gueurs.

III.

Sur les mouvemens accelerés.
307. Les longueurs parcourues par un même corps qui descend

librement , prises chacune depuis le repos, sont entr'elles
comme les quarrés des temps employés à les parcourir ;
elles sont aussi entr'elles comme les quarrés des vitesses
acquises à la fin des temps employés à parcourir ces lon-

Par exemple un corps pesant tombant librement depuis Fig. V. le

repos A, parcourt AB pendant it; AC pendant 2t; AD
pendant 3t; A E pendant 4t. La vitesse acquise à la fin de it
eft u; à la fin de 2t, elle est 24 ; à la fin de 3t, elle est 34 ; à la
fin de

4t,
AB. AC :: Itt . 4tt :: IU4 4uu. De même AC. AD ::
4tt.9tt :: 4uu. Juu. De même AD. AE :: 9tt. 16tt :: 9u4.
16uu. De même AC. AE :: 4tt. 16tt :: 4uu . ibuu, &c.

Ainsi nommant L une longueur parcourue depuis le re-
pos; I, le temps employé à la parcourir ; V, la vitesle acquise
à la fin de ce temps ; & I une autre longueur parcourue
depuis le repos ; +, le temps employé à la parcourir ; u, la
vitesse acquile à la fin de ce temps ; on aura cette expression
generale de la troisiéme supposition L.l:: TT .tt :: VV,

elle est 4u.

U u.

on peut

COROLLAIR E. 308. D'où il suit

que

dans les mouvemens accelerés V. u:: VL .Vl:: T .t. Par consequent dans les mouvemens accelerés on peut exprimer les vitesses par les racines des longueurs parcourues depuis le commencement, ou depuis le repos ; aulli exprimer les

temps par les racines des mêmes longueurs ; puisque ces vitesses sont entr'elles, & ces temps entr'eux comme les racines de ces longueurs; ainsi V = Vehing u=VI, & de même T=VL, t=VI.

IV.

Sur les mouvemens retardés.
N corps pesant qui est poussé verticalement de bas en
haut avec une vitesse quelconque toute acquise , perd à cha-
que instant de la montée un degré de sa vitesse égal à celui
qu'il acquiereroit à chaque instant en descendant, jusqu'à

Ttt

309. U

310. UN

ce que l'action de la pesanteur lui ait fait perdre au dernier
instant de la montée le dernier degré de la vitesse avec la-
quelle il avoit été poussé en haut; après quoi il retombe
librement par l'action de la pesanteur. Les longueurs que
les vitelles qu'il perd (en partageant en temps égaux la durée
de la montée ) l'empêchent de parcourir, prises depuis le
commencement , sont entr'elles comme les quarrés des
temps, & aussi comme les quarrés des vitesses perdues s
c'est à dire, nommant - I la longueur prise depuis le com-
mencement de la montée, qu'empêche de parcourir la
vitesse perdue - V au corps pesant poussé en haut, pendant
le temps T, est à une autre longueur
T

I prise aufli depuis le commencement qu'empêche de parcourir la vitesse perdue - u pendant un autre temps t, comme TT à tt, & comme VV à uu; ainsi - L.-l::TT .tt::VV. uu; & VL.-VI:: -1,-4:: T it,

Ꮴ .

V.
Pour comparer les mouvemens accelerés & retardés avec

les uniformes.
corps pesant étant descendu depuis le repos pendant
un temps quelconque T de la longueur L en acquierant la
vitesse V ; si dans le même temps T, il est mù uniforme-
ment selon une direction quelconque , soit verticale, Toit
horizontale ou inclinée avec la même vitesse v toute ac-
quise, il parcourera une longueur 2L double de la premie.
re L. On peut appliquer la même proposition au mouve-
ment retarde.

COROLLA I RES.

I. 311. Pour réduire les mouvemens accelerés ou retardés aux

uniformes, il faut prendre les vitesses de mouvemens accelerés toutes acquiles, & les concevoir comme demeurant uniformes ; & si l'on prend les mêmes temps, il faut doubler les longueurs parcourues par la vitesse qui s'acquieroit dans le mouvement acceleré. Ainsi dans le mouvement acceleré la vitesse v qui s'acquieroit faisoit parcourir la longueur L dans le temps T ; Pour le réduire à l'uniforme, il faut concevoir

que

la même vitesse D toute acquise fera parcourir 2. dans le même temps T,

ز

II. 312.

Par consequent la même vitesse V toute acquise fera par. courir la même longueur L dans le mouvement uniforme dans la moitié du temps T ; c'est à dire, dans le temps T; elle fera, dis-je, parcourir la même longueur L qu'elle feroit parcourir dans le mouvement acceleré pendant qu'elle s'acquieroit dans le temps entier T. Car puisque la vitesse acquise

dans le temps T feroit parcourir 2L dans le mouvement uniforme ; dans le même mouvement uniforme, elle fera parcourir L moitié de 2L dans {T', qui n'est que la moitié du temps T, pendant lequel la même longueur L seroit parcourue dans le mouvement acceleré pendant que la vitesse v s'acquiert.

Il faut s'apliquer à concevoir clairement ce fecond Corollaire, & fe se rendre bien familier pour n'être pas embarallé dans la suite : car c'est celui qui n'étant pas bien conçu, feroit de la difficulté au Lecteur.

III. 313.

Si un corps pesanr en descendant librement depuis le Fig. V. repos au point A, & parcourant la longueur AE(Z), acquiert la vitesse v dans le temps 7 , & qu'il soit repoussé en haut de E vers A avec la niême vitelle coure acquise v , il est évident

que

fa pesanteur lui fera perdre dans un temps égal au premier T sa vitesse V, & que cette vitesse v sera détruite par l'action de la pesanteur precisément à la fin du temps T.

