Imágenes de páginas
PDF
EPUB

H

FIG.II. pofitive, & l'autre négative; 1°, on tirera la ligne CD égale à la moitié de la ligne representée par d dans les Problêmes exprimés par ces deux équations; c'est à dire, on fera CD

d. 2°. On élevera la perpendiculaire DE= b. 3°. Du centre C avec l'hypothenufe CE, on tracera la demi circonference AEB, & on prolongera CD de côté & d'autre jufqu'à la circonference; & AD fera la racine pofitive de la premiere formule, & DB fa racine négative. Et au contraire DB fera la racine pofitive de la feconde formule, & AD fa racine négative.

CB ou

[ocr errors]

2

Car+AD CD (+d)+CA ou CE, ou VDC2 + DE
【V1dd +bb); ainsi AD=x={d+√4 dd+bb; & DB —
CE, ou VCD
'CD2 + DE2 ( — √ dd +bb) + CD
(+id); ainsi DB — x — + 1⁄2 d ·√dd + bb; & pour la
feconde formule, il faut prendre la racine négative du côté
de DA, & l'on aura x —— DA—— DC ( — 1d) — CA
.ou CE ( — √ dd + bb); & la positive x — ✈ DB
➡CB ou +CE (→ √ dd + bb) — CD ( — 1d).

Pour trouver les valeurs des deux racines de la troifiéme & de la quatrième formule, 1o, il faut faire le diametre AB de la demi circonference AEB-d; ainfi CA ou CE ou CB

d. 2°. Il faut élever BF perpendiculaire fur AB à l'extremité B; & faifant BFb, mener par F la ligne FE parallele à BA. 3° Abaiffer par le point E où elle rencontre la demi circonference, la perpendiculaire EB au diametre qui le rencontrera en un point D; AD fera la premiere racine pofitive de la troifiéme formule; DB fa feconde racine pofitive. De même AD fera la premiere racine négative de la quatriéme formule, & DB la 2o racine négative. Car x = AD AC ( + 1⁄2 d ) + CD ou + √CE' (+ √ dd — bb ) ; & x = + DBCB (+1d) - CD — ED2 (√dd-bb). Pour la quatrième formule, la premiere racine négative eft x=-AD-CA

ou

CE

[ocr errors]

(-1/d) - CD ou

2

2

ED

-VCE

2

ED2 (√ dd - bb ) ; & la

feconde racine négative x=-DB—— CB ( — 1d)

[merged small][ocr errors][merged small][merged small]

REMARQUE.

295. QUAND dans la refolution des deux dernieres formules BF (b) furpaffe CB (d) la parallele FE au diametre AB (b)► ne peut pas rencontrer la demi- circonference; & dans ce cas le Problême eft impoffible, c'est à dire il renferme con-. tradiction; ce qui fait voir le parfait raport de l'Analyse à la Geometrie, car dans ce cas où 6 furpaffed, bb furpaffe dd ; & √dd — bb eft une grandeur imaginaire, ainfi dans ce cas les deux racines de la troifiéme & de la quatrième formule font imaginaires.

Dans le cas où BF (b) = CD (d), la parallele FE ne rencontre la demi-circonference qu'en ce point E, d'où menant la perpendiculaire ED (b), elle tombe au centre C; alors les deux racines font égales, & valent chacune AC(d); dans ce cas vdd—bbo; & chaque racine est égale à 1 d.

EXEMPLE II.

296. ABDE est un quadrilatere infcrit dans un cercle, pour y FIG. III. trouver des triangles femblables qui faffent découvrir les proprietés qui lui conviennent; il faut tirer les diagonales AD, BE, & la ligne DF qui faffe au point D l'angle EDF égal à l'angle ADB ; & l'on aura, 1o, le triangle ADB femblable au triangle EDF ; car l'angle ADB eft égal par la fuppofition à l'angle EDF, & les angles DAB, DEF font égaux, ayant chacun pour mefure la moitié de l'arc B D. 2o. Les triangles ADE, BDF font auffi femblables, parceque les angles ADE, BDF font égaux, contenant chacun les angles BDA, EDF égaux par la fuppofition ; & de plus l'angle commun FDA, & les angles DAE, DBF font auffi égaux, ayant chacun pour mefure la moitié de l'arc DE.

Suppofant à prefent AE= a, AB=b, BD=c, DE =d, AD=e, BE=f, FE=x; par confequent BF = BE (ƒ) — FE (x). L'on aura à caufe des triangles femblables ADB, EDF, AD(e). DE (d) :: AB (b). EF (x); d'où l'on déduira cette premiere égalité ex bd. L'on aura aussi à cause des triangles femblables ADE, DBF, BF (f — x). AE (a) :: BD (c) . AD (e); d'où l'on déduira cette feconde égalité ef—exac. Ajoutant ces deux ega

litez, on trouve AD × BE (ef) = AE × BD (ac) + AB × DE (bd); c'est à dire qu'en tout quadrilatere infcrit au cercle le rectangle des diagonales AD × BE (ef), eft égal à la fomme des rectangles des côtés oppofes AE × BD+ AB × DE (ac+bd), qui eft une proprieté de ce quadrilatere qui fert dans la trigonometrie.

FIG. IV. PARTAGER

297.

EXEMPLE III.

