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& elles sont marquées par des inconnues x, y, &c. Les inconnues sont les grandeurs qu'on cherche pour la résolution d'un Problême. Les indéterminées sont les grandeurs qu'on mer pour en representer d'autres; comme dans x", l'expo. fant n represente les grandeurs qu'on peut mettre à la place de cer exposant, comme 1, 2,3,1, 1, &c. on avertit quand les grandeurs sont indéterminées; l'on a vû dans les livres precedens des exemples des indéterminées. Les grandeurs déterminées, qu'on nomme aussi données & connues, & qu'on nomme constantes dans les Problêmes où il y a des variables, sont les lignes ou figures déterminées, comme sont les trois côtés d'un triangle donné, comme sont des angles donnés, des triangles, des quarrez connus, &c.

Quand une ligne est supposée tracée sur un plan, si elle est indéterminée, on dit qu'elle est donnée de position ; & fi de plus sa longueur est déterminée, on dit qu'elle est donnée de grandeur.

Exemples de l'usage des calculs de l'Analyse pour découvrir

les proprietés des Figures.

A v E RT ISS E MEN T. L'Analyse suppose les plus simples proprietés des figures démontrées par la Geometrie, comme les proprietés des perpendiculaires , des paralleles, des angles, & celles qui ne contiennent pas de rapports ou de proportions ; mais elle sert à démontrer toutes celles où entrent les rapports & les proportions, si ce n'est la seule proposition qui est le principe de toutes les proportions des lignes & des figures,

dans tous les triangles semblables, les côtés opposés aux angles égaux, qu'on nomme côtés relatifs ou homologues,

sont proportionels. EXEMPLE I. SUR LES TRIANGLES RECTANGLES. AEB est un triangle rectangle en E, son hypothenuse AB FIG. II. est le diametre de la circonference A E B qui passe par le sommet E de l'angle droit; E D est une perpendiculaire tirée du sommet E sur AB. Pour découvrir les proprietés de ce triangle, on supposerá AE=a; EB = b; AB=d; BD x, ce qui donnera AD=-*.

Içavoir que

283. 1°. Les triangles semblables A EB, AED, donneront

AB(d). AE (a) :: AE (a). AD (d— *); d'où l'on aura
la premiere équation dd - dx =aa. Par les triangles sem-
blables AEB, EDB, l'on aura AB (d). BE (6) :: BE(6).
BD(x); d'où l'on déduira la seconde équation dx=bb.
Ajoutant ensemble la premiere & la seconde équation, l'on
trouvera dd = aa + bb, c'est à dire, le quarré de l'hypothenuse
eft égal à la somme des quarrés des côtés, qui est la proprieté

des triangles rectangles.
284. 2°. Les triangles semblables ADE, EBD, donnent aussi,

en supposant DE=i, AD (d— *). DE (C) :: DE(C).
DB(x); d'où l'on aura dx — xx = 60; c'est à dire le
quarré de DE, qui eft moyenne proportionelle entre les deux
parties AD, DB de l'hypothenuse ou da Diametre AB, coupées
par la perpendiculaire DE, est égal au rectangle des deux parties
du diametre, qui est une autre proprieté des triangles rectan-
gles.
Corollaires qu'il faut se rendre familiers.

I.
285. L'HYPOTHENUSE. AB (d) d’un triangle rectangle , peut

s'exprimer ainsi AB (d) AE + BE? (Vaa + bb.)

II.

286.
Le côté A E (a) = VAB

? BE’ (Vdd - 66);
le côté BE (6)

VAB

- AE? (vddaa.)

III. 287.

La perpendiculaire EDIC)=VAD * DB (Vdx - *x);
& fupposant que le milieu de AB (d) est au point C,
CD=x, l'on aura AD=AC + CD=1d + x, &
DB=BCCD= - * ; ce qui donnera ED (C) =
VAD DB= Vidd — xx. Si l'on supofe AD=e, DB=f,
ED = r,

l'on aura ED* (cc) = AD DB= ef , &c=
Vef.

IV.
288. Il est démontré dans la Geometrie qu'en tout cercle AEB,

si l'on cire de l'extremite A du diametre AB une corde &
un point quelconque E de la circonference, & une autre

corde

1

dx - xx xx = da 2x– xx+xx = 0x

XX + X Y

ED

DB

сс

LIVRE VIII.

SOI corde EB de ce point E à l'autre extremité B du diametre, le triangle AEB est toujours rectangle en E; ainsi les expressions précedentes conviennent à ces lignes du cercle ; sçavoir AB'(dd) = AE + BE?

= AE' + BE' = aa + bb; & AB(d) =Vaa + bb; & AE (a)= VB — BE =Vdd bb ; & BE(6) = VĀB - E =Vdd - aa. De même ĒD? (cc)

ADR DB=dx — xx, & ED (0)=Vdx - xx ; mais aussi EB? = ED + DBP =dx

ED' + DBP = dx * x + **=dx; c'est
8 pourquoi l'on aura BE=Vdx.

D'où il suit que si deux cordes égales BE, Be font en
deux differens cercles, nommant dans l'un le diametre AB,
d, & DB, *, & dans l'autre le diametre , & la ligne qui
répond à BD,Ě, l'on aura Vdx :VSE; & par consequent
dx=ds, d'où l'on déduira d..:: 8. x.
Si l'on suppose CD = x, l'on aura ED(C)=VAD * DB

c
vęd+xxdx=vidd — xx, & AD(įd+ x) =
(id-x)

Si l'on suppofe EB=m, AB=d, & DB = x, l'on
aura DB (x). EB (m):: EB (m). AB(d); d'où l'on
déduira DB ( x)

us (m), & AB (d) faut se rendre toutes ces expressions familieres.

