qu'on nommera Y il devroit tomber pour acquerir la viteffe *308. Vy* avec laquelle il parcourera d'un mouvement uniforme l'hypothenufe AC (c) dans le même temps T.

Refolution. Le temps étant égal, c'est à dire 4T, 1°, AB(a). 304. BC (b) :: VAB (√a). √x*. Donc a√x = b√a, &√x = b√a, Ce qu'il falloit premierement trouver.

&x=

bb

11

a

BCX BC
AB

* 304. 2°. AB{a) . AC(c) :: √AB(√a). Vy*. Donc avy=c√a, & √y=ca, &y=" Ce qu'il falloit fecondement

FIG. VII.

trouver.

ACX AC
• AB

Refolution geometrique. Il faut mener par le point C, CH perpendiculaire à AC, & le point Hoù elle rencontrera

* 288. AB prolongée, déterminera, 1o, BH = 288. 2°. HA* = ACX AC = CC = y..

I

AB

COROLLAIRE.

*BCX BC

AB

bb

3.2 Si l'on tire dans un demi-cercle ACEGH, dont le diame FIG. VIII. tre HA eft vertical, de tous les points C, E, G de la demicirconference des perpendiculaires CB, ED, GF, &c. au diametre HA, & les cordes CA, CH; EA, EH; GA, GH, &c. de chacun de ces points aux extremitez du diametre, on aura autant de triangles rectangles qu'il y a de points dans la demi-circonference; & ce que l'on a dit du triangle rectangle ABC, convient à chacun de ces triangles.

Ainfi nommant d le diametre HAx, chacun des côtés. verticaux AB, AD, AF, &c. de tous les triangles, le refte du diametre HB, HD, HF, &c. fera dx; chacune * 288. des hypothemises AC, AE, AG, &c. fera = √dx*; chacun * 287. des côtés horizontaux BC, DE, FG, &c. fera = √dx-xx.* La viteffe acquife par le mouvement acceleré dans le temps T pour faire parcourir chaque côté vertical x d'un mouvement uniforme dans le temps 7, fera Vx*; Vd-x fera la viteffe pour pour faire parcourir chaque côté horizontal Vdx-xx dans le même temps 7 ; & Vd fera la viteffe pour faire parcourir dans le même temps 7 chaque hypothenuse Vdx.. Application de ces principes à l'art de jetter les Bombes.

* 312.

321. ST

DEMAND E..

I une Bombe étoit jettée verticalement par un mortier FIG. VIII. fuivant la ligne verticale ABH avec quelle force de poudre

on voudra, il est évident que quand la bombe feroit montée
au point le plus haut où l'action de fa pefanteur lui auroit
entierement fait perdre la viteffe de fon impulfion, que l'on
fuppofe être le point H; elle retomberoit de cette même
hauteur HA, & elle auroit acquis par fa pefanteur en arri-
vant au point A d'où elle étoit partie precifément la même
viteffe avec laquelle elle avoit été pouffée par la force de
la poudre qui l'avoit fait monter de A en H.

DEFINITION.

322. ON prendra pour la mesure de la force de la poudre ou de la FIG.VIII. viteffe qu'elle donne à une bombe suivant quelque direction AC, AE, AG, &c. que ce puiffe être, la hauteur HA d'où il faudroit la bombe tombât librement depuis le repos pour acquerir par cette chute une viteffe égale à celle avec laquelle elle eft pouffée par la force de la poudre. On l'appelle auffi la force du jet,

que

COROLLAIRE.

