III.

Sur les mouvemens accelerés.
307. Les longueurs parcourues par un même corps qui descend

librement, prises chacune depuis le repos, sont entr'elles
comme les quarrés des temps employés à les parcourir;
elles sont aussi entr'elles comme les quarrés des vitesses
acquises à la fin des temps employés à parcourir ces lon-
gueurs.

Par exemple un corps pesant tombant librement depuis F16. V. le

repos A, parcourt AB pendant it; AC pendant 2t; AD pendant 3t; AE pendant 4+. La vitesse acquise à la fin de it eft u; à la fin de 2t, elle est zu ; à la fin de 3t, elle est 3u ; à la fin de 4t, elle est 4u.

AB. AC :: Itt. 4tt :: luu . 4uu. De même AC. AD :: 4tt. gtt :: 4uu. Juu. De même AD. AE :: 9tt. 16tt :: 9uu . i6uu. De même AC. AE :: 4tt. 16tt :: 4uu , ibuu, &c.

Ainsi nommant L une longueur parcourue depuis le repos;T, le temps employé à la parcourir;V, la vitelle acquise à la fin de ce temps ; & l une autre longueur parcourue depuis le repos; t, le temps employé à la parcourir ; u, la vitesse acquise à la fin de ce temps ; on aura cette expression generale de la troisiéme supposition L.l:: TT .tt :: VV.

COROLLAIR E. 308. D'où il fuit

que

dans les mouvemens accelerés V. u::VL .Vl:: T .t. Par consequent dans les mouvemens accelerés on peut exprimer les vitesses par les racines des longueurs parcourues depuis le commencement, ou depuis le repos ; on peut aussi exprimer les temps par les racines des mêmes longueurs; puisque ces vitesses font entr'elles, & ces temps entr'eux comme les racines de ces longueurs; ainsi V =Vh u=VI, & de même T=VL, t=vl.

IV.

Sur les mouvemens retardés.
309. Un corps pesant qui est pouffé verticalement de bas en

haut avec une vitesse quelconque toute acquise , perd à cha-
que instant de la montée un degré de sa vitesse égal à celui
qu'il acquiereroit à chaque instant en descendant, jusqu'à

Ttt

ce que l'action de la pesanteur lui ait fait perdre au dernier instant de la montée le dernier degré de la vitesse avec laquelle il avoit été poussé en haut; après quoi il retombe librement par l'action de la pesanteur. Les longueurs que les vitesses qu'il perd (en partageant en temps égaux la durée de la montée) l'empêchent de parcourir, prises depuis lę commencement , sont entr'elles comme les quarrés des temps, & aussi comme les quarrés des vitesses perdues 5 c'est à dire, nommant - I la longueur prise depuis le commencement de la montée, qu'empêche de parcourir la vitesse perdue -V au corps pesant poussé en haut, pendant le temps T, est à une autre longueur I prise aufli depuis le commencement qu'empêche de parcourir la vitesse perdue - u pendant un autre temps t, comme TT à tt, & comme VV à uu; ainsi -L.-1::TT .t::VV. uu ; & -VL.-VI::-) :-* :: Tit,

Pour comparer les mouvemens accelerés & retardés avec

Les uniformes. 310. Un corps pesant étant descendu depuis le repos pendant

un temps quelconque T de la longueur L en acquierant lą vitesse V ; si dans le même temps T, il est mû uniformement selon une direction quelconque , soit verticale, foit horizontale ou inclinée avec la même vitesse v toute acquise, il parcourera une longueur 2 L double de la premie. re L. On peut appliquer la même proposition au mouvement retarde.

COROLLA I R E S.

I. 311. Pour réduire les mouvemens accelerés ou retardés aux

uniformes, il faut prendre les vitesses de mouvemens accelerés toutes acquises , & les concevoir comme demeurant uniformes ; & si l'on prend les mêmes temps, il faut doubler les longueurs parcourues par la vitesse qui s'acquieroit dans le mouvement acceleré. Ainsi dans le mouvement acceleré la vitesse v qui s'acquieroit faisoit parcourir la longueur L dans le temps T ; Pour le réduire à l'uniforme, il faut concevoir que la même vitesse p toute acquise fera parcourir 24 dans le même temps T,

que la moitié

II. 312.

Par consequent la même vitesse V toute acquise fera par.
courir la même longueur L dans le mouvement uniforme
dans la moitié du temps T ; c'est à dire, dans le temps T;
elle fera, dis-je, parcourir la même longueur L qu'elle feroit
parcourir dans le mouvement acceleré pendant qu'elle s'ac-
quieroit dans le temps entier T. Car puisque la vitesse acquise
V dans le temps T feroit parcourir 2L dans le mouvement
uniforme ; dans le même mouvement uniforme , elle fera
parcourir L moitié de 2L dans {T, qui n'est
du temps T, pendant lequel la même longueur í seroit
parcourue dans le mouvement acceleré pendant que la
vitesse v s'acquiert.

Il faut s'apliquer à concevoir clairement ce second Corol-
laire, & fe se rendre bien familier

pour
n'être

pas

embarafle dans la suite : car c'est celui qui n'étant pas bien conçu, feroit de la difficulté au Lecteur,

III. 313. Si un corps pesant en descendant librement depuis le Fig. V.

repos au point À, & parcourant la longueur A E (Z), acquiert
la vitesse v dans le temps T , & qu'il soit repoussé en haut
de E vers A avec la même vitesse toute acquise v , il est
evident que fa pefanteur lui fera perdre dans un temps égal
au premier T sa vitesse V, & que cette vitesse v sera détruite
par l'action de la pesanteur precisément à la fin du temps T.

