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307. L

III.

Sur les mouvemens accelerés.

Es longueurs parcourues par un même corps qui defcend librement, prifes chacune depuis le repos, font entr'elles comme les quarrés des temps employés à les parcourir; elles font auffi entr'elles comme les quarrés des vitesses acquifes à la fin des temps employés à parcourir ces longueurs.

le

Par exemple un corps pesant tombant librement depuis F1 G. V. repos A, parcourt AB pendant it; AC pendant 2t; AD pendant 35 AE pendant 4t. La viteffe acquise à la fin de it eft u ; à la fin de 2t, elle eft 2x ; à la fin de 37, elle eft zu ; à la fin de 4t, elle eft 4u.

ز

AB. AC: tt. 4tt :: 1uu. 4uu. De même AC. AD :: 4tt. 9tt: 4uu. 9uu. De même AD. AE :: 9tt. 16tt :: 9uu. 16uu. De même AC. AE :: 4tt. 16tt :: 4uu. i6uu, &c.

Ainfi nommant Z une longueur parcourue depuis le repos; 7, le temps employé à la parcourir; V, la vitelle acquife à la fin de ce temps, & / une autre longueur parcourue depuis le repos, t, le temps employé à la parcourir; u, la viteffe acquife à la fin de ce temps; on aura cette expreffion generale de la troifiéme fuppofition L.:: TT. tt :: VV,

นน.

COROLLAIR E.

308. D'où il fuit que dans les mouvemens accelerés V. u:: VL

.Vl: T. t. Par confequent dans les mouvemens accelerés
on peut exprimer les viteffes par les racines des longueurs
parcourues depuis le commencement, ou depuis le repos;
on peut auffi exprimer les temps par les racines des mêmes
longueurs; puifque ces viteffes font entr'elles, & ces temps
entr'eux comme les racines de ces longueurs; ainsi V =√Lj
Vl, & de même TVL, t=√l.

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309. U

IV.

Sur les mouvemens retardés.

N corps pefant qui eft pouffé verticalement de bas en haut avec une viteffe quelconque toute acquife, perd à chaque inftant de la montée un degré de fa viteffe égal à celui qu'il acquiereroit à chaque inftant en defcendant, jufqu'à

t = 9 1=14h V = 16

T= 36

L= 2304
6n

V =

Ttt

ce que
l'action de la pefanteur lui ait fait perdre au dernier
instant de la montée le dernier degré de la vitesse avec la-
quelle il avoit été pouffé en haut; après quoi il retombe
librement par l'action de la pefanteur. Les longueurs que
les viteffes qu'il perd (en partageant en temps égaux la durée
de la montée) l'empêchent de parcourir, prifes depuis le
commencement, font entr'elles comme les quarrés des
temps, & auffi comme les quarrés des viteffes perdues
c'est à dire, nommant → Z la longueur prife depuis le com-
mencement de la montée, qu'empêche de parcourir la
viteffe perdue au corps pefant pouffé en haut, pendant
le temps T,
T, est à une autre longueur / prife auffi depuis
le commencement qu'empêche de parcourir la vitesse per.
dueu pendant un autre temps t, comme TT à tt, &
comme à uu; ainfi -L.-l: tt:
- l :: TT, t t ;; VV, uu ; &
-VI. — VI :: -V, - :: T. t.

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V.

Pour comparer les mouvemens accelerés & retardés avec

les uniformes.

310. UN corps pefant étant descendu depuis le repos pendant un temps quelconque 7 de la longueur Z en acquierant la viteffe ; fi dans le même temps T, il eft mû uniformement felon une direction quelconque, foit verticale, foit horizontale ou inclinée avec la même viteffe toute acquife, il parcourera une longueur 2Z double de la premiere L. On peut appliquer la même propofition au mouvement retardé.

COROLLAIRES.

I.

311. POUR réduire les mouvemens accelerés ou retardés aux uniformes, il faut prendre les viteffes de mouvemens accelerés toutes acquifes, & les concevoir comme demeurant uniformes; & fi l'on prend les mêmes temps, il faut doubler les longueurs parcourues par la viteffe qui s'acquieroit dans le mouvement acceleré. Ainfi dans le mouvement acceleré la viteffe qui s'acquieroit faifoit parcourir la longueur L dans le temps T; Pour le réduire à l'uniforme, il faut concevoir que la même viteffe toute acquife fera parcourir Z dans le même temps T.

312.

313.

314

I I.

Par confequent la même viteffe toute acquife fera parcourir la même longueur Z dans le mouvement uniforme dans la moitié du temps T ; c'est à dire, dans le temps T; elle fera, dis-je, parcourir la même longueur Z qu'elle feroit parcourir dans le mouvement acceleré pendant qu'elle s'acquieroit dans le temps entier T. Car puifque la viteffe acquife

dans le temps T feroit parcourir 2Z dans le mouvement uniforme, dans le même mouvement uniforme, elle fera parcourir Z moitié de 2Z dans T, qui n'eft que la moitié du temps 7, pendant lequel la même longueur Z feroit parcourue dans le mouvement acceleré pendant que la viteffe s'acquiert.

Il faut s'apliquer à concevoir clairement ce fecond Corollaire, & fe le rendre bien familier pour n'être pas embaraffe dans la fuite: car c'est celui qui n'étant pas bien conçu, feroit de la difficulté au Lecteur.

III.

Si un corps pefant en defcendant librement depuis le FIG. V. repos au point A, & parcourant la longueur AE (Z), acquiert la viteffe dans le temps 7, & qu'il foit repouffé en haut de E vers A avec la même viteffe toute acquife, il eft évident que fa pefanteur lui fera perdre dans un temps égal au premier T fa viteffe, & que cette viteffe fera détruite par l'action de la pefanteur precifément à la fin du temps T.

