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& elles font marquées par des inconnues x, y, &c. Les inconnues font les grandeurs qu'on cherche pour la réfolution d'un Problême. Les indéterminées font les grandeurs qu'on met pour en representer d'autres, comme dans x", l'expofant n reprefente les grandeurs qu'on peut mettre à la place de cet expofant, comme 1, 2, 3,,,&c. on avertit quand les grandeurs font indéterminées; l'on a vû dans les livres precedens des exemples des indéterminées. Les grandeurs déterminées, qu'on nomme auffi données & connues, & qu'on nomme conftantes dans les Problêmes où il Y a des variables, font les lignes ou figures déterminées, comme font les trois côtés d'un triangle donné, comme font des angles donnés, des triangles, des quarrez connus, &c.

Quand une ligne eft fuppofée tracée fur un plan, fi elle eft indéterminée, on dit qu'elle eft donnée de pofition ; & fi de plus fa longueur eft déterminée, on dit qu'elle eft donnée de grandeur.

Exemples de l'ufage des calculs de l'Analyse pour découvrir les proprietés des Figures.

AVERTISSEMENT.

L'ANALYSE fuppofe les plus fimples proprietés des figures
démontrées par la Geometrie, comme les proprietés des
perpendiculaires, des paralleles, des angles, & celles qui
ne contiennent pas de rapports ou de proportions; mais
elle fert à démontrer toutes celles où entrent les rapports
& les proportions, fi ce n'est la feule propofition qui eft le
principe de toutes les proportions des lignes & des figures,
Içavoir que
dans tous les triangles femblables, les côtés op-
pofés aux angles égaux, qu'on nomme côtés relatifs ou
homologues, font proportionels.

EXEMPLE I. SUR LES TRIANGLES RECTANGLES.

AEB eft un triangle rectangle en E, son hypothenuse AB FIG. II. eft le diametre de la circonference AEB qui paffe par le fommet E de l'angle droit; ED eft une perpendiculaire tirée du fommet E fur AB. Pour découvrir les proprietés de ce triangle, on fuppofera AE= a; EB = b; AB = di BDx, ce qui donnera ADdx.

1

283.

284.

1o. Les triangles semblables AEB, AED, donneront AB (d). AE ( a ) :: AE (a) · AD (d— x ) ; d'où l'on aura la premiere équation dd - dx dxaa. Par les triangles femblables AEB, EDB, l'on aura AB (d). BE (b) :: BE (b) BD (x); d'où l'on déduira la feconde équation dx = bb. Ajoutant ensemble la premiere & la feconde équation, l'on trouvera ddaa bb, c'est à dire, le quarré de l'hypothenufe eft égal à la fomme des quarrés des côtés, qui eft la proprieté des triangles rectangles.

2o. Les triangles femblables ADE, EBD, donnent aussi, en fuppofant DE =c, AD(d-x). DE (c) :: DE(c). DB(x); d'où l'on aura dxxxce; c'eft à dire le quarré de DE, qui eft moyenne proportionelle entre les deux parties AD, DB de l'hypothenase ou du Diametre AB, coupées par la perpendiculaire DE, eft égal au rectangle des deux parties du diametre, qui eft une autre proprieté des triangles rectan gles.

Corollaires qu'il faut fe rendre familiers.

I.

285. L'HYPOTHENUSE AB (d) d'un triangle rectangle, peut s'exprimer ainfi AB (d) =√ÃE2 + BE2 (√aa + bb.)

AE

286.

287.

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III.

1

La perpendiculaire ED (c)=√AD × DB (Vdxxx); & fuppofant que le milieu de AB (d) eft au point C, & que CD=x, l'on aura AD=AC + C D = { d CD 1 + x, & - CD — 1 d — x ; ce qui donnera ED (c) xx. Si l'on fupofe AD=e, DB=f, l'on aura ED' (cc) = AD × DB = ef,&c=

=

DB
√AD × DB = √1dd

BC-CD1d.

ED,
Vef.

2

IV.

288. Il eft démontré dans la Geometrie qu'en tout cercle AEB, fi l'on tire de l'extremité A du diametre AB une corde à un point quelconque E de la circonference, & une autre

corde

LIVRE VIII

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corde EB de ce point E à l'autre extremité B du diametre,
le triangle AEB est toujours rectangle en E; ainfi les ex-
preffions précedentes conviennent à ces lignes du cercle;
fçavoir AB2 (dd). — AE2 + BE2 = aa+bb; & AB(d)

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2

√AB2 — BE2 = √dd — bb; & =Vddaa. De même ED' (cc)

xx, & ED (c)=√dx — xx ; mais

2

auffi EB' = EDDB2 = dx
pourquoi l'on aura BE— Vdx.

xx xxdx; c'est

D'où il fuit que fi deux cordes égales BE, Be font en
deux differens cercles, nommant dans l'un le diametre AB,
d, & DB, x, & dans l'autre le diametre ♪, & la ligne qui
répond à BD, §, l'on aura √dx = √♪§; & par confequent
dx=d, d'où l'on déduira d. ♪ :: §. x.

Si l'on suppose CD=x, l'on aura ED (c) = √ AD × DB
√1⁄2d +x × 1d — x = √dd
— x=√dd — xx, & AD(1⁄2d+x) =

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(d-x)

FD

DB

Si l'on fuppofe EBm, AB=d, & DB = x, l'on aura DB (x). EB (m):: EB (m). AB(d);

EB
AB

d'où l'on

2

EB mm
DB

x

déduira DB ( x )
(mm), & AB (d) = H2(~~). Il
faut fe rendre toutes ces expreffions familieres.