IV. 314.

Suppose qu'un corps érant descendu par le mouvement fro. V. acceleré de la pesanteur depuis le repos en A, & ayant par- : couru la longueur AE (L) en acquierant la vitesse v dans le

temps 7, foit repousse de E vers A avec la même vitesle route acquife V , & remonte par un mouvement retardé à cause de la pefanteur, il remontera precisément à la même hauteur dans le même temps T qu'il avoit employé à defcendre, c'est à dire, il parcourera en remontant precisément la même hauteur EĀ(L) dans le même temps T , & il ne fçauroit remonter plus haut. Car avec la vitesse v toute acquise il remonteroit 2L dans le tempsT*, si elle demeuroit uniforme, & que le mouvement ne fût pas retardé par la pesanteur ; mais la vitesse v dans le temps T étant entierement détruite par le Corollaire précedent, la vitesse perdue.

*

dans le temps T est - V égale à la vitesse positive +V, &
la longueur
I que la vitesse

- V empêche de parcourir
en se perdant par le mouvement retarde', est à la longueur
+ I que la vitesse + V feroit parcourir en s'acquierant par
le mouvement acceleré, comme le quarré du temps t du
mouvement retardé au quarré du temps T du mouvement
acceleré, & encore comme le quarré de la vitesse

la vitesle -V au * 307, quarré de la vitesse + V.*-1.+ L :: tt. TT ::VV.VV;

& comme les vitesses sont égales, les temps le sont aussi;
&-l=+L: Par consequent puisque le corps en remon-
tant avec la vitesse acquise V, parcoureroit 2 L ou 2 E A dans
le même temps T, si le mouvement demeuroit uniforme, il
ne parcourera que l ou E A dans le mouvement retardé,
puisqu'il faut ôter -- L de + il, c'est à dire - EA de
+ 2EA; & la vitesse V écant entierement détruite par la
pesanteur à la fin du temps T, il ne peut pas remonter plus
haut que E A(Z), d'où il étoit descendu.

V.
315. Un corps poussé par un mouvement uniforme suivant telle

direction qu'on voudra avec la vitesse V qu'il auroit acquise Fic, V, en tombant de la hauteur AE(L) dans le temps T, parcou.

rera 2L dans le même temps T, & 42 dans 27 ; & dans le
mouvement retardé s'il eût esté poussé en haut avec la
même vitesle v , il n'auroit remonté pendant le temps T
que la hauteur L, & ensuite retombant par la pesanteur dans
le second temps T égal au premier,il auroit parcouru la même
hauteur 1, & seroit arrivé au point d'où on l'auroit poussé
en haut; c'est à dire qu'avec cette même vitesse v dans le
temps T de la montée L du mouvement retardé, le

corps
parcourera deux fois , par le mouvement uniforme ; & dans
le temps de la montée & de la descente du mouvemenc
retarde & acceleré, il parcourera quatre fois I par le mou-
vement uniforme,

SIXILME SUPPOSITION.

Sur les mouvemens camposés. 316. UN

n corps A est poussé en même temps par deux forces, F.e.VI. l'une suivant la direction AB, l'autre suivant AD, qui font

l'angle quelconque BAD, de maniere que la vitesle que
donne la premiere soit à la vitesse que donne la seconde dans

317. Qu

le même temps, comme A B est à AD; si l'on acheve le
parallelogramme BD, & qu'on tire la diagonale AC, cette
diagonale AC marquera le chemin que tiendra le mobile,
la longueur qu'il parcourera dans le même temps, & la
vitesse qu'il aura reçue des deux forces; c'est à dire, AB est
à AC comme la vitesse suivant AB est à la vitesse suivant AC,
& de même la vitesse suivant AD est à la vitesse suivant AC,
comme AD ou son égale BC est à AC, & il parcoureroit
chacune de ces trois lignes en des temps égaux avec la vitesse
respective qui leur convient.
COROLLA I R E S.

1.
UAND un corps A parcourt l'hypothenuse AC d'un F16. VII.
triangle rectangle ABC d'un mouvement uniforme, sa vitesse
peut être regardée comme venant de deux forces qui lui
donneroient des vitesses suivant les deux côtés qui seroient
entr'elles comme AB & BC, & qui lui feroient parcourir
separément ces côçés dans le même temps qu'il parcourt
AC

II. Quand un corps A va rencontrer obliquement un plan Fıc. VII. ou une ligne BC au point C suivant AC, en tirant d'un point A pris sur AC la perpendiculaire AB à BC, & prenant, AC pour exprimer la force totale ou la vitesse totale du mobile A, AB exprimera l'effort de ce mobile contre BC, ou la vitelle avec laquelle il pousse BC.

PROBLEME 1. 319. Le côté BA(a) du triangle rectangle ABC étant supposé F1g.VII.

vertical, son côté BC (6) horizontal, & l'hypothenuse AC (c)
inclinée sur l'horizontale AK : supposant qu'un mobile soit
poussé de A en B avec la vitesse qu'il auroit acquise par

le
mouvement accelere en tombant depuis le repos de la hau-
teur B A dans le temps T, & parcourre d'un mouvement
uniforme AB avec cette vitesse acquise =VAB*(Va) dans* * 308.
le temps įT*: Trouver, 1°, de quelle hauteur, qu'on nom-
mera x, il devroit tomber pour acquerir la vitesse Vx*, avec * 308.
laquelle il parcourera d'un mouvement uniformé le côté
horizontal BC (6) dans le temps T. 2°. De quelle hauteur,

318.