III.

Sur les mouvemens accelerés.

307. Les longueurs parcourues par un même corps qui descend librement, prises chacune depuis le repos, font entr'elles comme les quarrés des temps employés à les parcourir; elles font aussi entr'elles comme les quarrés des vitesses acquises à la fin des temps employés à parcourir ces longueurs.

Par exemple un corps pesant tombant librement depuis FIG. V. le repos A, parcourt AB pendant 11; AC pendant 21; AD pendant 3t; AE pendant 4t. La vitesse acquise à la fin de it est u; à la fin de 2t, elle est 24 ; à la fin de 3t, elle est 3u ; à la fin de 4t, elle est 4u.

AB. AC :: 1tt. 4tt :: Iuu.quu. De même AC. AD :: 4tt. 9tt :: 4uu. quu. De même AD . AE :: 9tt. 16tt :: 9uu. 16uu. De même AC. AE :: 4tt. 16tt :: 4uu. 16uu, &c.

Ainsi nommant Z une longueur parcourue depuis le repos; 7, le temps employé à la parcourir; V, la vitesse acquise à la fin de ce temps ; & / une autre longueur parcourue depuis le repos; t, le temps employé à la parcourir; u, la vitesse acquise à la fin de ce temps; on aura cette expression generale de la troisième supposition L. 1 :: TT. tt :: VV,

и и.

COROLLAIRE.

308. D'où il fuit que dans les mouvemens accelerés V. u :: VL .√l :: T . t. Par consequent dans les mouvemens accelerés on peut exprimer les vitesses par les racines des longueurs parcourues depuis le commencement, ou depuis le repos; on peut aussi exprimer les temps par les racines des mêmes longueurs; puisque ces vitesses sont entr'elles, & ces temps entr'eux comme les racines de ces longueurs; ainsi V = Vi

16

✓l, & de même T = √L, t = VI.

I V.

Sur les mouvemens retardés.

309. Un corps pesant qui est poussé verticalement de bas en haut avec une vitesse quelconque toute acquise, perd à chaque instant de la montée un degré de sa vitesse égal à celui qu'il acquiereroit à chaque instant en defcendant, jusqu'à

Ttt

ce que l'action de la pesanteur lui ait fait perdre au dernier instant de la montée le dernier degré de la vitesse avec la quelle il avoit été pouffé en haut; après quoi il retombe librement par l'action de la pesanteur. Les longueurs que les vitesses qu'il perd (en partageant en temps égaux la durée de la montée) l'empêchent de parcourir, prises depuis le commencement, font entr'elles comme les quarrés des remps, & aussi comme les quarrés des vitesses perdues s c'est à dire, nommant - Z la longueur prise depuis le commencement de la montée, qu'empêche de parcourir la vitesse perdue - au corps pesant pouffé en haut, pendant le temps T, est à une autre longueur / prise auffi depuis le commencement qu'empêche de parcourir la vitesse perdue - u pendant un autre temps t, comme TT à tt, & comme VV à au; ainsi - L. - 1 :: TT,tt ;; VV. uu; & -VL-VI :: - V, -u :: T. t.

i

V.

Pour comparer les mouvemens accelerès & retardés avec
les uniformes.

310. Un corps pesant étant defcendu depuis le repos pendant un temps quelconque 7 de la longueur Z en acquierant la vitesse ; fi dans le même temps 7, il est mû uniformement felon une direction quelconque, soit verticale, foit horizontale ou inclinée avec la même vitesse toute acquise, il parcourera une longueur 2 Z double de la premiere Z. On peut appliquer la même proposition au mouvement retardé.

311.

OUR

COROLLAIRES.

I.

Pour réduire les mouvemens accelerés ou retardés aux uniformes, il faut prendre les vitesses de mouvemens accelerés toutes acquises, & les concevoir comme demeurant uniformes; & fi l'on prend les mêmes temps, il faut doubler les longueurs parcourues par la vitesse qui s'acquieroit dans le mouvement acceleré. Ainsi dans le mouvement acceleré la vitesse qui s'acquieroit faisoit parcourir la longueur L dans le temps 7; Pour le réduire à l'uniforme, il faut concevoir que la même vitesse toute acquise fera parcourir Z dans le même temps T.

312.

313.

I I.

Par consequent la même vitesse toute acquise fera par. courir la même longueur Z dans le mouvement uniforme dans la moitié du temps 7; c'est à dire, dans le temps T; elle fera, dis-je, parcourir la même longueur Z qu'elle feroit parcourir dans le mouvement acceleré pendant qu'elle s'ac. quieroit dans le temps entier T. Car puisque la vitesse acquise ✓ dans le temps 7 feroit parcourir 2 Z dans le mouvement uniforme; dans le même mouvement uniforme, elle fera parcourir Z moitié de 22 dans, qui n'est que la moitié du temps 7, pendant lequel la même longueur Z feroit parcourue dans le mouvement acceleré pendant que la vitesse s'acquiert.

Il faut s'apliquer à concevoir clairement ce fecond Corollaire, & fe le rendre bien familier pour n'être pas embarasse dans la fuite: car c'est celui qui n'étant pas bien conçu, feroit de la difficulté au Lecteur..

III.

Si un corps pesant en defcendant librement depuis le FIG. V. repos au point A, & parcourant la longueur AE (Z), acquiert la viteffe dans le temps 7, & qu'il soit repouffé en haut de E vers A avec la même vitesse toute acquise, il eft évident que fa pesanteur lui fera perdre dans un temps égal au premier 7 fa vitesse V, & que cette vitesse v sera détruite par l'action de la pesanteur precisément à la fin du temps T.

