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ou

FIG. Il positive, & l'autre négative; 1°, on tirera la ligne CD égale

à la moitié de la ligne representée par d dans les Problèmes
exprimés par ces deux equations ; c'est à dire, on fera CD
=id. 2°. On élevera la perpendiculaire De=b. 3o. Du
centre C avec l'hypothenuse ce, on tracera la demi cir-
conference AEB, & on prolongera CD de côté & d'autre
jusqu'à la circonference ; & AD sera la racine positive de
la premiere formule, & DB sa racine négative. Et au con-
traire D B sera la racine positive de la seconde formule, &
AD fa racine négative.

Car + AD=CD/+{d) + CA ou CE, OU VDC? + DE
(Vidd + bb); ainsi AD = x=\d+Vydd+bb; & DB=
CB ou

CE, ou CD + DE’ (Vidd +bb) + CD (+{d); ainsi DB =*=+ +ļdvdd + bb ; & pour la seconde formule, il faut prendre la racinę négative du côté de DA, & l'on aura x =- DA=-DC (-40)

CE(-Vidd + bb); & la positive x = + DB = + CB ou + CE(+Vidd +66) -CD (-1d).

Pour trouver les valeurs des deux racines de la troisiéme & de la quatrieme formule, 1°, il faut faire le diametre AB de la demi circonference AEB=d; ainsi CA ou CE ou CB ={d. 2°. Il faut élever BF perpendiculaire sur A B à l'ex. tremité B; & faisant BF =b, mener par F la ligne Fe parallele à BA. 3° Abaisser par le point E où elle rencontre la demi circonference, la perpendiculaire ED au diametre qui le rencontrera en un point D; AD sera la premierę racine positive de la troisiéme formule ; D B sa* seconde racine positive. De même AD fera la premiere racine négative de la quatriéme formule, & DB la 2“ racine négative.

Car x= AD= AC(+ d) + CD ou + V CE? (+Vidd bb);&x=

+DB=+CB ( +įd) - CD ou - Vce' - ED' (- Vidd 66). Pour la quatrième formule, la premiere racine négative est x=-AD=-CA (id)-CD ou - VoE – ED(Vidd bb); & la seconde racine négative x =- DB CB(-10) + CD (+vidd 66).

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ED

2 }

+

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R E MAR OU E. 295. Quand dans la resolution des deux dernieres formules BF (b) surpasse CB (įd) la parallele FE au diametre AB (6)

2 ne peut pas rencontrer la demi - circonference; & dans ce cas le Problême est impossible, c'est à dire il renferme con-. tradicion; ce qui fait voir le parfait raport de l'Analyse à la Geometrie; car dans ce cas où b surpassed, bb furpasse idd; & Vidd bb est une grandeur imaginaire ; ainsi dans ce cas les deux racines de la troisiéme & de la quatrième formule sont imaginaires.

Dans le cas où BF(b)=CD(d), la parallele FE ne rencontre la demi-circonference qu'en ce point E, d'où menant la perpendiculaire ED (6), elle tombe au centre C; alors les deux racines sont égales, & valent chacune ACED); dans ce cas vidd bb=0; & chaque racine est égale à įd.

EXEMPLE I 1. 296. ABDE est un quadrilatere inscrit dans un cercle, pour y Fig. III.

trouver des triangles semblables qui fassent découvrir les
proprietés qui lui conviennent ; il faut tirer les diagonales
AD, BE, & la ligne DF qui fasse au point D l'angle EDF
égal à l'angle ADB; & l'on aura, 1', le triangle ADB sem-
blable au triangle EDF ; car l'angle ADB est égal par la
supposition à l'angle EDF, & les angles DAB, DEF sont
égaux, ayant chacun pour mesure la moitié de l'arc B D.
2. Les triangles ADE, BDF sont aussi semblables, parce-
que les angles ADE, BDF sont égaux, contenant chacun
les angles BDA, EDF égaux par la supposition ; & de plus
l'angle commun FDA, & les angles DAE, DBF sont ausli
égaux, ayant chacun pour mesure la moitié de l'arc DE.

Supposant à present Ae=a, AB=b, BD=1, DE
=d, AD=é, BE=f, FE=x; par consequent BF
= BE (F) FE(x). L'on aura à cause des triangles sem-
blables ADB, EDF, AD(e). DE (d) :: AB (6). EF (*);
d'où l'on déduira cette premiere égalité ex=bd. L'on aura
ausli à cause des triangles semblables ADE, DBF, BF
(f- *). AE (a):: BD (C). AD(e); d'où l'on déduira
cette seconde égalité ef - ex=ac. Ajoutant ces deux ega-

SIT üj

litez, on trouve AD * BE (ef) = AER BD (ac) + ABX DE (bd); c'est à dire qu'en tout quadrilatere inscrit au cercle , le rectangle des diagonales AD * BE(ef), eft égal à la somme des rectangles des côtés opposes AE BD+ AB x D E (ac+bd), qui est une proprieté de ce quadrilatere qui sert dans la trigonometrie.