IV. 314. Suppose qu’un corps érant descendu par le mouvement fro. V,

acceleré de la pesanteur depuis le repos en A , & ayant par-
couru la longueur AE (L) en acquierant la vitesle v dans i
le temps 7, soit repousse de E vers A avec la même vitesse
toute acquife V , & remonte par un mouvement retardé à
cause de la pefanteur, il remontera precisément à la même
hauteur dans le même temps T qu'il avoit employé à def-
cendre, c'est à dire, il parcourera en remontant precisément
la même hauteur EĀ(L). dans le même temps T , & il ne
fçauroit remonter plus haut. Car avec la vitesse v toute
acquise il remonteroit 2L dans le tempsT*, si elle demeuroit * 3100
uniforme , & que le mouvement ne fût pas retardé par

la
pesanteur ; mais la vitesse v dans le temps T étant entiere-
ment détruite par le Corollaire précedent, la vitesse perdue.

.

.کر 31

dans le temps T est - V égale à la vitesse positive +V, & &
la longueur

1
que

la vitesse — V empêche de parcourir en se perdant par

le mouvement retardé, est à la longueur + I que la vitesse + V feroit parcourir en s'acquierant par

I le mouvement acceleré, comme le quarré du temps t du mouvement retardé au quarré du temps T du mouvement acceleré, & encore comme le quarré de la vitesse — V au

- V * 307. quarré de la vitesse + V.*-1.+ L :: tt. TT ::VV.VV;

& comme les vitesses sont égales, les temps le font aussi; &-l=+: Par consequent puisque le corps en remontant avec la vitesse acquise V, parcoureroit 2 L ou 2E A dans le même temps T, si le mouvement demeuroit uniforme, il ne parcourera que l ou E A dans le mouvement retardé,

L
puisqu'il faut ôter L I de + 21, c'est à dire – EA de
+ 2Ē A; & la vitesse V écant entierement détruite par la
pesanteur à la fin du temps T, il ne peut pas remonter plus
haut que E A(Z), d'où il étoit descendu.

V.
Un

corps poussé par un mouvement uniforme suivant telle

direction qu'on voudra avec la vitesse V qu'il auroit acquise Fig. V, en combant de la hauteur AE(L) dans le temps T, parcou

rera 2L dans le même temps T, & 42 dans 27 ; & dans le mouvement retardé s'il eût esté poussé en haut avec la même vitesse v , il n'auroit remoncé pendant le temps T que

la hauteur L, & ensuite retombant par la pesanteur dans le second tempsTégal au premier,il auroit parcouru la même hauteur L, & seroit arrivé au point d'où on l'auroit poussé en haut; c'est à dire qu'avec cette même vitesse v dans le temps T de la montée L du mouvement retardé, le corps parcourera deux fois L par le mouvement uniforme; & dans le

temps de la montée & de la descente du mouvement retarde & acceleré, il parcourera quatre fois I par le mou. vement uniforme,

SIXIE'ME SUPPOSITION,

Sur les mouvemens composés. 316. UN

n corps A est pouffe en même temps par deux forces, Fie. VI. l'une suivant la direction AB, l'autre suivant AD, qui font

l'angle quelconque BAD, de maniere que la vitesse que donne la premiere foit à la vitesse que donne la seconde dans

1

N

le même temps, comme A B est à AD; si l'on acheve le
parallelogramme BD, & qu’on tire la diagonale AC, cette
diagonale AC marquera le chemin que tiendra le mobile,
la longueur qu'il parcourera dans le même temps , & la
vitesse qu'il aura reçue des deux forces; c'est à dire, AB est
à AC comme la vitesse suivant AB est à la vitesse suivant AC,
& de même la vitesse suivant AD est à la vitesse suivant AC,
comme AD ou son égale BC est à AC, & il parcoureroit
chacune de ces trois lignes en des temps égaux avec la vitesse
respective qui leur convient.

COROLLAIRE S.

I.

318.

&

317. Quand UAND un corps A parcourt l'hypothenuse Ac d'un F16. VII. A

AC triangle rectangle ABC d’un mouvement uniforme, sa vitesse peut être regardée comme venant de deux forces qui lui donneroient des vitesses suivant les deux côtés qui seroient entr'elles comme AB & BC, & qui lui feroient parcourir separément ces côpés dans le même temps qu'il parcourt AC,

II. Quand un corps A va rencontrer obliquement un plan Fıc. VII. ou une ligne BC au point C suivant AC, en eirant d'un point A pris sur AC la perpendiculaire AB à BC,

prenant AC pour exprimer la force totale ou la vitesse totale du mobile A, AB exprimera l'effort de ce mobile contre BC, ou la vitelle avec laquelle il pousse BC.

PROBLEME 1. 319. Le côté B Ala) du triangle rectangle ABC étant supposé Fig.vii.

vertical, son côté BC (6) horizontal, & l'hypothenuse AC (c)
inclinée sur l’horizontale AK : supposant qu'un mobile soit
poussé de A en B avec la vitesse qu'il auroit acquise par le
mouvement acceleré en tombant depuis le repos de la hau- :
teur BA dans le temps T, & parcourre d'un mouvement
uniforme AB avec cette vitesse acquise =VAB*(Va) dans* *

308. le temps ĮT*: Trouver, 1°, de quelle hauteur, qu'on nom

312. mera x, il devroit tomber pour acquerir la vitesse Vx*, avec * 308. laquelle il parcourera d'un mouvement uniforme le côté horizontal BC (6) dans le temps T. 2°. De quelle hauteur,

A

E

*

Tit iij