AGER une ligne donnée AB (a) en deux parties AC, CB, en forte que la Partie AC foit moyenne proportionelle entre la ligne entiere AB & la partie CB.

Soit la partie inconnue que l'on cherche AC=x, =x, ainfi СВ CB=a-x3 & par les conditions du Problême l'on aura AB(a). AC (x) :: AC (x). CB ( a − x); d'où l'on déduira l'équation aa — ax = xx, ou xx + ax — aa = 0. On trouvera la valeur pofitive de x —— La+√1 aa + aa, - a + Vaa, en faisant (fig. 2.) CD=a, la perpendiculaire DE = a; traçant du centre C avec l'hypothenuse CE prife pour rayon l'arc BE, & prolongeant CD jusqu'à l'arc en B, car DB fera⇒x=+CB ou+CE (+Vaa+aa) — CD (— — a) — AC (fig. 4.) que l'on cherchoit.

ou

AVERTISSEMENT.

CES Exemples fuffifent pour faire voir l'ufage de l'Analyse dans la Geometrie fimple; il fera plus utile de faire voir l'ufage de l'Analyse dans les sciences Phyfico-mathematiques. qui fervent à perfectionner les Arts, & dans la Geometrie composée, c'est à dire, dans la science des lignes courbes.

SECTION II.

Où l'on fait voir l'ufage de l'Analyse dans les fciences
Phyfico-mathematiques qui fervent à perfectionner
les Arts.

Ufage de l'Analyse pour refoudre les Problêmes de l'art.
de jetter les Bombes.

Principes que

l'on fuppofe pris des traités du mouvement.

DEFINITIONS.

I.

298. ON fuppofera la maffe du mobile =m, sa vitesse — v, la longueur parcourue = , le temps employé à parcourir cette longueur = =t. Quand il y aura differentes maffes, viteffes, longueurs, temps, on marquera les maffes differentes par des m differentes, & de même les viteffes, les longueurs & les temps.

299.

300.

I I.

La quantité du mouvement eft le produit de la maffe par la viteffe, c'est à dire mus mais pour ne pas multiplier les difficultés, on ne confiderera dans la fuite qu'un même mobile, ainfi la quantité ou la force du mouvement fera sa viteffe.

III.

Le mouvement égal ou uniforme eft celui dont la viteffe demeure la même pendant la durée du mouvement. Le mouvement acceleré eft celui qui à chaque inftant de fa durée reçoit une nouvelle augmentation de viteffe; le mouvement retardé, celui qui perd à chaque instant une partie de la viteffe qu'il avoit : Le mouvement uniformement ou également acceleré ou retardé, celui qui à chaque inftant reçoit une égale augmentation ou perd une égale quantité de fa viteffe. Comme on ne parlera ici que du mouvement accelere ou retardé de cette derniere maniere, on le nommera fimplement mouvement acceleré ou retardé.

+ velocità

+=3 1=12 v = 4

T= G
L= 48

U = 8

308

ANALYSE DEMONT R E' E.

SUPPOSITIONS QU'IL FAUT SE RENDRE FAMILIERES.

I.

Pour comparer enfemble les mouvemens uniformes. 301. DANS les mouvemens uniformes la vitesse est égale à la longueur parcourue divifée par le temps employé à la parcourir, u = = par confequent, & l = tu. Par confequent quand les mouvemens uniformes font differens, V. u :: 4 t :: Lt. IT ; & T.::.:: Lu. IV :: . ; & L.l: TV. tu Ꮴ

302.

303.

L

Τ

u

· t

[ocr errors]
[ocr errors]

Il fuit de là, 1o, que quand V=u; ‡ = ¦ , & L . l :: T.t, ce qu'il faut bien remarquer, & que Lt = IT. 304. 2o. Que quand Tt; L. IV. u, ce qu'il faut bien remarquer, & que La = IV.

305. 3°. Que quand Z=1; 7. ut. F, & que VT — ut.

A

II.

Sur la pefanteur.

306. La pefanteur, dont on n'examinera point ici la cause, fait qu'un corps pefant en defcendant librement depuis le repos, acquiert à tous les inftans de la chute des degrés égaux de viteffe. L'on n'aura ici nul égard à la refistance de l'air, l'experience faifant connoître qu'elle n'apporte pas de changement confiderable à un corps tres pefant comme l'eft une bombe. C'eft pourquoi on fuppofera que les degrés de viteffe que le corps pefant acquiert pendant chaque inftant. de fa chute, fe confervent entiers dans les inftans fuivans de la chute, pendant lefquels le même corps en acquiert toujours de nouveaux. De forte que partageant la durée de la chute en trois temps égaux, dont chacun foitt, le premier degré de viteffe s'acquiert depuis le repos jufqu'à la fin de it, & il eft tout acquis à la fin de it, & il demeure entier dans les deux temps fuivans; pendant le fecond temps le corps pefant acquiert un fecond degré de vitesse égal au premier, & ce fecond degré eft tout acquis à la fin de 2t; & le mobile a deux degrés de vitesse acquise à la fin de 2t. Le troifiéme degré de viteffe s'acquiert pendant le troifiéme temps, & il est tout acquis à la fin de 3t, & alors le corps pefant a trois degrés de viteffe acquife.

Sur

« AnteriorContinuar »