bcde

E

1

abcd

Si l'on avoit beds, on trouveroit d'p=bode, & aaq=fgh,

=
& l'on auroit bie= ; ensuite faisant q.p::a (1).t,
= ;

.r
on auroit =

Si l'on avoit une fraction dont le numerateur & le dénominateur fussent complexes; c'est à dire, continssent plusieurs produits joints par + &-, on pourroit abreger de même l'expression de cette fraction complexe.

On peut aussi abreger l'expression des fractions dont le numerateur & le dénominateur contiennent le produit de plusieurs lettres comme cheese, en faisant en sorte que

la
même lettre se trouve au numerateur & au dénominateur,
ce qui la fait évanouir ; car faisant a.b::cm, on aura am
=bc, & abcd= damd; puis faisant comme a .m :: d.n,

a
on aura abcd = daan; faisant de même pour le dénomina-
teur a .e:if.Pon aura ap sef, & efg = apg; faisant

,
ensuite a.p::8:9, on aura aq=pg; ainsi efg daq, &
ale=n=""; enfin faisant q.a :: 1.1, on aura r = .

Si l'on avoir bc de, en trouvant m moyenne propor-
tionelle entre b&c, & n moyenne proportionelle entre d'
l'on changeroit l'expression b---de en mm — nn qui lui

bc-
seroit égale.

Il y a beaucoup d'autres manieres de changer ainsi les expressions en d'autres, sans en changer la valeur

que

l'on tire des triangles semblables, & des autres figures de la Geometrie ordinaire.

,

.

abcd

a'n

in

d &

Seconde fupposition ou demande. 280. Dans les propositions de Geometrie où il s'agit de la

surface des figures, les produits des calculs de l'Analyse Fig. I. exprinient les aires des figures ; par exemple nommant a la

base GF du quarré GH, & a la hauteur GI, aa est l'ex-
pression de l'aire du quarré GH. De même nommant a la
base AB du triangle rectangle ABH, & fa hauteur BH, 6;
{ab sera l'expression de l'aire du triangle ABH. Supposant
aussi dans le rectangle GFBC, sa base GF-a, sa hauteur
GC = b; le produit ab sera l'expression de l'aire de ce
rectangle. Il en est ainsi des autres.

Dans les propositions qui regardent les corps solides, les
produits des operations analytiques expriment la solidité

des corps ; par exemple nommant aa le quarré GH;
l'on conçoit le cube dont ce quarré est la bale, a' sera l'ex-
pression de la solidité de ce cube ; de même abc sera l'ex-
pression d'un prisme dont la base est representée par le pro-
duit des lignes a&b, & la hauteur par c; žabc sera l'express.
fion d'une piramide qui aura la même base & la même hau-

le prisme precedent. Il en est ainsi des autres.
L'addition & la soustraction des produits qui represen-,
tent des surfaces, expriment que ces surfaces sont ajoutées
les unes aux autres, ou retranchées les unes des autres :
C'est la même chose des produits qui expriment des solides.

teur que

Troisiéme supposition on demande sur l'usage des signes + &

par rapport à la Geometrie. 281. SUPPOSANT

que

les deux lignes DAE, CAB se coupent Fig. I. à angles droits au point A, & &

que les lignes paralleles à l'une & à l'autre qui sont dans les quatre angles droits comme RM,KM,OL, AO, KL, ON, PN, R, QP, &c. soient comprises dans un Problême, quand on a besoin de distinguer entre les paralleles à AB, celles qui vont vers la droite de celles qui vont vers la gauche, & entre les paralleles à DAE, celles qui descendent de celles qui vont en montant, on nomme parmi les premieres qui vont vers la droite ou vers la gauche, les unes positives & l'on met au devant le signe +,

& les autres négatives & l'on met au devant le signe - ; on fait la même chose pour distinguer entre les paralleles à DAE, celles qui descendent de celles qui montent. Il est libre au commencement de l'operation de prendre pour positives lesquelles on voudra entre celles qui vont de gauche à droite, ou de droite à gauche; & de même entre celles qui descendent & celles qui montent : Mais si l'on se détermine à mettre le signe + deyant celles qui vont de gauche à droite, comme AB, DH, EF ; celles qui vont de droite à gauche, comme AC, D1, EG, &c. doivent avoir le signe ~ . De même si l'on se détermine à mettre le signe + devant celles qui descendent, comme AE, BF, CG, &c. on doit écrire le signe devant celles qui vont en montant, comme AD, BH, CI, &c, Le terme où commencent les positives & les négatives de gauche à

cd

droite, ou de droite à gauche, est la ligne DAE; le terme où commencent les positives qui descendent & les négatives qui montent, est la droite CAB.

Appellant l'angie EA B le premier, DAB le second, CA É le troisiéme , & DAC se quatrième, les lignes du premier seront toutes positives; entre les lignes du second, celles qui sont vers la droite sont positives, & celles qui montent sont négatives; dans le troisiéme, celles qui vont à gauche sont négatives , & celles qui descendent, pofitives; & dans le quatrième, les unes & les autres sont négatives.

Supposant AO=+a=+I, OL = +6, AE = +1, l'on aura dans les triangles femblables O AL, E AF, AO ( + a ou + 1).OL(+6): AE(+6). EF = +"; d'où l'on voit comment + multiplié par +, donne un produit qui a +

Faisant A0—a41, AEtoC, ON= -d, l'on aura dans les triangles semblables O AN, EAG, AO +a ou +!). AE(+6)::ON(-d). EG=

Comme aussi en nommant KM,1+), on aura à cause des triangles semblables (AN, KAM, A0(+ a ou +1). ON(-d):: KM/+e). AKS- -do; d'où l'on voit comment + multiplié par --, ou - par +, duit qui a .