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=

V.

L'on peut concevoir de tous les points E de la demi- 289. circonference BEA, en commençant au point B & allant de fuite de B par E jufqu'à l'extrémité A, des perpendiculaires comnie ED fur le diametre AB; & fuppofant AB d, chaque perpendiculaire ED=y, & chaque distance BD du point B, jufqu'à la rencontre D de chaque perpendiculaire, égale à x ; il est évident que chaque DE' (yy) fera égale au rectangle qui lui répond des deux parties du diametre BD × DA = dx - xx ; ainfi l'équation yy dx -xx convient à chacune de ces perpendiculaires DE. Les extremités E de toutes ces perpendiculaires ED font dans la circonference; c'eft à dire, la circonference paffe par tous les points E; ainfi l'équation yy = dx que le lieu de la circonference par rapport au diametre AB; & en déterminant la valeur de x telle qu'on voudra, pourvu

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qu'elle foit moindre que le diametre AB, on trouvera la valeur de y qui lui répond; & de même en déterminant telle valeur de y qu'on voudra, pourvu qu'elle n'excede pasd, on trouvera la valeur de x qui lui répond, par la 76. résolution des équations du fecond degré. Cela eft cause qu'on nomme l'équation -vy dx dx + yy =o, l'équation au cercle, ou le lieu du cercle. Les abcifles x font fur le diametre BA, & B eft leur origine; & les DE (y). font les ordonnées.

290.

291.

V I.

xx, ou xx

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xx,

ou xx

Suppofant toujours AB=d, ED=y, fi l'on suppose chaque CDx, l'on aura DE' (yy) = ADX DB ÷ d+xx{d x= dd -xx; ainfi yy=dd →yy - dd eft auffi l'équation du cercle, ou le lieu au cercle. L'origine eft au centre C ; les abciffes CD (x) font fur le demi diametre CB ou CA, & les ED (y) font les ordonnées.

VII.

On peut par le moyen du troifiéme Corollaire, changer l'expreffion d'un rectangle ab en un quarré cc, fans en changer la valeur, il n'y a qu'à mener une ligne droite AB égale à la fomme des lignes AD (a) + DB (b), tracer une demicirconference dont AB foit le diametre, & élever au point D, elles se joignent, la perpendiculaire DE, qu'on nommera c jufqu'à la circonference; & l'on aura DE1 (cc) = AD ×· DB (ab). D'où l'on voit que fi l'on avoit xx = ab, ou trouveroit de la même maniere la valeur de x, car faisant AD =a, &DB=b, DE sera égale à x, étant moyenne proportionnelle entre AD (a) & DB (b).

x, en

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Si l'on avoit xx — aa - bb, on trouveroit de même la valeur de en faisant AD=a+b,&DB=a — b, car DE seroit égale à x, puisque DE2 (xx) = AD × DB = aa bb, & x = √aa — bb.

2

On peut encore trouver de cette autre maniere la valeur de x dans l'équation xx = aa— bb. Il faut faire AB = a, tracer un demi cercle fur le diametre AB (a); & après avoir ouvert le compas de la grandeur de la ligne AE, qu'on fuppofe égale à 6, & mis une des pointes fur l'extremité A, il faut marquer le point E où l'autre pointe coupe

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るる。=120+66

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ет

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LIVRE VIII.

2

503

la demi-circonference, & tirer EB, ce fera la valeur de x;
car EB' (xx) = AB2 (aa) — AE2 (bb) ; & x = √aa — bb.
Quand on a l'équation xx = aa + bb, on trouvera la
valeur de x, en faifant un angle droit AEB des deux lignes
AE, EB, dont on fuppofe la premiere égale à a,& la feconde
égale à 6; puis tirant l'hypothenufe AB par les extremités
A, B de ces lignes, AB sera la valeur de x; car AB2 (xx)
AE2 (aa) + EB2 (bb) ; & x=√aa+bb.

VIII.

Refolution geometrique des équations du fecond degré.

PREMIERE MANIERE.

2

293. TOUTES les équations du fecond degré peuvent fe refou
dre geometriquement par les Corollaires précedens; c'est
à dire, on peut trouver les deux valeurs en lignes de l'in-
connue de ces équations; car toutes ces équations peuvent
fe réduire à cette formule xx + dx + ce = 0; d, c, e re-
prefentent des lignes données dans les Problêmes de ces
équations. Or il faut réduire le terme connu ce* à un quar- * 290:
ré bb, & la formule fera xx dx + bb = o. Il faut faire
évanouir le second terme, en fuppofant x = z = d ; & l'on

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aura la transformée z=4
1 dd = bb; &z=±√ 1ddbb.

On trouvera la valeur de
laquelle ajoutant la ligne

a & en retranchant d,
l'on aura la valeur de x.

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+

par le feptiéme Corollaire,
d, quand le fecond terme
quand le fecond terme a +;

SECONDE MANIERE.

294. POR rendre cette resolution plus distincte, on réduira toutes les équations du fecond degré à ces quatre formules.

Ire, xx ---- dx-bb-o.

x

La premiere racine.

La feconde racine,

1d + √1⁄2 dd +bb. x= Id-Vidd+bb.

2o, xx + dx — bb = o. x = -1d + √dd+bb. x = -1d-√ dd + bb.

3, xx.

dx + bb
4°, xx + dx + bb O.

4

dd — bb. x ——

= 0. x 1d + √ dd - bb. x= 1 d - ✓ dd — bb. x = − 1 d + √ - 1 d — V dd - bb. Pour trouver les valeurs geometriques des deux racines de la premiere & de la feconde formule, dont l'une est

sff ij.

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