n

I

& elles sont marquées par des inconnues x, y, &c. Les inconnues sont les grandeurs qu'on cherche pour la résolution d'un Problême. Les indéterminées sont les grandeurs qu'on met pour en representer d'autres ; comme dans x", l'expo. fant n represente les grandeurs qu'on peut mettre à la place de cer exposant, comme 1,2,3,1; } , &c. on avertit quand

, les grandeurs sont indéterminées; l'on a vů dans les livres precedens des exemples des indéterminées. Les grandeurs déterminées, qu'on nomme aussi données & connues, qu'on nomme constantes dans les Problêmes où il y a des variables, sont les lignes ou figures déterminées, comme sont les trois côtés d'un triangle donné, comme sont des angles donnés, des triangles, des quarrez connus, &c.

Quand une ligne est supposée tracée sur un plan, si elle est indéterminée, on dit qu'elle est donnée de position ; & fi de plus sa longueur est déterminée, on dit qu'elle est donnée de grandeur.

&

Exemples de l'usage des calculs de l'Analyse pour découvrir les proprietés des Figures

. A v ER TISS E M E N T. L'Analyse suppose les plus simples proprietés des figures démontrées par

la Geometrie, comme les proprietés des perpendiculaires , des paralleles, des angles, & celles qui ne contiennent pas de rapports ou de proportions ; mais elle sert à démontrer toutes celles où entrent les rapports & les proportions, si ce n'est la seule proposition qui est le principe de toutes les proportions des lignes & des figures, sçavoir que

dans tous les triangles semblables, les côtés opposés aux angles égaux, qu'on nomme côtés relatifs ou homologues, sont proportionels

. EXEMPLE I. SUR LES TRIANGLES RECTANGLES. AEB est un triangle rectangle en E, son hypothenuse AB FIG. II. est le diametre de la circonference A E B qui passe par le sommer E de l'angle droit ; E D est une perpendiculaire tirée du sommet E sur AB. Pour découvrir les proprietés de ce triangle, on supposerá AE=a; EB = b; AB=d; BD =*, ce qui donnera AD=d - %.

x

.

284.

283.

1°. Les triangles semblables A EB, AED, donneront AB(d). AE (a) :: AE (a). AD (

dx); d'où l'on aura

. la premiere équation dd - dx = aa. Par les triangles semblables AEB, EDB, l'on aura AB(d): BE (6) :: BE(6) BD (*); d'où l'on déduira la seconde équation dx=bb. Ajoutant ensemble la premiere & la seconde équation, l'on trouvera dd = aa + bb, c'est à dire, le quarré de l'hypothenuse est égal à la somme des quarrés des côtés, qui est la proprieté des triangles rectangles.

2°. Les triangles semblables ADE, EBD, donnent aussi, en supposant DE=1, AD(). DE (C) :: DE(C). DB(x); d'où l'on aura dx -- ** = 0; c'est à dire le

xx quarré de DE, qui est moyenne proportionelle entre les deux parties AD, DB de l'hypothenuse ou du Diametre AB, coupées par la perpendiculaire DE, est égal au rečtangle des deux parties du diametre , qui est une autre proprieté des triangles rectangles. Corollaires qu'il faut se rendre familiers.

I. 285. L'HYPOT

'HYPOTHENUSE. AB (d) d'un triangle rectangle , peut s'exprimer ainsi AB (d) =VE' + BE? (Vaa + bb.)

II. 286. Le côré AE (a)

VAB

BE’ (Vdd - 66); le côté BE (6) = VAB - ? (ydd - aa.)

III.
La perpendiculaire ED(C)=VĀDx DB (Vdx -xx);

Xx
& fupposant que le milieu de AB (d) est au point C, & que
CD=x, l'on aura AD=AC + CD=1d + *, &
DB=BC - CD=d— x; ce qui donnera ED (0)
={

) VAD DB=Vidd — xx. Si l'on supose AD=e, DB=f, ED = 1,

SC l'on aura ED' (cc) = AD * DB = ef , &c= Vef.

IV. 288. Il est démontré dans la Geometrie qu'en tout cercle AEB,

2

2

287.

deIx - x x + x x XX+XX = 0x

=dx

2

2

2

2 AE

X X + Xx

FD
DB

сс

LIVRE VIII.

SOB
corde EB de ce point E à l'autre extremité B du diametre,
le triangle AEB est toujours rectangle en E ; ainsi les ex.
pressions précedentes conviennent à ces lignes du cercle
sçavoir

AB*(dd). SAE? + BE = aa + bb; & AB(d)
=Vaa + bb; & AE (a)= VĀB BE = Vdd - bb; &
BE (6) = VAB E =Vdd - aa. De même E D (cc)
AD XDBdx - XX, & ED (C)=Vdx xx ; mais

xx
ausli EB' =ED + DB2 =dx — * * to xx=dx; c'est

= dx
pourquoi l'on aura Be=Vdx.

D'où il suit que fi deux cordes égales BE, Be font en
deux differens cercles, nommant dans l'un le diametre AB,
d, & DB, *, & dans l'autre le diametre , & la ligne qui
x

S
répond à BD, &, l'on aura Vdx =VSE; & par consequent
dx = d'é, d'où l'on déduira d.d::5.x.
Si l'on suppose CD = x, l'on aura ED(0)=VAD * DB

=
=Vid+xx_d — x=Vidd —- **, & ADD+ x) =

xx
(d-x)

Si l'on suppofe EB =M, AB =d, & DB = x, l'om aura DB (x). EB (m):: EB (m). AB(d); d'où l'on déduira DB ( x)

AB ()

compon, & AB (d) = ER*(mm). IL faut se rendre toutes ces expressions familieres.