V. L'on peut concevoir de tous les points E de la demi- 2 89. circonference BEA, en commençant au point B & allant de fuite de B par E jusqu'à l'extremité A, des perpendiculaires comnie E D sur le diametre A B'; & fuppofant AB

Ed, chaque perpendiculaire ED=y, & chaque distance BD du point B, jusqu'à la rencontre D de chaque perpendiculaire, égale à x ; il est évident que chaque ? (yy) sera égale au rectangle qui lui répond des deux parties du diametre BD x DA = dx - xx ; ainsi l'équarion yy=dx - xx convient à chacune de ces perpendiculaires DE. Les extremités E de toutes ces perpendiculaires ED font dans la circonference; c'est à dire, la circonference passe par tous les points E; ainfi l'équation yy=dx — xx marque le lieu de la circonference par rapport au diametre: AB; & en déterminant la valeur de x telle qu'on voudra, pourvu

SEL

EB

EB
DB

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XX ,

оп хх

dx + yy

qu'elle soit moindre que le diametre AB, on trouvera la valeur de y qui lui répond ; & de même en déterminant telle valeur de y qu'on voudra, pourvu qu'elle n'excede

pas įd, on trouvera la valeur de x qui lui répond, par la * 76. résolution des équations du second degré. * Cela est cause

qu'on nomme l'équation yy dx

0, l'équation au cercle , ou le lieu du cercle. Les abcisles * sont sur le diametre BA, & B est leur origine ; & les DE(y) font les ordonnées.

VI. Supposant toujours AB=d, ED=y, si l'on suppose chaque CD=x,

l'on aura DE' (yy) AD * D B d+xx_d -x=idd — xx; ainsi yy=_dd xx, ou xx +-- dd=0, est aussi l'équation du cercle, ou le lieu au cercle. L'origine est au centre C ; les abcisses CD (*) sont sur le demi diametre CB ou CA, & les ED (y) sont les ordonnées.

VII. 290. On peut par le moyen du troisiéme Corollaire , changer

l'exprellion d'un rectangle ab en un quarré cc, sans en changer la valeur; il n'y a qu'à mener une ligne droite A B égale à la somme des lignes AD (a) + DB (b), tracer une demicirconference dont AB soit le diametre, & élever au point D, où elles se joignent, la perpendiculaire DE, qu'on nommera c jusqu'à la circonference; & l'on aura (cc) = ADX DB (ab). D'où l'on voit que si l'on avoit xx = ab, ou trouveroit de la même maniere la valeur de x, car faisant AD =a, & DB=b,DE sera égale à x, étant moyenne proportionnelle entre AD (a) & DB (b).

Si l'on avoit xx == ad bb, on trouveroit de même la valeur de x, en faisant AD=a+b, & DB=a - b, car DE seroit égale à x, puisque DE*(xx) = AD * DB=aa

bb,&x=Vaa66. 191. On peut encore trouver de cette autre maniere la valeur de x dans l'équation xx = aa —

bb. Il faut faire AB = a, tracer un demi cercle sur le diametre A B (a); & après avoir ouvert le compas de la grandeur de la ligne À E, qu'on suppose égale à b, & mis une des pointes sur l'extremité A, il faut marquer le point E où l'autre pointe coupe

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M A N I E R E.

99 tee=PE

LIVRE VIU.

SO3 la demi-circonference, & tirer EB, ce sera la valeur de x'}

car EB*(xx)= AB°(aa) AE(bb) ; & * = Vad bb. . 292.

Quand on a l'équation xx = aa + bb, on trouvera la
valeur de x, en faisant un angle droit AEB des deux lignes
AE, EB, dont on suppose la premiere égale à a,& la seconde
égale à b; puis tirant l'hypothenuse AB par les extremités
A, B de ces lignes, AB sera la valeur de x; car AB*(xx)
= AE* (aa) + EB*(66);&x=Vāa+ bb.

VIII.
Resolution geometrique des équations du second degré.

PREMIERE
à 293. Toutes les équations du second degré peuvent se resou-

dre geometriquement par les Corollaires précedens ; c'est
à dire, on peut trouver les deux valeurs en lignes de l'in-
connue de ces équations; car toutes ces équations peuvent
se réduire à cette formule xx + dx + ce=0; d, c, e, re-
presentent des lignes données dans les Problemes de ces
équations. Or il faut réduire le terme connu ce* à un quar- * 290:
bb , & la formule sera xx + do + bb=0. Il faut faire
évanouir le second terme, en supposant x

Fid; & l'on
aura la transformée = 11 13 dd I bb; &x=+vidd bb.
On trouvera la valeur de z par le septiéme Corollaire, à
laquelle ajoutant la ligne =įd, quand le second terme
a — , & en retranchant d, quand le second terme a+;
l'on aura la valeur de x.

SECONDE N - 294. Pour rendre cette resolution plus distincte, on réduira toutes les équations du second degré à ces quatre formules.

La premiere racine. La seconde racine, 1", xx

dx - 66= 0. x= įd+Vidd + bb. x= Id-Vedd + bb. 2', *x + dx - bb

-d+Vidd+bb. x=- - d-Vidd + bb. 3', *x dx + 66 =

Įd+Vidd - bb. x= /d - V7 dd - bb. 4*, *x + dx + bb=0.

=0. x=-d+VIdd - bb. x=- =-1d-V4dd bb. Pour trouver les valeurs geometriques des deux racines de la premiere & de la seconde formule, dont l'une est

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MANIERE.

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