Et comme les perpendiculaires FG, BC, qu'on fuppofe également éloignées du centre D, font égales; tous les jers poffibles qu'on peut faire avec la même force de poudre, ont deux à deux une égale étendue, l'un au deffous de degrés, & l'autre autant au deffus de 45 degrés que le premier eft au deffous. Il n'y a que le jet de 45 degrés qui a la plus grande étendue, qui foit unique. 328. UN 329. 45 N mortier ou un canon étant pointé de but en blanc, FIG.VIII. c'est à dire dans une direction BC horizontale au deffus d'une tour dont la hauteur reprefentée par AB (b) foit connue par exemple de 10 toifes au deffus d'une plaine horizontale representée par AO; fuppofé qu'on tire une bombe ou un boulet avec une force donnée de poudre reprefentée par HA(d); trouver la distance horizontale AO (2) où tombera la bombe ou le boulet fur l'horifon. T La vitefle du jet, c'est à dire la viteffe de la bombe par PROBLÈME IV. TROUVER par un seul jet de bombe, à telle inclinaison du 320. *288. L I. CAS. Quand on eft dans une plaine. FIO, VII. Il faut donner au mortier l'inclinaison CAK qu'on voudra, & lui donner auffi la charge quelconque de poudre dont on voudra trouver la force, & la remarquer; & aprés avoir jetté une bombe, remarquer le point K fur l'horizontale AK où elle fera tombée, & mefurer la distance horizontale AK, qu'on fuppofe, par exemple, de 1000 toifes; le quart de la portée AK, qui eft dans l'exemple 250 toifes, fera le côté horizontal BC d'un triangle rectangle ABC qui convient à ce jet: Ainfi l'on connoît dans ce triangle rectangle ABC, le côté horizontal BC de 250 toifes ou parties égales, l'angle ACB égal à l'angle d'inclinaison du mortier qu'on a choisi, & l'angle droit ABC ; le côté vertical BA & l'hypothenuse AC feront donc connus par la trigonometrie, ou en faisanţ un triangle rectangle femblable; & cela fuppofé, La figure feule fait voir qu'il n'y a qu'à faire AB. AC :: 322. AC. AH, & AH fera la force du jet*. Mais pour faire voir l'ufage de l'Analyse, voici la refolution analytique. Soit la force du jet que l'on cherche, AB = b, BC=c, AC e. 320, = ༢. ༢ — La vitesse par AC(e) est √z*; la vitesse par AB (b) est √b, * 304. L'on aura donc,* Vz. Vb :: AC ( e ). AB (b); par confequent FIG. VIII. ༢. BA 2 b√z = e√b, & Faifant HA le diametre d'un demi- cercle, & menant à tous les degrés les cordes AC, AE, AG, &c. & tirant les perpendiculaires horizontales CB, ED, GF, &c. les cordes marqueront les directions de tous les jets poffibles par cette force; les horizontales marqueront le quart de l'étendue de ces jets; & le diametre HA fera la moitié de l'étendue du jet de 45 degrés. Ce qu'il falloit trouver. II. CAS. Quand on eft fur un terrain inégal, & que la bombe tombe fur une hauteur ou dans un lieu plus bas que le mortier. FIG. IX. LE mortier foit en A, l'horizontale qui passe par A estARK; on donnera au mortier telle inclinaison CAK qu'on voudra, mais quand on l'aura choifie, elle eft déterminée & connue; on donnera auffi au mortier la charge quelconque de poudre dont on voudra trouver la force, il faudra la remarquer; il faudra enfuite jetter une bombe avec cette charge; & fuppofé qu'elle tombe fur le lieu Q plus élevé que le mortier, ou au lieu q plus bas que le mortier en A, il faudra mesurer la distance A2 ou Aq, l'angle 2AR ou qAR, ce qui donnera l'angle PA2 ou PAq; il faudra trouver par la Geometrie pratique la verticale QR ou qR, l'horizontale AR & PR; ce qui donnera auffi PQ ou Pq. Ces chofes fuppofées, on trouvera ainfi l'étendue du jet qu'on fuppofe être AK ou Ak, aprés avoir tiré la verticale KS ou ks jufqu'à la rencontre de AC prolongée. Soient les connues ARr, QR ou qR = q, PR=p, PQ=1-q, ou Pqpq; l'inconnue AK ou Ak=2; =༢; on aura, à caufe des triangles semblables, ARP, AKS, ou Aks; AR (r). PR(p) :: AK ou Ak (z). KS ou ks La viteffe de la bombe, fuivant la direction inclinée ACPS, eft uniforme, comme auffi la viteffe fuivant l'horizontale ARK, ainfi cette viteffe horizontale demeurant la même, les temps employés à parcourir AR, AK ou Ak, sont comme ces longueurs AR (r) & AK ou Ak (z), & on les peut prenAk(z), dre pour marquer ces temps; mais dans le temps que la bombe auroit parcouru AR (r), la viteffe qu'elle a perdue par fa pefanteur fuivant la direction verticale, l'a empêchée de parcourir PQ ou Pq (q), puifqu'on fuppofe qu'elle