323. EN prenant le diametre HA ( qu'on fuppofe vertical) du FIG.VIII. demi cercle HGECA pour representer une force quelconque de poudre, toutes les cordes AC, AE, AG, &c. menées à tous les points de la demi - circonference, representeront toutes les inclinaifons qu'on peut donner au mortier fur l'horizontale AK, & par confequent les directions de tous les jets obliques qu'on peut faire par cette force de poudre. Nommant à la hauteur HA; x, le côté vertical AB, AD, AF, &c, des triangles rectangles ABC, ADE, &c. qui ont pour hypothenuses les jets obliques AC, AE, AG, &c. faits par une même force de poudre HA; les reftes du diametre BH, DH, FH, &c. feront exprimés par d-x; les côtés horizontaux des triangles comme BC, DE, FG, &c. par √dx xx; & les cordes AC, AE, AG, &c. par Vdx.

La viteffe que la force de la poudre donne par chacune des cordes AC, AE, &c. eft √HA (d) qui demeure uniforme fuivant la direction de la corde pendant tout le jet. Et comme cette viteffe uniforme eft fuivant l'hypothenuse Vdx d'un triangle rectangle,* elle peut être regardée comme * venant de deux forces qui imprimeroient à la bombe l'une une viteffe uniforme fuivant le côté vertical du triangle qui

317.

est representé par x, & l'autre une viteffe auffi uniforme fuivant le côté horizontal Vdx-xx; & ces deux viteffes, pour faire parcourir chacune leur côté dans le même temps, doivent être l'une à l'autre comme ces côtés; c'eft à dire, comme x eft à vdx xx. Afin que ces deux vitesses ayent entr'elles ce raport des côtés, la viteffe uniforme par le côté vertical x, doit être égale à celle que la bombe auroit acquise 319. en defcendant depuis le repos de la hauteur x*, ainsi la vitesse uniforme par le côté x eft égale à Vx; & demeurant uniforme par ce côté x, elle doit le faire parcourir dans la moitié temps 7' que la bombe employeroit à tomber de la hau. teur x; & la viteffe uniforme par le côté horizontal Vdx-xx, doit être égale à celle que la bombe auroit acquife en tombant depuis le repos de la hauteur du refte du diametre 319. d―x*: ainfi la viteffe uniforme qui fera parcourir le côté d. horizontal, fera exprimée par va

du

x.

La vitesse Vd fera donc parcourir la corde Vdx, dans le même temps que la viteffe Vx fera parcourir le côté vertical x, & que la viteffe vd -x fera parcourir le côté horizontal Vdx xx, en les fuppofant toutes trois uniformes, & que le temps pendant lequel elles font chacune parcourir les trois lignes qui leur conviennent, eft la moitié du temps que la bombe employeroit à defcendre depuis le repos de la hauteur du côté vertical x. Par consequent dans ce temps entier ces trois viteffes feront parcourir par un mouvement 310. uniforme le double des lignes du triangle rectangle*; & en deux fois le temps entier, le quadruple de ces mêmes lignes; c'est à dire dans le temps de la chute accelerée, ou de la montée retardée par x, elles feront parcourir par un mouvement uniforme le double de ces trois lignes, & dans le temps de la montée & de la chute, le quadruple de ces mêmes lignes. On doit fe rendre ces chofes familieres pour entendre facilement les Problêmes fuivants.

324. LA force de la poudre HA étant donnée, par exemple, FIG. VIII. de 400 toifes, trouver pour telle inclinaifon qu'on voudra donner au mortier qu'on fuppofe au point A, 1o, la distance AO fur l'horizontale AK qui eft depuis le mortier A jufqu'au

point o

point O qui eft dans la verticale ONM où la bombe eft pendant le jet au point le plus élevé. 2°. Trouver la distance horizontale AK depuis le point A jufqu'au point K où la bombe retombera fur l'horizontale AK.