V.
L'on peut concevoir de tous les points E de la demi- 2 89..
circonference BEA, en commençant au point B & allant
de fuite de B par E jusqu'à l'extremité A, des perpendicu-
laires comnie E D sur le diametre A B'; & fuppofant AB
=d, chaque perpendiculaire ED=y, & chaque distance
BD du point B, jusqu'à la rencontre D de chaque perpen-
diculaire, égale à x ; il est évident que chaque DĒ’ (yy) sera
égale au rectangle qui lui répond des deux parties du dia-
metre BD x DA = dx - xx ; ainsi l'équation yy= dx
- xx convient à chacune de ces perpendiculaires DE.
Les extremités E de toutes ces perpendiculaires ED font
dans la circonference; c'est à dire, la circonference passe
par tous les points E ; ainfi l'équation yy=dx — xx mar-

-
que le lieu de la circonference par rapport au diametre: AB;
& en déterminant la valeur de x telle qu'on voudra, pourvu

EB

2 ЕВ

mim

XX,

оп хх

dx + yy

xx, ou xx

- 2 / dd

ز

qu'elle soit moindre que le diametre AB, on trouvera la valeur de y qui lui répond; & de même en déterminant telle valeur de y qu'on voudra , pourvu qu'elle n'excede

pasid, on trouvera la valeur de x qui lui répond, par la * 76. résolution des équations du second degré. * Cela est cause

qu'on nomme l'équation yy=dx

o, l'équation au cercle, ou le lieu du cercle. Les abcisles * sont sur le diametre BA, & B est leur origine; & les DE (Y) font les ordonnées,

VI. Supposant toujours AB=d, ED=y, si l'on suppose chaque CD=x, l'on aura DE' (yy) = AD XDB 2 / d+ x xįd - x= 4dd xx ; ainsi yy=dd tyy - d=0, est aussi l'équation du cercle, ou le lieu au cercle. L'origine est au centre C ; les abcisses CD (*) sont sur le demi diametre CB ou CA, & les ED (9) sont les ordonnées.

VII. 290. On peut par le moyen du troisiéme Corollaire , changer

, l'expression d'un rectangle ab en un quarré cc, sans en changer la valeur ; il n'y a qu'à mener une ligne droite A B égale à la somme des lignes AD (a) + DB ), tracer une demicirconference dont AB soit le diametre, & élever au point D, où elles se joignent, la perpendiculaire DE, qu'on nommera c jusqu'à la circonference; & l'on aura DE’ (cc) = ADX DB(ab). D'où l'on voit que si l'on avoit xx= )

= ab, ou trouveroit de la même maniere la valeur de x, car faisant AD =a, & DB=b, De sera égale à x, étant inoyenne pro

x, portionnelle entre AD (a) & DB (b).

Si l'on avoit xx == aa bb, on trouveroit de même la valeur de x, en faisant AD=a+b, & DB=a— b, car DE seroit égale à x, puisque DE" (xx) = AD ~ DB=aa

* bb, &x= Vaa—bb. 191. On peut encore trouver de cette autre maniere la valeur de x dans l'équation xx = aa

-bb. Il faut faire AB = a, tracer un demi cercle sur le diametre A B (a); & après avoir ouvert le compas de la grandeur de la ligne À E,

A qu'on, suppose égale à b, & mis une des pointes sur l'extremité A, il faut marquer le point E où l'autre pointe coupe

2

x

bb

LI V RE VIII.

So3 la demi-circonference, & tirer EB, ce sera la valeur de x's car EB* (xx)= AB+(aa) — AE*(bb) ; & x=Vad — 66.

= à 292.

Quand on a l'équation xx = a + bb, on trouvera la valeur de x, en faisant un angle droic AEB des deux lignes AE, EB, dont on suppose la premiere égale à a,& la seconde égale à b; puis tirant l'hypothenuse AB par les extremités A, B de ces lignes, AB sera la valeur de x; car AB*(xx) = AE (aa) + EB*(bb) ; &x=

°

Vaat bb.

2

VIII.

M A N I E R E.

Resolution geometrique des équations du second degré.

PREMIERE
ä 293. Toutes les équations du second degré peuvent se resou.

dre geometriquement par les Corollaires précedens ; c'est
à dire, on peut trouver les deux valeurs en lignes de l'in-
connue de ces équations; car toutes ces équations peuvent
se réduire à cette formule xx + dx + ce=0; d, c, e, re-

O
presentent des lignes données dans les Problemes de ces
équations. Or il faut réduire le terme connu ce* à un quar- * 290:
ré bb, & la formule lera xx + do + bb=0. Il faut faire

de
évanouir le second terme, en supposant x =

RFd

d; & l'on
aura la transformée <= Add #bb; &q=+Vidd 7bb.

༢
On trouvera la valeur de z par le septiéme Corollaire, à
laquelle ajoutant la ligne = id, quand he second terme
a —, & en retranchant, d, quand le second terme a+;
l'on aura la valeur de x.

SECONDE
N - 294. Pour rendre cetre resolution plus distincte, on réduira
toutes les équations du second degré à ces quatre

formules.

La premiere racine. La seconde racine.
1", xx

dx - 66
bb

Įd+Vidd + bb. x= Id-Vidd+bb. 2 xx + dx

- bb x=-id+Vidd + bb. x=- -d-Vidd +66. 3, xx dx + 66

įd+Vidd - bb. x= 12 / d - 1 dd - bb. 4', *x + dx + bb

mid+Vidd — 6b. x=- -1dV.dd - bb Pour trouver les valeurs geometriques des deux racines de la premiere & de la seconde formule , dont l'une eft

M A NIERE.

0.

X

O.