qu'on nommera y, il devroit tomber pour acquerir la vitesse * 308. Vy* avec laquelle il parcourera d'un mouvement uniforme

l'hypothenuse AC (c) dans le même temps T.

Refolution. Le temps étant égal, c'est à dire T, r, AB(a).

x=bla

*304. BC (6) :: VAB (Va). Vx*. Donc avx = bva, &√x

a

BCX BC
AB

.

ar

& x = b = Ce qu'il falloit premierement trouver. *304. 2°. AB (a). AC(c) :: VAB (Va). Vy*. Donc avy = cva,

FIG. VII.

& Vy =, & y = 4 =

trouver..

ACX AC
AB

Ce qu'il falloit fecondement

Resolution geometrique. Il faut mener par le point C,CH perpendiculaire à AC, & le point Hoù elle rencontrera

* 288. AB prolongée, déterminera, 1°, BH =

* BCX BC
AB

66

X

320. Si l'on tire dans un demi-cercle ACEGH, dont le diame FIG. VIII, tre HA est vertical, de tous les points C, E, G de la demicirconference des perpendiculaires CB, ED, GF, &c. au diametre HA, & les cordes CA, CH; EA, EH; GA, GH, &c. de chacun de ces points aux extremitez du diametre; on aura autant de triangles rectangles qu'il y a de points dans la demi - circonference; & ce que l'on a dit du triangle rectangle ABC, convient à chacun de ces triangles..

Ainsi nommant d le diametre HA;x, chacun des côtés. verticaux AB, AD, AF, &c. de tous les triangles, le reste

du diametre HB, HD, HF, &c. fera = d - x; chacune * 288. des hypothemuses AC, AE, AG, &c. fera = √dx *; chacun * 287. des côtés horizontaux BC, DE, FG, &c. fera = √dx-xx.* 11. La vitesse acquise par le mouvement acceleré dans le temps 7

pour faire parcourir chaque côté vertical x d'un mouve* 312. ment uniforme dans le temps 7, sera √x*; Vd - x fera la vitesse pour faire parcourir chaque côté horizontal Vdx - xx dans le même temps T; & Vd sera la vitesse pour faire parcourir dansle même temps 7 chaque hypothenuse Vdx...

-xx

Application de ces principes à l'art de jetter les Bombes.
DEMANDE.

321. SI une Bombe étoit jettée verticalement par un mortier FIG. VIII. suivant la ligne verticale ABH avec quelle force de poudre

1

on voudra, il est évident que quand la bombe feroit montée
au point le plus haut où l'action de sa pesanteur lui auroit
entierement fait perdre la vitesse de son impulfion, que l'on
suppose être le point H; elle retomberoit de cette même
hauteur HA, & elle auroit acquis par sa pesanteur en arri-
vant au point, A d'où elle étoit partie precisément la même
vitesse avec laquelle elle avoit été poussée par la force de
la poudre qui l'avoit fait monter de A en H.

DEFINITION.

322. ON prendra pour la mesure de la force de la poudre ou de la FIG.VIII. vitesse qu'elle donne à une bombe suivant quelque direction AC, AE, AG, &c. que ce puisse être, la hauteur HA d'où il faudroit que la bombe tombât librement depuis le repos pour acquerir par cette chute une vitesse égale à celle avec laquelle elle est poussée par la force de la poudre. On l'appelle aussi la force du jet.

COROLLAIRE.

323. En prenant le diametre HA (qu'on suppose vertical) du FIG.VIII. demi cercle HGECA pour representer une force quelconque de poudre, toutes les cordes AC, AE, AG, &c. menées à tous les points de la demi - circonference, representeront toutes les inclinaisons qu'on peut donner au mortier fur P'horizontale AK, & par consequent les directions de tous les jets obliques qu'on peut faire par cette force de poudre. Nommant à la hauteur HA; x, le côté vertical AB, AD, AF, &c. des triangles rectangles ABC, ADE, &c. qui ont pour hypothenuses les jets obliques AC, AE, AG, &c. faits par une même force de poudre HA; les restes du diametre BH, DH,FH, &c. feront exprimés par d-x; les côtés horizontaux des triangles comme BC, DE, FG, &c. par √dx - xx; & les cordes AC, AE, AG, &c. par Vdx.

La vitesse que la force de la poudre donne par chacune des cordes AC, AE, &c. eft √HA (vd) qui demeure uniforme suivant la direction de la corde pendant tout le jet. Et comme cette vitesse uniforme est suivant l'hypothenuse ✓dx d'un triangle rectangle,* elle peut être regardée comme * 317. venant de deux forces qui imprimeroient à la bombe l'une une vitefle uniforme suivant le côté vertical du triangle qui

*

est representé par x, & l'autre une vitesse aussi uniforme suivant le côté horizontal dx - xxi xx ; & ces deux vitesses, pour faire parcourir chacune leur côté dans le même temps, doivent être l'une à l'autre comme ces côtés; c'est à dire, comme x est à Vdx - xx. Afin que ces deux vitesses ayent entr'elles ce raport des côtés, la vitesse uniforme par le côté vertical x, doit être égale à celle que la bombe auroit acquise

319. en defcendant depuis le repos de la hauteur x*, ainsi la vitesse uniforme par le côté x est égale à √x ; & demeurant uniforme par ce côté x, elle doit le faire parcourir dans la moitié du temps 7' que la bombe employeroit à tomber de la hau. teur x; & la vitesse uniforme par le côté horizontal Vdx - xx, doit être égale à celle que la bombe auroit acquise en tombant depuis le repos de la hauteur du reste du diametre * 319. d - x*: ainsi la vitesse uniforme qui fera parcourir le côté horizontal, sera exprimée par vd

-x.