Pour refoudre ce Problême, je remarque, 1o, que la force du jet étant donnée, HA (d) eft connue; & concevant HA divifée en 400 parties égales, elle representera la force du jet. Prenant une inclinaifon du mortier déterminée comme l'angle CAK que fait le mortier avec l'horizon AK, la pofition de la corde AC eft donnée, & par consequent le point C où elle rencontre la demi-circonference; ainfi le côté vertical AB (b), l'horizontal BC (√db — bb,) l'hypothenufe AC (Vdb) du triangle rectangle ACB, font donnés. 2°. Que la viteffe par l'oblique AC eft VHA (√d), qui demeure uniforme pendant le jet; que la viteffe par l'horizontale BC ou Vdb bb, eft VHA BA (Vd—b) ; & que la viteffe par la verticale AB ou b, est VAB(√b). 3°. Que la moitié du temps T que la bombe employeroit à defcendre AB par le mouvement acceleré, ou à monter A B dans le mouvement retardé, cette moitié, dis-je, T eft le temps pendant lequel dans le mouvement uniforme ces trois lignes du triangle rectangle ABC font parcourues par les vitelles qui leur conviennent; ainfi dans le temps entier T de la montée de la bombe à l'endroit le plus haut du jet, les mêmes viteffes feront parcourir le double de ces trois lignes par le mouvement uniforme, & dans le temps 27 de la montée & de la defcente de la bombe au point K de l'horizontale, elles feront parcourir le quadruple de ces trois lignes.

Refolution. Soit la distance inconnue 40=z, & la distance inconnue AK = s; l'on aura, 1o, la longueur horizontale inconnue A0 ( z ) est à la verticale 2BA(2b), toutes deux parcourues par un mouvement uniforme dans le temps entier T, qui eft celui où la bombe doit monter au point le plus élevé du jet; comme la viteffe par l'horizontale qui est √d — b, est à la viteffe par la verticale qui eft vb. L'on aura donc zvb2b√d—b; par confequent AO(2) = 2√db — bb *2BC. L'on aura, 2 la diftance horizontale inconnue * 288.. AK(s) eft à la verticale 4AB (46) parcourues l'une & l'autre

Vuu

1

d'un mouvement uniforme pendant 27 qu'il faut à la bombe pour monter & enfuite retomber au point K; comme la viteffe la premiere qui est √d — b, est à la vitesse par feconde qui eft vb. Donc sVb=4bVd—b, &s= 4√ db — bb 288.*4BC.

par

-

la

En marquant AB par une indéterminée x, on aura AO(z) =2√dx — xx ; & AK ( s ) = 4√dx — xx.

COROLLAIRES.

I.

325. D'où l'on voit que la distance horizontale AK depuis le mortier A jufqu'au point K où tombe la bombe de chaque jet (ce qu'on nomme l'étendue du jet) eft toujours quadruple du côté horizontal BC, ou DE, ou FG, &c. du triangle rectangle qui répond à ce jet; & que la diftance 40 fur la même horizontale jufqu'à la verticale qui paffe par le point le plus haut de chaque jet, eft double de ce même côté horizontal.

I I.

326. Par confequent dans le demi cercle HGECA, le diameF16. VIII. tre HẠ étant pris pour une force de poudre quelconque, toutes les perpendiculaires CB, ED, GF, &c. ménées des cordes AC, AE, AG, &c. qui marquent toutes les directions du mortier, ces perpendiculaires, dis-je, feront chacune le quart de l'étendue du jet qui lui convient par raport à cette même force de poudre, & elles feront la moitié de la diftance horizontale qui eft depuis le mortier jusqu'à la verticale qui paffe par le point le plus haut du jet.

327.

III.

Comme le demi-diametre DE eft plus grand qu'aucune des perpendiculaires BC, FG, &c. & que DE convient au jet fuivant la corde AE qui fait l'angle d'inclinaison EAK de 45 degrés, de tous les jets qui fe la même peuvent faire par force de poudre, celui qui fe fait, le mortier étant incliné de 45 degrés fur l'horizon, a la plus grande étendue, c'est à dire, a la plus grande portée : & cette étendue étant qua. druple du demi diametre, eft double du diametre, c'est à dire, la force HA du jet eft la moitié de l'étendue du jet de 45 degrés.