eft tombée en 2 ou en q; & dans le temps qu'elle auroit parcouru l'étendue AK ou Ak (2), la vitesse perdue l'auroit enpêchée de parcourir la verticale SK ou sk(), ce qui donne *PQ (p −q) ou Pq (p+q). SK ou sk (1) :: AR2 ( rr), *309. AK2 ou Āk2(22) ; d'où l'on déduira AK ou Ak (z) = 2 2 pr c'est à dire Pou Pq (p+q). PR(p) :: AR(r). A K ou 4k== pr Ce qu'il falloit trouver. L'étendue AK du jet étant connue, on trouvera la force HA du jet, & l'étendue de tous les jets poffibles par cette force de poudre, comme dans le premier cas. Vu u iij III. CAS. Quand on eft fur une hauteur comme une tour ou un FIG.VIII. ON donnera au mortier, qu'on fuppofe en B fur la hauteur AB, dont la direction est suivant l'horizontale BC, la charge de poudre dont on voudra trouver la force, & il faudra la remarquer, comme auffi le point où l'on fuppofe que tombera la bombe fur l'horizontale 40; & mefurer la hauteurAB, qu'on nommera 6, & l'horizontale 40, qu'on nom mera a. Pour trouver la force du jet HA, qu'on nommera x, on fera ce raisonnement: La viteffe acquife par la chute de HA(x) qui est √x, eft à la viteffe acquife par la chute de AB (b) qui eft Vb; comme la longueur horizontale AO ( a ) parcourue par la premiere d'un mouvement uniforme, eft à deux fois la hauteur BA ou 2BA (2b) que la feconde auroit fait parcourir à la bombe d'un mouvement uniforme dans le temps qu'elle eft defcendue par fa pefanteur d'un mouvement acceleré de la hauteur AB ou NO; d'où l'on déduira 2b√x= a√b, &x= 44; ce qui donne, BA(b). ÷40(a) :: AO(ža). AH = x=44. Ce qu'il falloit trouver. 46 a La force du jet étant découverte, on trouvera, comme dans le premier cas, l'étendue de tous les jets poffibles par cette force. REMARQUE. On peut par ce quatrieme Problême trouver la force de toutes les charges de poudre, la plus grande étendue de chacune de ces forces, qui eft double de la force, & les étendues de tous les jets poffibles par chacune de ces forces, & en faire une table. 330. FAIRE tomber une bombe fur l'endroit qu'on voudra, avec une charge de poudre telle qu'on voudra choisir, dont la force est supposée connue par le quatriéme Problèmes pourvu que cet endroit ne foit pas hors de la portée de la force de la poudre dont on veut · fe fervir, ce que la refolution analytique fera même connoitre. I. CAS. Quand l'endroit où l'on veut faire tomber la bombe eft fur le plan horizontal qui passe par le mortier, LA c'eft à dire dans une plaine. A question fe reduit à trouver l'inclinaison CAK qu'il FIG.VIII. faut donner au mortier, afin qu'avec la force qu'on a choifie, qu'on fuppofe representée par HA, la bombe foit jettée à l'endroit K de l'horizontale AK qui paffe par le mortier qu'on fuppofe en A; on fuppofe auffi cette diftance horizontale AK connue par la Geometrie pratique. Pour trouver l'inclinaison CAK, il eft évident qu'il fuffit de trouver le côté vertical BA du triangle BAC. Soit la force connue du jet HA=d, la distance horizontale auffi connue AK= b; par confequent le côté horizontal BC*AK=1h. Soit le côté vertical que l'on * cherche BA=x, d'où l'on aura HB = d I x. 16 325. * 320. 320. Refolution. La viteffe par l'horizontale AK (h), qui est √d — x*, fera parcourir cette horizontale AK (b) par un mouvement uniforme dans le temps que la bombe montera à la plus grande hauteur du jet qui eft égale à AB(x), & defcendra de la même hauteur jufqu'à l'horizontale à l'endroit K, c'est à dire, dans le temps que la vitelle par la verticale AB ( x ) qui eft vx*, lui feroit parcourir d'un mouvement uniforme 4AB (4x); par confequent vdx. Vx :: AK(h). 4AB (4x); d'où l'on déduira xx dx + 1 bh =o. Les deux valeurs de x dans cette équation font pofitives; la premiere eft * x=d+Vdd — bh; la feconde, *76. x = d - √ dd 1/1/2 Vdd bh; ce qui fait voir qu'il y a deux inclinaisons du mortier par lesquelles on feroit tomber la bombe au même endroit K de l'horizontale AK, & on les trouvera en mettant dans ces valeurs de x à la place de d & de h, les nombres de toifes qui leur font égaux; car HA FIG. VIII. & BA étant connues, le triangle rectangle ABC eft connu, & la position de la corde AC qui eft la direction du mortier. 16 REMARQUES. I. 16 On trouveroit la même refolution par la feule proprieté de la 8° figure, car HB (d-x). BC (4h) :: BC(4h). BA(x); d'où l'on déduit la même équation xx — dx + 1 bb = 0, 16 |