314. Suppose qu'un corps étant descendu par le mouvement Fre. V. acceleré de sa pesanteur depuis le repos en A, & ayant parcouru la longueur AE (L) en acquierant la vitesse dans le temps 7, foit repousse de E vers A avec la même viteffe route acquife V, & remonte par un mouvement retardé à cause de sa pefanteur, il remontera precisément à la même hauteur dans le même temps 7 qu'il avoit employé à defcendre, c'est à dire, il parcourera en remontant precisément la même hauteur EA(L) dans le même temps 7, & il ne fçauroit remonter plus haut. Car avec la vitesse toute acquise il remonteroit 2 Z dans le temps 7*, fi elle demeuroit * 310. uniforme, & que le mouvement ne fût pas retardé par la pesanteur; mais la vitesse v dans le temps 7' étant entierement détruite par le Corollaire précedent, la vitesse perdue

dans le temps 7 eft - V égale à la vitesse positive +V, & la longueur - / que la vitesse - Vempêche de parcourir en se perdant par le mouvement retardé, est à la longueur + Z que la vitesse + feroit parcourir en s'acquierant par le mouvement acceleré, comme le quarré du temps t du mouvement retardé au quarré du temps 7 du mouvement acceleré, & encore comme le quarré de la vitesse - Vau

* 307. quarré de la vitesse + V. * - 1. + L :: tt. TT :: VV .VV; & comme les vitesses sont égales, les temps le font auffi; &-1=+L: Par consequent puisque le corps en remontant avec la vitesse acquise V, parcoureroit 2 L ou 2EA dans le même temps T, si le mouvement demeuroit uniforme, il ne parcourera que L ou EA dans le mouvement retardé, puisqu'il faut ôter - L de + 1L, c'est à dire + 2EA; & fa vitesse étant entierement détruite par la pesanteur à la fin du temps 7, il ne peut pas remonter plus haut que EA(L), d'où il étoit descendu,

V.

EA de

315. Un corps poussé par un mouvement uniforme suivant telle direction qu'on voudra avec la vitesse qu'il auroit acquise FIG, V, en tombant de la hauteur AE (L) dans le temps 7, parcou rera 22 dans le même temps T, & 42 dans 27; & dans le mouvement_retardé s'il eût esté pousse en haut avec la même viresse, il n'auroit remonté pendant le temps T que la hauteur Z, & ensuite retombant par la pesanteur dans le second temps Tégal au premier, il auroit parcouru la même hauteur Z, & feroit arrivé au point d'où on l'auroit pouffé en haut; c'est à dire qu'avec cette même vitesse dans le temps 7 de la montée Z du mouvement retardé, le corps parcourera deux fois Z par le mouvement uniforme ; & dans le temps de la montée & de la defcente du mouvement retarde & acceleré, il parcourera quatre fois Z par le mou vement uniforme,

SIXIEME SUPPOSITION,
Sur les mouvemens composés.

316. UN corps A est pouffé en même temps par deux forces, FIG. VI. l'une suivant la direction AB, l'autre suivant AD, qui font l'angle quelconque BAD, de maniere que la vitefle que donne la premiere foit à la vitesse que donne la seconde dans

le même temps, comme AB est à AD; si l'on acheve le
parallelogramme BD, & qu'on tire la diagonale AC, cette
diagonale AC marquera le chemin que tiendra le mobile,
la longueur qu'il parcourera dans le même temps, & la
vitesse qu'il aura reçue des deux forces; c'est à dire, AB eft
à AC comme la vitesse suivant AB est à la vitesse suivant AC,
& de même la vitesse suivant AD est à la vitesse suivant AC,
comme AD ou son égale BC est à AC, & il parcoureroit
chacune de ces trois lignes en des temps égaux avec la vitesse
respective qui leur convient.

COROLLAIRES.
I.

317. QUAND un corps A parcourt l'hypothenuse AC d'un F16. VII.
triangle rectangle ABC d'un mouvement uniforme, sa vitesse
peut être regardée comme venant de deux forces qui lui
donneroient des vitesses suivant les deux côtés qui seroient
entr'elles comme AB & BC, & qui lui feroient parcourir
separément ces côtés dans le même temps qu'il parcourt

318.

AC.

I I.

Quand un corps A va rencontrer obliquement un plan Fic. VII.
ou une ligne BC au point C suivant AC, en tirant d'un point A
pris fur AC la perpendiculaire AB à BC, & prenant AC
pour exprimer la force totale ou la vitesse totale du mobile A,
AB exprimera l'effort de ce mobile contre BC, ou la vitesse
avec laquelle il pousse BC.

A

PROBLEME I.

319. Le côté BA(a) du triangle rectangle ABC étant suppose FrG.VII.
vertical, son côté BC (6) horizontal, & l'hypothenuse AC (c)
inclinée sur l'horizontale AK: supposant qu'un mobile foit
poussé de A en B avec la vitesse qu'il auroit acquise par le
mouvement acceleré en tombant depuis le repos de la hau-
teur BA dans le temps 7, & parcourre d'un mouvement
uniforme AB avec cette vitesse acquise = VAB*(√a) dans * 308.
le temps 7*: Trouver, 1°, de quelle hauteur, qu'on nom-
merax, il devroit tomber pour acquerir la vitesse ✓x*, avec * 308.
laquelle il parcourera d'un mouvement uniforme le côté
horizontal BC (6) dans le temps T. 2°. De quelle hauteur,

*

1