EXEMPLE II I. fic. IV. PARTAGER

ARTAGER une ligne donnée AB (4) en deux parties AC, 297 CB, en forte

que la Partie AC soit moyenne proportionelle entre la ligne entiere AB & la partie CB.

Soit la partie inconnue que l'on cherche AC=x, ainsi CB=a— *;& par les conditions du Problême l'on aura AB(a). AC (*) :: AC (*). CB ( a - *); d'où l'on déduira l'équation aa

ax = xx, Oll xx + ax On trouvera la valeur positive de x=- =-a+Vaa + aa, ou - 1a+Vaa, en faisant (fig. 2.) CD= a, la perpendiculaire De = a; traçant du centre C avec l'hypothenuse CE prise pour rayon l'arc BE, & prolongeant CD jusqu'à l'arc en B, car DB sera =x=+CBou+CE(+Vaa+aa) - CD (-a)= AC (fig. 4.) que l'on cherchoit.

AVERTISSEMENT. Ces Exemples fuffisent pour faire voir l'usage de l'Analyse dans la Geometrie simple ; il sera plus utile de faire voir l'usage de l'Analyse dans les sciences Physico-mathematiques qui servent à perfectionner les Arts, & dans la Geometrie composée, c'est à dire, dans la science des lignes courbes.

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SECTION II.
l'on fait voir l'usage de l'Analyse dans les sciences
Physico-mathematiques qui servent à perfectionner

les Arts.
Usage de l’Analyse pour resoudre les Problèmes de l'art

de jetter les Bombes. Principes que l'on suppose pris des traités du mouvement.

DEFINITIONS.

I. 298. On supposera la masse du mobile =m, sa vitesse = v, la

longueur parcourue El, le temps employé à parcourir cette longueur = t.

=t. Quand il y aura differentes masses, vitesses, longueurs, temps,.on marquera les masses differentes par des m differentes, & de même les vitesses, les lon. gueurs & les temps.

II. 299

La quantité du mouvement est le produit de la masse par la vitesse, c'est à dire mu; mais pour ne pas multiplier les difficultés, on ne considerera dans la suite qu'un même mobile ; ainsi la quantité ou la force du mouvement sera sa vitesse.

III. 300.

Le mouvement égal ou uniforme est celui dont la vitesse demeure la même pendant la durée du mouvement. Le mouvement acceleré est celui qui à chaque instant de sa durée reçoit une nouvelle augmentation de vitesse ; le mouvement retardé, celui qui perd à chaque instant une partie de la vitesse qu'il avoit : Le mouvement uniformement ou également acceleré ou retardé, celui qui à chaque instant reçoit une égale augmentation ou perd une égale quantité de la vitesse. Comme on ne parlera ici que du mouvement acceleré ou retardé de cette derniere maniere , on le nommera simplement mouvement acceleré ou retardé.

+ velocita

t=3 I= 12 US4

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T= 6.
L = 48
U=8

SUPPOSITIONS QU'IL FAUT SE RENDRE FAMILIERES.

I.
Pour comparer ensemble les mouvemens uniformes.
301. Dans les mouvemens uniformes la vitesse est égale à la

longueur parcourue divisée par le temps employé à la par

courir, u= şi par consequent t=,&l= tu.
302. Par consequent quand les mouvemens uniformes sont

differens, V. u:: :: Lt.IT; &T.t:: :: Lu.

IV :: 4. & L.L::TV .tu ::.*.
303. Il suit de là, r°, que quand v=u; =*,&L.I ::

T.t, ce qu'il faut bien remarquer, & que Lt=IT.
304. 2°. Que quand T =ti L.1::Viu, ce qu'il faut bien

remarquer, & que Lu=IV.
305. 3o. Que quand L=l; .ut.T, & que VT =ut.

II.

Sur la pesanteur.
306. LA pesanteur, dont on n'examinera point ici la cause, fait

qu'un corps pesant en descendant librement depuis le repos,
acquiert å tous les instans de la chure des degrés égaux de
vitesse. L'on n'aura ici nul égard à la resistance de l'air,
l'experience faisant connoître qu'elle n'apporte pas de chan-
gement considerable à un corps tres pesant comme l'est une
Bombe. C'est pourquoi on fuppofera que les degrés de

le corps pesant acquiert pendant chaque inftant de sa chute , fe conservent entiers dans les instans suivansde la chute, pendant lesquels le même corps en acquiert toujours de nouveaux. De sorte que partageant la durée de la chute en trois temps égaux, dont chacun soit =t, le premier degré de vitesse s'acquiert depuis le repos jusqu'à la fin de it, & il est tout acquis à la fin de it, & il demeure entier dans les deux temps fuivans ; pendant le fecond temps le corps pesant acquiert un second degré de vitesse égal aur premier, & ce second degré est tout acquis à la fin de at; & le mobile a deux degrés de vitesse acquise à la fin de 2t. Le troisiéme degré de vitesse s'acquiert pendant le troisiémie tenips, & il est tout acquis à la fin de 3t, & alors le

corps pesant a trois degrés de vitesse acquise.

vitesse que

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