables & les grandeurs déterminées, comme AO (a), OL (b), se nomment grandeurs conftantes.

D'où l'on voit que dans les Problêmes de Geometrie, il faut diftinguer les grandeurs variables, les inconnués, les indéterminées, & les déterminées ou connues. Les variables font celles qui dans une figure vont en croiffant ou en diminuant successivement, aufquelles convient un même raport,

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