La vitesse vd fera donc parcourir la corde Vdx, dans le même temps que la vitesse ✓x fera parcourir le côté vertical x, & que la vitesse vd - x fera parcourir le côté horizontal Vax xx, en les supposant toutes trois uniformes, & que le temps pendant lequel elles font chacune parcourir les trois lignes qui leur conviennent, est la moitié du temps que la bombe employeroit à descendre depuis le repos de la hauteur du côté vertical x. Par consequent dans ce temps entier ces trois vitesses feront parcourir par un mouvement

* 310. uniforme le double des lignes du triangle rectangle*; & en deux fois ce temps entier, le quadruple de ces mêmes lignes; c'est à dire dans le temps de la chute accelerée, ou de la montée retardée par x, elles feront parcourir par un mouvement uniforme le double de ces trois lignes; & dans le temps de la montée & de la chute, le quadruple de ces mêmes lignes. On doit se rendre ces choses familieres pour entendre facilement les Problêmes suivants.

A

PROBLEME II.

324. La force de la poudre HA étant donnée, par exemple, FIG. VIII. de 400 toises, trouver pour telle inclinaison qu'on voudra donner au mortier qu'on suppose au point A, 1°, la distance Ao fur l'horizontale AK qui eft depuis le mortier A jusqu'au point O point O qui est dans la verticale ONM où la bombe eft pendant le jet au point le plus élevé. 2°. Trouver la distance horizontale AK depuis le point A jusqu'au point K où la bombe retombera sur l'horizontale AΚ.

Pour refoudre ce Problême, je remarque, 1o, que la force du jet étant donnée, HA (d) est connue ; & concevant HA divisée en 400 parties égales, elle representera la force du jet. Prenant une inclinaison du mortier déterminée comme l'angle CAK que fait le mortier avec l'horizon AK, la position de la corde AC est donnée, & par consequent le point C où elle rencontre la demi - circonference; ainfi le côté vertical AB (6), l'horizontal BC (Vdb - bb6,) l'hypothenuse AC (√db) du triangle rectangle ACB, font donnés. 2°. Que la vitesse par l'oblique AC est √HA (Vd), qui demeure uniforme pendant le jet; que la vitesse par l'horizontale BC ou ✓db - bb, est VHA - BA (√d-6); & que la vitesse par la verticale AB ou b, est VAB (Vb). 3°. Que la moitié du temps 7 que la bombe employeroit à def cendre AB par le mouvement acceleré, ou à monter A B dans le mouvement retardé, cette moitié, dis-je, T est le temps pendant lequel dans le mouvement uniforme ces trois lignes du triangle rectangle ABC font parcourues par les vitesses qui leur conviennent; ainsi dans le temps entier T de la montée de la bombe à l'endroit le plus haut du jet, les mêmes vitesses feront parcourir le double de ces trois lignes par le mouvement uniforme; & dans le temps 27 de la montée & de la defcente de la bombe au point K de l'horizontale, elles feront parcourir le quadruple de ces trois lignes.

I

Resolution. Soit la distance inconnue AO=z, & la distance inconnue AK = s; l'on aura, 1°, la longueur horizontale inconnue AO(z) est à la verticale 2BA(26), toutes deux parcourues par un mouvement uniforme dans le temps entier 7, qui eft celui où la bombe doit monter au point le plus élevé du jet; comme la vitesse par l'horizontale qui eft Vd-b, est à la vitesse par la verticale qui est √b. L'on aura donc z√b=2bvd-b; par consequent AO(z) = 2√db - bb =*2BC. L'on aura, 2o, , la distance horizontale inconnue * 288. AK (5) est à la verticale 4AB (46) parcourues l'une & l'autre

Vuu

288.

d'un mouvement uniforme pendant 27 qu'il faut à la bombe pour monter & ensuite retomber au point K; comme la vitesse par la premiere qui est vd-b, est à la vitesse par la seconde qui est vb. Donc s√b=46Vd-b, & s = 4√db-bb *4BC.

En marquant AB par une indéterminée x, on aura AO(z) = 2√dx - xx ; & AK(s) = 4√dx - xx.

:

COROLLAIRES.

I.

325. D'où l'on voit que la distance horizontale AK depuis le mortier A jusqu'au point K où tombe la bombe de chaque jet (ce qu'on nomme l'étendue du jet) est toujours quadruple du côté horizontal BC, ou DE, ou FG, &c. du triangle rectangle qui répond à ce jet; & que la distance AO sur la même horizontale jusqu'à la verticale qui passe par le point le plus haut de chaque jet, est double de ce même côté horizontal.

326.

I I.

Par consequent dans le demi cercle HGECA, le diameFIG. VIII. tre HA étant pris pour une force de poudre quelconque, toutes les perpendiculaires CB, ED, GF, &c. ménées des cordes AC, AE, AG, &c. qui marquent toutes les directions du mortier; ces perpendiculaires, dis-je, feront chacune le quart de l'étendue du jet qui lui convient par raport à cette même force de poudre, & elles feront la moitié de la diftance horizontale qui est depuis le mortier jusqu'à la verticale qui passe par le point le plus haut du jet.

III.

Comme le demi diametre De est plus grand qu'aucune des perpendiculaires BC, FG, &c. & que DE convient au jet suivant la corde AE qui fait l'angle d'inclinaison EAK de 45 degrés; de tous les jets qui se peuvent faire par la même force de poudre, celui qui se fait, le mortier étant incliné de 45 degrés sur l'horizon, a la plus grande étendue, c'est à dire, a la plus grande portée : & cette étendue étant quadruple du demi diametre, est double du diametre, c'est à dire, la force HA du jet est la moitié de l'étendue du jet de 45 degrés.