Supposant encore AR - f, l'on aura à cause des triangles semblables OAL, QAR, AO(+ a ou + 1), OL(+6) :: AR(-5).RQ= -bok; d'où l'on voit en. core comment + par, ou - par +, donne un produit qui a —

Enfin à cause des triangles semblables OAN, RAM, l'on aura AO ( to a ou + 1).ON-d) :: AR (f. RM=+df; d'où l'on voit comment

; un produit qui a +.

De même dans les surfaces le rectangle AF fait du produit de + A E par + AB, sera positif. Le rectangle AH fait de

AD

par + AB, sera négatif. Le rectangle AG fait de + Ae par AC, fera négatif. Mais le rectangle A I fait de

AD par

AC, sera positif ; & du côté opposé au rectangle negatif A H fait de — DA par + AB. L'on suppose dans tous les produits Punité policive.

donne un pro

.

par -, donne

ES

D'où l'on voit que les aires qui sont dans les côtés opposés de la ligne qu'on a prise pour terme entre les grandeurs positives & les négatives, font l'une positive, & l'autre négative.

On peut aisément appliquer ceci aux produits qui expriment la solidité des corps.

COROLLA I R E. 282. Les deux mêmes lignes DAE, CAB se coupant au Fte. I,

point A à angles droits, ou en faisant ensemble au point A
tel angle aigu qu'on voudra; qu’on tire la ligne F A , faisant
au point A avec l’une ou l'autre tel angle aigu O AL qu'on
voudra : Concevant ces lignes prolongées à l'infini, & que
par tous les points de DAE on mene des lignes comme bi,
RQ, OL, EF, &c. paralleles à la ligne ČAB, jusqu'à la
rencontre de FA1, & de même par tous les points de CAB
des paralleles à D A E, jusqu'à la rencontre de la même
ligne FA1, comme PQ, CI, KL, BF, &c. On supposera
la ligne AO=+a ,

OL=+b; on nommera aussi + x

=
chacune des lignes comme A E depuis A en descendant
prises sur AOE, jusqu'à la rencontre de chaque parallele,
comme EF; on nommera + y chaque ligne comme EF
menée par ce point E parallele à AB; mais on nom-
mera - x chacune des parties AR, AD de la ligne AD,
qui vont en montant , & qui se terminent aux paralleles
RQ, DI, CBA,& ces paralleles R2, Di seront no

Cela supposé, il est évident, à cause des paralleles, que
AO(+a).01(+6): A E (+ *). EF (+y); & par
consequent + bx=+ay, & + y=+ bent : Et de même
AO (+a).OL(+6):: AD(-- *).DI(-y); d'où l'on

- bx=-ay, &-y= .
Il est évident que l'équation y= bem convient à chacune
des paralleles menée de chacun des points de AOE jusqu'à
la ligne ALF ; de forte qu'en déterminant la grandeur de
chaque x, comme AE, la grandeur de EF ( 9 ) qui lui ré-
pond est déterminée. Il faut entendre la même chose de
l'équation -=- bet par rapport aux paralleles Re,
Di de l'autre côté,

mées y

bx

br

aura

bx

br

br

=

br

bx

D'où l'on voit que l'équation indéterminée convenant à toutes les paralleles y par rapport aux * qui leur répondent , & en exprimant la grandeur par rapport à ces x correspondantes; elle détermine le lieu de tous les points de la ligne droite AF qui pasle par toutes les extremités des

y,

& elle détermine ce lieu de la ligne droite AF par rapport à la ligne AOE. Cela est cause qu'on nomme l'équation y bi be.lien à la ligne droite , ou l'équation à la ligne droite ; & la ligne droite AF est la ligne à qui conviene cette équation, qui étant prolongée en A1 est aussi la ligne à qui convient l'équation -- y , qui est la même que la precedente.

Dans un lieu, par exemple, exprimé par y=e, & construit geometriquement par la figure E AF, DAI, on nomme le point A où commencent les x positives prises sur AE, & les x négatives sur AD, l'origine : la ligne AE & AD sur laquelle se prennent les x, se nomme la ligne des coupées ou des abcisses : les lignes AE, AD, nommées x, s'appellent les coupées ou les abeilles : les paralleles EF, OL, &c. qui sont les se nomment les ordonnées , & encore les appliquées ; chaque abcisse x & son ordonnée correspondante y, se nomment les coordonnées : la ligne CAB menée par l'origine A parallele aux ordonnées, s'appelle. la ligne des ordonnées ; & I'on peut concevoir que les y se prennent sur cette ligne , & rapporter le lieu I AF à cette ligne CAB par le moyen des paralleles KL, PL, &c. à la ligne DAE ; car l'on aura AK =OL(+6). KL=AO (a) :: AB= EF(y). BF

b= = AE (*); d'où l'on déduira BF(x)=* ; l'on trouvera de même P Qou CI (— *)=-*;

x 93 Dans une équation comme y=ht. qui exprime le lieu d'une ligne les x, & de même les y marquant des lignes qui vont en croissant successivement, ou en diminuant successivement ; on les appelle grandeurs changeantes ou variables, & les grandeurs déterminées, comme A0(a), OL(6), se nomment grandeurs constantes.

D'où l'on voit que dans les Problemes de Geometrie, il faut distinguer les grandeurs variables, les inconnues, les indéterminées, & les déterminées ou connues. Les variables sont celles qui dans une figure vont en croissant ou en dimi. muant successivement, ausquelles convient un même raport, ,

, لا

,لا

bx