IV.

T

Suppofe qu'un corps étant defcendu par le mouvement Fre. V. acceleré de fa pefanteur depuis le repos en A, & ayant parcouru la longueur AE (L) en acquierant la viteffe dans le temps 7, foit repouffe de E vers A avec la même viteffe toute acquife, & remonte par un mouvement retardé à caufe de fa pefanteur, il remontera precifément à la même hauteur dans le même temps 7 qu'il avoit employé à defcendre, c'est à dire, il parcourera en remontant precifément la même hauteur EA(Z) dans le même temps T, & il ne fçauroit remonter plus haut. Car avec la viteffe toute acquife il remonteroit 2Z dans le temps7*, fi elle demeuroit * 310. uniforme, & que le mouvement ne fût pas retardé par la pefanteur; mais la viteffe dans le temps 7 étant entierement détruite par le Corollaire précedent, la viteffe perdue

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t

dans le temps 7 est — V égale à la viteffe pofitive +,& la longueur / que la vitesse — ▷ empêche de parcourir en se perdant par le mouvement retardé, est à la longueur +Z que la viteffe+feroit parcourir en s'acquierant par le mouvement acceleré, comme le quarré du temps du mouvement retardé au quarré du temps T du mouvement acceleré, & encore comme le quarré de la vitesse — - Vau 307. quarré de la viteffe + V. * - l. + L :: tt. TT :: VV .VV; & comme les viteffes font égales, les temps le font auffi; &―/=L: Par confequent puifque le corps en remontant avec la viteffe acquife V, parcoureroit 2Z ou 2 EA dans le même temps T, fi le mouvement demeuroit uniforme, il ne parcourera que L ou EA dans le mouvement retardé, puifqu'il faut ôter -Z de + 1L, c'est à dire — EA de +2ĒД ; & fa viteffeétant entierement détruite par la pefanteur à la fin du temps 7, il ne peut pas remonter plus haut que EA(L), d'où il étoit descendu,

&-1=

V.

315. Un corps pouffé par un mouvement uniforme fuivant telle direction qu'on voudra avec la viteffe qu'il auroit acquife FIG, V, en tombant de la hauteur AE (L) dans le temps T, parcou

rera 2 Z dans le même temps T, & 4Z dans 27 ; & dans le mouvement_retardé s'il eût esté pouffé en haut avec la même viteffe, il n'auroit remonté pendant le temps T que la hauteur Z, & enfuite retombant par la pefanteur dans le fecond temps Tégal au premier,il auroit parcouru la même hauteur L, & feroit arrivé au point d'où on l'auroit pouffé en haut, c'est à dire qu'avec cette même viteffe dans le temps T de la montée Z du mouvement retardé, le corps parcourera deux fois Z par le mouvement uniforme, & dans le temps de la montée & de la defcente du mouvement retardé & acceleré, il parcourera quatre fois Z par le mou¬ vement uniforme.

SIXIE' ME

SUPPOSITION,

Sur les mouvemens composés.

316. UN N corps A eft pouffé en même temps par deux forces, FIG. VI. l'une fuivant la direction AB, l'autre fuivant AD, qui font l'angle quelconque BAD, de maniere que la vitelle que

donne la premiere foit à la viteffe que donne la feconde dâns

le même temps, comme AB eft à AD; fi l'on acheve le
parallelogramme BD, & qu'on tire lá diagonale AC, cette
diagonale AC marquera le chemin que tiendra le mobile,
la longueur qu'il parcourera dans le même temps, & la
viteffe qu'il aura reçue des deux forces; c'est à dire, AB est
à AC comme la viteffe fuivant AB eft à la viteffe fuivant AC,
& de même la vitesse suivant AD eft à la vitesse suivant AC,
comme AD ou son égale BC est à AC, & il parcoureroit
chacune de ces trois lignes en des temps égaux avec la viteffe
respective qui leur convient.

317. QUAND

318.

COROLLAIRE S.

I.

UAND un corps A parcourt l'hypothenufe AC d'un FIG. VII. triangle rectangle ABC d'un mouvement uniforme, fa viteffe peut être regardée comme venant de deux forces qui lui donneroient des viteffes fuivant les deux côtés qui feroient entr'elles comme AB & BC, & qui lui feroient parcourir separément ces côtés dans le même temps qu'il parcourt

AC.

I I.

Quand un corps A va rencontrer obliquement un plan FIG. VII. ou une ligne BC au point C fuivant AC, en tirant d'un point pris fur AC la perpendiculaire AB à BC, & prenant AC pour exprimer la force totale ou la viteffe totale du mobile A, AB exprimera l'effort de ce mobile contre BC, ou la vitesse avec laquelle il pousse BC.

E

A

PROBLEME I.

319. Le côté BA(a) du triangle rectangle ABC étant fuppofé FIG. VII. vertical, fon côté BC (b) horizontal, & l'hypothenufe AC (c) inclinée fur l'horizontale AK: fuppofant qu'un mobile foit pouffé de A en B avec la viteffe qu'il auroit acquife par le mouvement acceleré en tombant depuis le repos de la hauteur BA dans le temps T, & parcourre d'un mouvement uniforme AB avec cette viteffe acquife =√AB*(√a) dans` * le temps 7*: Trouver, 1°, de quelle hauteur, qu'on nommera x, il devroit tomber pour acquerir la viteffe Vx*, laquelle il parcourera d'un mouvement uniformé le côté horizontal BC (b) dans le temps T. 2. De quelle hauteur,

308.

312.

avec * 308.

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