FIG.IL positive, & l'autre négative; 1°, on tirera la ligne CD égale à la moitié de la ligne representée par d dans les Problêmes exprimés par ces deux équations; c'est à dire, on fera CD d. 2°. On élevera la perpendiculaire DE = b. 3°. Du centre C avec l'hypothenuse CE, on tracera la demi circonference AEB, & on prolongera CD de côté & d'autre jusqu'à la circonference; & AD sera la racine positive de la premiere formule, & DB sa racine négative. Et au contraire DB sera la racine positive de la seconde formule, & AD sa racine négative. 2 +DE 2 +CD Car + AD=CD(+d)+CA ou CE, ou VDC2 + DE DA -V÷dd+bb); & la CE( +CB ou + CE(+√dd+bb) = = DC ( -d)-CA positive x = + DB = -CD(-d). Pour trouver les valeurs des deux racines de la troifiéme & de la quatriéme formule, 1o, il faut faire le diametre AB de la demi circonference AEB = d; ainsi CA ou Ce ou CB d. 2°. Il faut élever BF perpendiculaire fur AB à l'ex. tremite B; & faisant BF = b, mener par F la ligne FE parallele à BA. 3o Abaisser par le point E où elle rencontre la demi circonference, la perpendiculaire ED au diametre qui le rencontrera en un point D; AD sera la premiere racine positive de la troisieme formule; DB sa seconde racine positive. De même AD sera la premiere racine négative de la quatriéme formule, & DB la 2 racine négative. Car x = AD = AC (+1d) + CD ou + √삐 (+√dd-bb); & x = + DB =+CB(+1d) — CD OU-VCE-D (-dd-66). Pour la quatrième formule, la premiere racine négative est x=-AD=-CA (-d)-CD ou-VC ED 52 (-dd-bb) ; & la seconde racine négative x=-DB=-CB(-d) +CD(+√dd-bb). 2 2 2 2 2 2 2 REMARQUE. 295. QUAND dans la resolution des deux dernieres formules BF (6) furpaffe CB (d) la parallele FE au diametre AB (6)+ ১ ne peut pas rencontrer la demi- circonference; & dans ce cas le Problême est impoffible, c'est à dire il renferme contradiction; ce qui fait voir le parfait raport de l'Analyse à la Geometrie, car dans ce cas où 6 surpassed, bb furpasse dd; & dd-bb est une grandeur imaginaire; ainsi dans ce cas les deux racines de la troisiéme & de la quatrième formule font imaginaires. Dans le cas où BF(b) = CD(d), la parallele FE ne rencontre la demi-circonference qu'en ce point E, d'où menant la perpendiculaire ED (6), elle tombe au centre C; alors les deux racines font égales, & valent chacune AC(d); dans ce cas vidd - bb = 0 ; & chaque racine est égale ad. EXEMPLE II. 296. ABDE est un quadrilatere infcrit dans un cercle, pour y FIG. III. trouver des triangles semblables qui fassent découvrir les proprietés qui lui conviennent; il faut tirer les diagonales AD, BE, & la ligne DF qui fafle au point D l'angle EDF égal à l'angle ADB; & l'on aura, 1°, le triangle ADB femblable au triangle EDF; car l'angle ADB est égal par la supposition à l'angle EDF, & les angles DAB, DEF font égaux, ayant chacun pour mesure la moitié de l'arc B D. 2°. Les triangles ADE, BDF font aussi semblables, parceque les angles ADE, BDF sont égaux, contenant chacun les angles BDA, EDF égaux par la supposition; & de plus l'angle commun FDA, & les angles DAE, DBF font aussi égaux, ayant chacun pour mesure la moitié de l'arc DE. Supposant à present AE=a, AB=b, BD = c, DE =d, AD=e, BE=f, FE = x; par consequent BF =BE(f) - FE (x). L'on aura à cause des triangles femblables ADB, EDF, AD (e). DE (d) :: AB (b). EF(x); d'où l'on déduira cette premiere égalité ex = bd. L'on aura aussi à cause des triangles semblables ADE, DBF, BF (f-x). AE (a) :: BD (c) . AD (e); d'où l'on déduira cette seconde égalité ef - ex = ac. Ajoutant ces deux ega$ ff iij FIG. IV. DEMONTRE'E. litez, on trouve AD × BE (ef) = AE × BD (ac) + AB x DE (bd); c'est à dire qu'en tout quadrilatere inscrit au cercle, le rectangle des diagonales AD × BE(ef), est égal à la fomme des rectangles des côtés opposes AE XBD+AB × DE (ac+bd), qui est une proprieté de ce quadrilatere qui sert dans la trigonometrie. EXEMPLE III. PARTAGER ARTAGER une ligne donnée AB (a) en deux parties AC, 297. CB, en forte que la Partie AC foit moyenne proportionelle entre la ligne entiere AB & la partie CB. aa Soit la partie inconnue que l'on cherche AC = x, ainsi CB=a - * ; & par les conditions du Problême l'on aura AB(a). AC (x) :: AC (x). CB (a-x); d'où l'on déduira l'équation - ax = xx, ou xx + ax - aa = 0, On trouvera la valeur positive de xa+Vaaaa, ou-a+Vaa, en faisant (fig. 2.) CD = a, la perpendiculaire DE = a; traçant du centre C avec l'hypothenuse CE prise pour rayon l'arc BE, & prolongeant CD jusqu'à l'arc en B, car DB fera=x=+CBou+CE(+√aa+aa) -CD(-a) = AC (fig. 4.) que l'on cherchoit. AVERTISSEMENT. CES Exemples fuffisent pour faire voir l'usage de l'Analyse dans la Geometrie simple; il sera plus utile de faire voir l'usage de l'Analyse dans les sciences Physico-mathematiques qui servent à perfectionner les Arts, & dans la Geometrie composée, c'est à dire, dans la science des lignes courbes. SECTION II. Où l'on fait voir l'usage de l'Analyse dans les sciences les Arts. Usage de l'Analyse pour refoudre les Problêmes de l'art Principes que l'on suppose pris des traités du mouvement. DEFINITIONS, I. + 298. ON supposera la masse du mobile = m, sa vitesse = v, la longueur parcourue = 1, le temps employé à parcourir cette longueur = t. Quand il y aura differentes masses, vitesses, longueurs, temps, on marquera les masses differentes par des m differentes, & de même les vitesses, les lon. gueurs & les temps. 299. 300. I I. La quantité du mouvement est le produit de la masse par la vitesse, c'est à dire mu; mais pour ne pas multiplier les difficultés, on ne confiderera dans la suite qu'un même mobile, ainsi la quantité ou la force du mouvement sera sa vitesse. III. Le mouvement égal ou uniforme est celui dont la vitesse demeure la même pendant la durée du mouvement. Le mouvement acceleré est celui qui à chaque instant de sa durée reçoit une nouvelle augmentation de vitesse; le mouvement retardé, celui qui perd à chaque instant une partie de la vitesse qu'il avoit : Le mouvement uniformement ou également acceleré ou retardé, celui qui à chaque instant reçoit une égale augmentation ou perd une égale quantité de sa vitesse. Comme on ne parlera ici que du mouvement acceleré ou retardé de cette derniere maniere, on le nommera simplement mouvement acceleré ou retardé. : + velocità 1= 12 v=4 T=6 T= 6. L= 48 U= 8 1 508 ANALYSE DEMONTREE. SUPPOSITIONS QU'IL FAUT SE RENDRE FAMILIERES Pour comparer enfemble les mouvemens uniformes. 301. DANS les mouvemens uniformes la vitesse est égale à la longueur parcourue divisée par le temps employé à la parcourir, u = 4; par confequent =, &l=tu. 302. 303. Par consequent quand les mouvemens uniformes font differens, V. u :: :: Lt. lT ; & T. t :: :: Lu IV :: 누 & L.::TV.tu ::.. и T 16 74 Il suit de là, 1o, que quand = u ; = 4, & L. 1: T.t, ce qu'il faut bien remarquer, & que Lt = IT. 304. 2°. Que quand T = t; L.1:: Vu, ce qu'il faut bien remarquer, & que Lu =lv. 305. 3°. Que quand L = 1; V. u ::t.T, & que VT = ut. II. Sur la pesanteur. 306. La pesanteur, dont on n'examinera point ici la cause, fair qu'un corps pesant en defcendant librement depuis le repos, acquiert à tous les inftans de la chute des degrés égaux de vitesse. L'on n'aura ici nul égard à la resistance de l'air, l'experience faisant connoître qu'elle n'apporte pas de changement confiderable à un corps tres pesant comme l'est une bombe. C'est pourquoi on supposera que les degrés de vitesse que le corps pesant acquiert pendant chaque inftant de sa chute, fe confervent entiers dans les inftans suivans de la chute, pendant lesquels le même corps en acquiert toujours de nouveaux. De forte que partageant la durée de la chute en trois temps égaux, dont chacun foit = t, le premier degré de vitesse s'acquiert depuis le repos jusqu'à la fin de it, & il est tout acquis à la fin de 11, & il demeure entier dans les deux temps suivans; pendant le fecond temps le corps pesant acquiert un second degré de vitesse égal aur premier, & ce second degré est tout acquis à la fin de 2t; & le mobile a deux degrés de vitesse acquise à la fin de 2t. Le troisième degré de vitesse s'acquiert pendant le troifiéme temps, & il est tout acquis à la fin de 3t, & alors le corps pesant a trois degrés de vitesse acquise. Sur |